Параллелограмм: свойства его биссектрисы

МУНИЦИПАЛЬНАЯ XI УЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»

Аннинский муниципальный район

Воронежская область

Секция: МАТЕМАТИКА

Тема: «Параллелограмм: свойства его биссектрисы»

Автор работы: Зубов Данил

МБОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «А» класс

Место выполнения работы: МБОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «А» класс,

Воронежская область, п.г.т. Анна

Научный руководитель:
Конюхова Галина Станиславовна,
учитель математики МБОУ Аннинская СОШ №3

г. АННА, 2020/2021 учебный год

Содержание

1. Введение………………………………………………………………………….. стр 3-4

2. Историческая справка…………………………………………………………….….стр 5

3 Свойства параллелограмма……………………………………………………….….стр 6

4. Доказательство свойств биссектрисы параллелограмма………………...……....стр 7-9

5. Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира………… стр 10

6. Практическое применение свойств биссектрисы параллелограмма при

решении задач…………………………………………………………………........ стр 11-16

7. Проверь себя!.............................................................................................................. стр 17

8. Методические аспекты решения задачи № 23 2 части ОГЭ по математике

(Модуль «Геометрия»)……………………………………………………………….. стр 18

9. Полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математике... стр 19

10. Заключение…………………………………………………………………………стр 20

11. Библиографический список………………………………………………………..стр 

1. Введение

Среди равных умов

при одинаковости прочих условий

превосходит тот, кто знает геометрию

Блез Паскаль

Во время изучения темы «Параллелограмм» на уроках геометрии в 8 классе мы рассмотрели свойства и признак параллелограмма, которые были в учебнике, но когда я начал подготовку к ОГЭ и стал решать задачи из КИМов, то оказалось, что этого материала недостаточно.

У меня возник вопрос, а есть ли у параллелограмма еще свойства, которые помогут мне при решении задач. И поставил перед собой цель: изучить дополнительные свойства биссектрисы параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.

Предмет исследования: параллелограмм

Объект исследования: свойства биссектрисы параллелограмма
Цель работы:

1. Формулировка и доказательство свойств биссектрисы параллелограмма, которые не изучаются в школе;

2. Применение этих свойств для решения задач.

Задачи:

1. Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств;

2. Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу;

3. Изучить свойства биссектрисы параллелограмма и доказать их;

4. Показать применение этих свойств для решения задач;

5. Рассмотреть применение свойств параллелограмма в жизни.

6. Показать применение данных свойств биссектрисы параллелограмма при решении заданий ОГЭ № 18 и № 23.

4. Создать медиаресурс для решения задач с биссектрисой параллелограмма.
Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;

2. Изучение теоретического материала;

3. Выделение круга задач, которые можно решать с использованием свойств биссектрисы параллелограмма;

4. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Актуальность исследования обусловлена тем, что при подготовке к олимпиадам и успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, выпускники испытывают затруднения при выполнении заданий, где при решении необходимо применить свойства биссектрисы параллелограмма. Планируемый процент выполнения задания № 23 (повышенного уровня сложности) - 30-50%. Актуальность выбранной темы заключается в том, что биссектриса параллелограмма имеет широкое применение в теории, что и является прикладной значимостью. Исследовательский характер работы состоит в решении задач с применением свойств биссектрисы параллелограмма, выходящих за рамки школьной программы.

Тема "Многоугольники" является одной из важных тем курса алгебры основной школы. Она отражена в заданиях 1-й (базового уровня) и 2-й (повышенного уровня) частях экзаменационной работы.

Практическая значимость моей работы заключается:

1. В использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к задачам;

2. В использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

Ключевые слова: параллелограмм, биссектриса, ОГЭ, геометрия.

2. Историческая справка

Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии». И, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах параллелограмма.

В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.

3. Свойства биссектрисы параллелограмма

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину параллелограмма с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.

В учебнике по геометрии даны только два свойства параллелограмма:

1. Противоположные углы и стороны равны

2.Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

В различных источниках по геометрии можно встретить следующие дополнительные свойства:

1. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;

2. Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;

3. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;

4. Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;

5. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны;

6. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны;

7. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны;

8. Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение.

4. Доказательство свойств биссектрисы параллелограмма

1 . Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Д ано: ABCD — параллелограмм, AF — биссектриса ∠BAD, F ∈ BC.

Доказать: ∆ ABF — равнобедренный.

Доказательство:

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD м секущей AF).

РИС.3

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

5) Следовательно, AB=BF ч.т.д.

2. Биссектрисы углов параллелограмма,  прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

Д ано: ABCD — параллелограмм,

AF  биссектриса ∠BAD, DK- биссектриса ∠ADC,

AF ∩ DK= M.

Доказать: ∠AMD=90º.

Доказательство:

∠BAD+∠ADC=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD).

Так как биссектриса угла делит его пополам, то ∠DAM = 0,5∠BAD, ∠ADM = 0,5 ∠ADC

  ∠DAM + ∠ADM = 0,5∠BAD + 0,5 ∠ADC = 0,5 (∠BAD + ∠ADC) = 0,5 × 1800 = 900 Рассмотрим треугольник ADM. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то

∠DAM+∠ADM+∠AMD=180º, 90º+∠AMD=180º, откуда ∠AMD=180º- 90º=90º,

т о есть биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к стороне AD, перпендикулярны

3

Дано: АВСD - параллелограмм, АК-биссектриса A,

DР-биссектриса D,

CM -биссектриса C,

BF -биссектриса B.

Доказать: KRNS-прямоугольник

Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:

4. Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны.

5. Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны

6 . Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых.

Дано: АВСD – параллелограмм

АК и СМ – биссектрисы

АВ = ВК = СD = DМ

Доказать:

АК = СМ; АК // СМ

5. Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира.

На ОГЭ выпускник может пользоваться только линейкой, и поэтому хочу поделиться способом построения биссектрисы параллелограмма без транспортира.

Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Линейкой измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким образом АВ = ВК. Проводим биссектрису А – АК.

6. Практическое применение свойств биссектрисы параллелограмма при решении задач.

1 (№18). Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются на стороне AD. Найдите BC, если AB=4.

Д ано: Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются на стороне AD. AB=4.

Найдите: BC

РИС.11

Решение.
По свойству биссектрисы параллелограмма △ABK и △CDK – равнобедренные (AB=AK, CD=DK). Следовательно, BC=AD=AK+DK=AB+CD=2AB=8.
Ответ: 8.

2 (№ 24). В параллелограмме ABCD биссектриса, выходящая из вершины B, пересекает AD в точке K и равна 6. ∠BAD=60∘, AK:KD=3:2. Найдите периметр параллелограмма ABCD.2

Дано: ABCD-параллелограмм, ∠BAD=60∘, AK:KD=3:2, ВК = 6, ВК-биссектриса

Найти: PАВСD

РИС.12

Решение.

Т.к. BK – биссектриса ∠ABC, то ∠KBC=∠BKA, т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых. Тогда:   ∠ABK=∠BKA=0,5(180∘−∠BAD)=0,5(180∘−60∘)=60∘ △ABK равносторонний, значит AB=BK=AK=6. Тогда AK:KD=6:KD=3:2⇒KD=4. AD=AK+KD=10, тогда PABCD=2⋅6+2⋅10=32

Ответ:32

3(№ 24) . В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы AN и BE односторонних углов. Найдите BE, если AN=16, AB=10.

Дано: ABCD-параллелограмм, AN и BE – биссектрисы. AN=16, AB=10.

Найдите: BE

РИС.13

Решение.

По свойству биссектрисы параллелограмма △ABE и △ABN – равнобедренные, то есть AE=AB=BN=10. Следовательно, AO – биссектриса, проведенная к основанию, значит, высота, то есть ∠AOB=90∘, а также и медиана, то есть BO=OE. Аналогично AO=ON=0,5AN=8. Тогда по теореме Пифагора AB2=ВO2+AO2, BO=6, следовательно ВЕ=12

Ответ: 12

4 (№ 18). В параллелограмме ABCD биссектриса ∠BAD пересекает сторону BC в точке K и делит ее пополам, а также пересекает продолжение стороны DC в точке L. Найдите периметр параллелограмма, если CL=3.

Дано: ABCD-параллелограмм, АК – биссектриса,

CL=3

Найти: PАВСD

РИС.15

Решение.

△CKL=△BKA и являются равнобедренными. AB=CL=3,BC=BK+KC=2⋅CK=2⋅CL=2⋅3=6. Тогда PABCD=2⋅3+2⋅6=18.

Ответ: 18

5 ( №18). В параллелограмме ABCD: точка K лежит на стороне AD, BK=3 – биссектриса ∠ABC, BC=5, ∠BKA=60∘. Найдите периметр параллелограмма.

Дано: ABCD-параллелограмм, BK=3,

BK– биссектриса ∠ABC,

BC=5, ∠BKA=60∘

Найти: PАВСD

РИС.16

Решение
⇒ ∠BAD=60∘ ⇒ △ABK – равносторонний, тогда AB=BK=3 ⇒ PABCD=2⋅3+2⋅5=16.

Ответ: 16

6 (№ 24). Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Дано: ABCD-параллелограмм, PАВСD = 88,

ВК- биссектриса, AK:KD=4:3

Найти: АD

РИС.17

Решение.

Из условия задачи следует, что AK:KD=4:3. Обозначим AK=4x, KD=3x. Следовательно, AD=7x. Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то ∠AKB=∠KBC как накрест лежащие при AD∥BC и секущей BK. Следовательно, ∠AKB=∠ABK, то есть △ABK равнобедренный: AK=AB. Отсюда AB=4x. Следовательно, периметр 88=2(4x+7x) (так как противоположные стороны параллелограмма равны), следовательно, x=4. Значит, большая сторона параллелограмма равна 7x=28.

Ответ: 28

7(№ 24). Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма.

Дано: ABCD – параллелограмм,

АК – биссектриса А,

DК – биссектриса D,

АВ=3 см, ВС=10 см

Найти: ВМ, МN, NC

D, то △DCN- равнобедренный

DC=CN= 3

Тогда, МN= 10 – (BM+NC) = 10 – (3+3)=4 см

2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма

Т.к. АN - биссектриса А, то △АВN – равнобедренный.

АВ=ВN= 3

Т.к. DM – биссектриса D, то △DCM- равнобедренный

DC=CM= 3

Тогда, BN=3 см, СN=10 – 3 = 7 см,

CM= 3 см, ВМ=10 – 3 =7 см, чего быть не может, т.к. ВC=10 см

2 случай не возможен.

Ответ: 3см, 4 см, 3 см

8 (№ 24). В параллелограмме ABCD: BC=2⋅AB, AN и CM – биссектрисы, AB=4. Найдите NM.

Дано: ABCD-параллелограмм, BC=2⋅AB,

AN и CM – биссектрисы, AB=4.

Найдите: NM.

РИС.20

Решение.

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, тогда ∠BNA=∠NAD, но ∠NAD=∠BAN, тогда ∠BNA=∠BAN и треугольник BAN – равнобедренный, AB=BN. Обозначим AB=x. Аналогично треугольник MCD – равнобедренный, x=CD=MD. BC=2x=AD, тогда NC=x=AM, следовательно, BN=x=AM; AM∥BN, тогда ABNM – параллелограмм, откуда заключаем, что MN=AB=4.

Ответ: 4

9. (№ 24 ОГЭ). В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM : MN = 1:5. Найдите ВС, если АВ =3

В этой задаче также возможны два случая: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма и внутри параллелограмма.

1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма

C

РИС.21

Дано: ABCD – параллелограмм, АМ – биссектриса А,

DN – биссектриса D, АВ=3 см, BM : MN = 1:5

Найти: BC

Решение

Т.к. АМ- биссектриса ⦟ А, то △АВМ – равнобедренный.

АВ=ВМ= 3 см

Т.к. DN – биссектриса D, то △DCN- равнобедренный

DC=CN= 3 см

Т. к. ВМ: МN=1:5, то на отрезок ВМ приходится 1 часть, а на отрезок MN – 5 частей,

Тогда, ВС= ВМ +МN+NC=3+15+3=21

2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма

Ответ: 21 см или 3,5 см

7. Проверь себя!

8. Методические аспекты решения задачи № 23 2 части ОГЭ по математике

(Модуль «Геометрия»)

Задания второй части модуля «Геометрия» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:

умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии;

умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.

Основные проверяемые требования к математической подготовке при выполнении задания 23.

Задания второй части считаются выполненными верно, если учащийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны

неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньше указанного.

9. Полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математике.

1. Не секрет, что успешнее сдает экзамен тот, кто в полном объеме владеет материалом, хорошо знаком с процедурой проведения экзамена, психологически готов к экзамену и адекватно реагирует на нестандартные ситуации.

2. Хорошо знать документы, регламентирующие проведение экзамена по математике:

«Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике»

«Кодификатор элементов содержания для проведения основного государственного экзамена по математике»;

«Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;

«Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;

Литературу для подготовки к ОГЭ.

Список сайтов, содержащих демоверсии и позволяющие онлайн-тестироваться.

3. На основании школьного плана подготовки к экзамену, составить личный план, включив в него консультации, которые проводит учитель, расписание «пробных» ОГЭ.

4. Тщательно анализировать пробные ОГЭ. По их итогам корректировать самостоятельную подготовку к экзамену.

5. Собирать свой портфолио-папку со всеми выполненными пробниками. Вести мониторинг выполнения всех заданий пробных экзаменов.

6. Серьезное внимание уделять устному счету, который проводит учитель на уроках. Эти упражнения активизируют мыслительную деятельность, требуют осознанного усвоения учебного материала. При их выполнении развивается память, речь, внимание, быстрота реакции. Устные упражнения позволяют корректировать знания, умения и навыки учащихся, а также автоматизировать навыки простейших вычислений и преобразований.

7. Научиться «читать» условие задачи до начала решения и после ее решения для того, чтобы верно ответить на поставленный вопрос (что нужно было найти?).

10. Заключение

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей

скрывается приключение мысли. Решить задачу - это значит

пережить приключение...

(В.Произволов)

При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много?

На экзаменах по математике задачи по геометрии являются самыми трудными заданиями. Задачи по геометрии требуют применения сведений из разных разделов курса планиметрии. Таким образом, для их решения нужно ориентироваться во всей совокупности знаний о свойствах рассматриваемой фигуры, которые могли изучаться в разных классах основной школы. Решение задач требует комплексного применения 2 - 3 геометрических фактов, свойств из разных разделов курса.

Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма.

Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило мне приобрести новые знания. Я увидел необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе я не только сам сформулировал, доказал свойства, но и попытался применить их к решению задач. Буду рад, если другие ребята воспользуются им.

Цель моей исследовательской работы выполнена.

11. Библиографический список

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/

2. https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_i/parallelogramm_svojstvo_ego_bissektrisy

3. http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

4. ПогореловА.В. Геометрия 7-9: учебник для общеобразоват. учреждений-М.: Просвещение, 2019г

5.Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Вита-пресс, 2018