Нестандартные задачи на движение: каковы методы решения?

Всероссийский дистанционный конкурс учебно-образовательных материалов Образование 2021

Номинация: Детские исследовательские и научные работы, проекты

Тема: Нестандартные задачи на движение:

каковы методы решения?

Устюжанина Валентина,

МАОУ «Обдорская гимназия», 6 класс

Ямало-Ненецкий автономный округ, г. Салехард

Салехард 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Однажды я ехала в поезде в 1 вагоне, а мои родственники – в последнем. На повороте я увидела «хвост» поезда и мне стало интересно: какое расстояние отделяет меня от родственников? Или иначе: какова длина поезда? Времени было достаточно, я много решала. Но, в конце концов, поняла, что не могу решить эту задачу известными мне способами. Позже я еще неоднократно встречалась с необычными задачами на движение, и тогда поняла, что знаний из начальной школы уже недостаточно. Задачи были очень интересные. Тогда я задалась вопросом, какими же приемами, методами можно решать необычные задачи на движение? Так я пришла к исследованию на тему: «Нестандартные задачи на движение: каковы методы их решения?»

Считаю что выбранная тема актуальна не только для меня, но и для всех учащихся 5-6 классов, так как методы, предложенные к определенному классу задач на движение позволят решать нестандартные задачи быстро. Работа носит практический характер исследования.

Объект исследования – задачи на движение. Предмет исследования – способы решения задач на движение.

В изученной литературе1 предлагаются различные задачи на движение и решения к ним. Но я не встречала четкой классификации задач, основанной на условии с предложенными, обобщенными способами, методами. В своей работе я попыталась классифицировать задачи, положив в основу условие и предложив к определенному классу один или несколько методов решения. Считаю, что это является хоть и маленьким, но шагом вперед в изучении методов решения нестандартных задач на движение. В этом заключается новизна моего исследования.

В своей работе мы выдвигаем следующую гипотезу: Все нестандартные задачи на движение решаются определенными, известными методами.

Для проверки гипотезы я поставила перед собой цель: изучить нестандартные задачи на движение рассмотреть методы решения таких задач и классифицировать их, соотнеся методы и условия. Для решения выбранной цели я поставила перед собой задачи:

1.Изучить литературу по теме исследования.

2. Выделить из всех встреченных задач нестандартные, изучить различные методы решения таких задач.

3. Классифицировать нестандартные задачи, в основу классификации положить условия задачи, сопоставив с методами решения.

В рамках нашего исследования используем следующие термины, взятые из Википедии.

Задача - проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь.

Нестандартная задача -  это задача, для которой в курсе математики нет общих правил, определяющих общее направление ее решения. 

В работе мы придерживаемся понимания нестандартной задачи, как задачи, которая не решается однозначно или (и) не решается по формуле произведения S = V * T, где S – расстояние (путь), V – скорость, T – время.

Метод - путь исследования или познания, систематизированная совокупность шагов, действий, которые необходимо предпринять, чтобы решить определённую задачу или достичь определённой цели.

Классификация — это осмысленный порядок вещей, явлений, разделение их на разновидности согласно каким-либо важным признакам.

Движение тела - называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Скорость - величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта.

Время – сравнительная мера движения материи.

I НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

Нестандартные задачи чаще всего предлагаются для решения на олимпиадах разного уровня. Изучив литературу мы обнаружили, что задач на движение там немного. Так в известных книгах Баляна Э.Н. «1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике», Генкина С.А., Интенберга И.В. Фомина Д.В. «Ленинградские математические кружки» и других предложены задачи на такие темы как делимость и остатки, принцип Дирихле и др.

Но наш поиск средствами Интернет позволил отобрать наиболее часто встречающиеся задачи на движение в олимпиадах разного уровня. Итак, к нестандартным задачам на движение мы отнесли следующие задачи.

Задачи на движение по прямой (отдельные виды). Задачи такого типа я считаю нестандартными, потому что иногда в их условиях не указано направление движения и тогда задача не решается однозначно.

Например: Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин: 60 км/ч и 80 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час?

Нестандартной, на наш взгляд, является и задача на движение по замкнутой трассе или их называют задачами на движение по кругу. В таких задачах объект неоднократно пересекает одну и ту же точку. «Нестандартность» ситуации заключается в том, что при движении нескольких объектов трудно определить их взаимное расположение.

Например: Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 20 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10  минут после отправления он догнал велосипедиста в первый  раз, а еще через полчаса после этого догнал его во второй  раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 24 км. Ответ дайте в км/ч. 2

На первый взгляд может показаться, что задача про движение по воде решается по правилу произведения и сводится к классической. Однако в этом классе задач встречаются такие задачи, когда скорость течения не учитывается. Ярким является следующий пример: Гребец, плывущий по реке под мостом потерял шляпу. Он заметил пропажу через 15 минут. Он вернулся за ней и поймал в 1 км от моста. Какова скорость течения реки? Шляпа плыла 15 мин (0,25 часа) и проплыла 1 км. 

Скорость течения реки: 1 км/0,25 ч= 4 км/ч.

Большое число олимпиадных задач на движение по реке решаются без непосредственного применения формулы произведения, но путем сравнения отдельных величин или буквенных выражений. Пример: Два совершенно одинаковых катера, имеющих одинаковую скорость в стоячей воде, проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние (по течению) и возвращаются обратно (против течения). В какой реке на эту поездку потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением? Ответ обосновать.

Решение: Пусть скорость катеров v км/ч, скорость течения в первой реке v1 км/ч, а скорость течения во второй реке v2 км/ч. Пусть v1>v2 . Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S , то время, затраченное первым катером на весь путь, t1=S/(v+v1)+S/(v-v1)=2Sv/(v2-v12),а время, затраченное вторым катером, t2=2Sv/(v2-v22) . Поскольку числители у обоих выражений одинаковы, то большей будет дробь с меньшим знаменателем, а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми, то знаменатель меньше у первой дроби, у которой вычитаемое v12 больше.

Ответ: больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

Еще один пример: Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору? . 3

Эту задачу мы отнесли тоже к классу задач на движение по воде, т.к. скорость движения эскалатора можно рассматривать как скорость течения.

Задачи на среднюю скорость, мы отнесли к нестандартным т.к. среднюю скорость можно найти только как весь путь, деленный на все время, но не сумму скоростей, деленную на число скоростей, как более простой но ложный путь. Пример: Первую половину пути всадник скакал со скоростью20 км/ч, вторую – 12 км/ч. Найдите среднюю скорость, если путь составил 120 км.
Разделим путь на два равных участка
120:2=60 км
найдем время движения по первому участку
60:20=3 часа
найдем время движения по второму участку
60:12=5 часов
найдем общее время в пути
3+5=8 часов
найдем среднюю скорость в пути
120:8=15 км/ч

Есть в этом классе задач и задачи, которые решаются путем составления уравнений или сравнения буквенных выражений.

Задачи на движение протяженных тел вызвали у меня больший интерес, т.к. привели к данному исследованию. Пример: Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 с, а мимо семафора за 15 с. Вычислите длину поезда и его скорость.

Ответ: 225 м; 15 м/с. За 45 с поезд проходит расстояние, равное длине моста и длине поезда вместе, а за 15 с – равное длине поезда. Следовательно, мост (450 м) он проходит за 30 с. Себя же поезд «протягивает» мимо светофора за 15 с со скоростью 15 м/с. . 4

К нестандартным отнесли и задачи, в которых надо ответить на вопрос «Что быстрее?» или сравнить отдельные части одного из компонентов в задачах на движение. Пример: Пассажир, проехав половину пути, лег спать и спал, пока не осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он ехал спящим? Ответ: Треть. Пассажир проспал 2/3 от второй половины пути, т.е. 1/3 всего пути.

Задачи на движение третьего объекта между двумя движущимися.

Пример: Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу 2 всадника, скорость одного – 15 км/ч, другого – 10 км/ч. Вместе с первым бежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго всадника, она повернула назад и побежала к первому, добежав до него, она снова повернула и так бегала меду ними до тех пор, пока всадники не встретились. Сколько км пробежала собака? Ответ: 80 км. За час всадники сближались на 25 км, следовательно, они встретились через 4 часа.

II КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ

III ВЫВОДЫ

В своей работе мы предложили классификацию нестандартных задач на движение. Положив в основу условие задачи. К каждому классу задач, а их 7, предложили обобщенные методы решения.

Предложенная нами классификация, определенно, облегчит путь ученика, решающего задачу на движение. Однако, изучив различную литературу по решению олимпиадных задач, мы пришли к выводу, что не все задачи можно отнести к одному из предложенных нами классов. А, значит, не все задачи можно решить одним из указанных нами методов. Встречаются и такие задачи, которые мы относим к эвристическим, то есть таким, для которых нет определенных методов решения, но требуется смекалка и отыскание особого решения. А вот как выстроить путь отыскания решения такой задачи, указано в работах таких авторов как Фридмана Л. М, О.Б. Епишева и др. Но это тема отдельного исследования.

Мы же своим исследованием опровергли гипотезу, поставленную в начале работы. И пришли к следующему выводу: все нестандартные задачи невозможно решить известными или кем – то предложенными методами.

ЛИТЕРАТУРА

Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике.

Генкин С.А., Интерберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров, «АСА»

Севрюков, П.Ф., Подготовка к решению олимпиадных задач по математике/ - Изд. 2-е – М. Илекса, Народное образование, Ставрополь

Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе 5-11 классы 8 – е изд., испр. И доп. – М. Айрис – пресс, 2009.

Баранова Т.А., Блинков А.Д., Кочетков К.П., Потапова М.Г., Семёнов А.В. Весенний турнир Архимеда. Олимпиада для 5-6 классов. Задания с решением – Мю МЦНМО, 2003

Ященко И.В., Приглашение на Математический праздник – 3-е изд., испр. И доп – М: МЦНМО, 2009.