Применение подобия треугольников при измерительных работах

Содержание:

Введение…………………………………………………3 стр.

Понятие и признаки подобных треугольников..………5 стр.

Свойства подобных треугольников…………………….5 стр.

История развития теории подобных треугольников…..7 стр.

Различные способы нахождения высоты предмета……9 стр.

Определение расстояния до недоступного объекта…..13 стр.

Практическое применение подобия треугольников…..14 стр.

Заключение……………………………………………….17 стр.

Литература………………………………………………..18 стр.

Приложения……………………………………………...19 стр.

Введение.

Геометрия – одна из самых древних наук. Она возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

Геометрические знания широко применяются в жизни – в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при изготовлении технических чертежей – выполнять геометрические построения; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными нам теоремами.

Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 4-5 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, многие детские игрушки подобны предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мяч, коробки различного объема, две фотографии разного формата.

В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

Проблема: Как свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности?

Цель исследования:

Исследовать области применения подобия треугольников в практической жизни человека.

Гипотеза: Применение метода подобия треугольников позволит облегчить и ускорить вычисления при решении прикладных задач на определение размеров объекта и расстояния до недоступной точки.

Задачи исследования:

Изучение исторических сведений о теории возникновения подобия;

Исследование признаков и свойств подобных треугольников;

Исследовать применение подобия треугольников на примере измерительных работ;

Решение прикладных задач, связанных с подобием;

Расширение геометрических представлений.

Актуальность: В туристическом походе, путешествии и в других случаях часто возникает потребность в определении расстояний до недоступных предметов, измерении их длин и высоты, в определении ширины реки или другого препятствия. Конечно, наиболее точно и быстро это можно сделать с помощью специальных приборов: дальномеров, биноклей. Но из-за отсутствия приборов нередко расстояния определяют с помощью подручных средств и применения метода подобия.

Методы исследования: сбор информации, систематизация и обобщение, измерительные работы на местности. Объект исследования: подобные треугольники.

Предмет исследования: применение подобия треугольников при измерительных работах.

Экспериментальное оборудование: рулетка, веревка, зеркало, угольник, калькулятор.

Понятие и признаки подобных треугольников

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 1)

рис. 1

Если треугольник ABC подобен треугольнику А1B1С1, то углы А, В и С равны соответственно углам A1, B1 и C1, . Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Признаки подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

Рассмотрим ключевые задачи и составим геометрические модели:

№1

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Модель I

№2

Треугольники AOD и COB, образованными отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия - k=AO/OC

Модель II

№3

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных данному.

Модель III

№ 4

Два прямоугольных треугольника, катеты которых являются продолжениями друг друга, а два другие параллельны, образуют два подобных треугольника.

Модель IV

История развития теории подобных треугольников

В XVI веке в России нужды землемерия, строительства и военного дела привели к созданию рукописных руководств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение носит название «О земном верстании, как землю верстать». Оно является частью книги «Сошного письма», написанной, как полагают при Иване IV в 1556 году. Сохранившаяся копия относиться к 1629 году. При разборе Оружейной Палаты в Москве в 1775 году была обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 годах и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сводятся к определенным приемам решения задач на нахождение расстояний (Приложение 1). Вот один пример. Для измерения расстояния от точки Я до точки Б рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека (рис. 2). К верхнему концу жезла Ц прилагается вершина прямого угла угольника так, чтобы один из катетов или его продолжение проходил через точку Б. Отмечается точка З пересечения другого катета с землей. Тогда расстояние БЯ относится к длине жезла ЦЯ так, как длина жезла к расстоянию ЯЗ. Для удобства расчетов и измерений жезл был разделен на 1000 равных частей.

Рис. 2

Способ Фалеса.

Греческие ученые решили множество практических задач, которые до них люди не умели решать. Например, за шесть веков до нашей эры греческий мудрец Фалес Милетский научил египтян определять высоту пирамиды по длине ее тени. Как это было, рассказывается в книге Я. И. Перельман «Занимательная геометрия». Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту (рис. 3)

рис. 3

В это момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой его тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлек пользу из своей тени. На следующий день Фалес нашел длинную палку, воткнул ее в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определенного момента. Он измерил тень от палки и тень от пирамиды. Сравнивая соотношение высот реальных предметов с длинами их теней, Фалес нашел высоту пирамиды (рис. 4).

Рис. 4

ВС – длина палки, DЕ – высота пирамиды. ∆ АВС подобен ⁓ ∆ С DЕ (по двум углам):  ВСА=  СED =90°;  АВС=  СDЕ, как соответственные при АВ || DС и секущей АС (солнечные лучи падают параллельно). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны:

.

Таким образом, Фалес нашел высоту пирамиды. Метод Фалеса соответствует модели I ключевых задач.

Преимущества способа Фалеса: не требуются вычисления.

Недостатки: нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как следствие, тени.

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (Приложение 2).

До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.

Различные способы нахождения высоты предмета

При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который живописно представлен у Жюль Верна в известном романе "Таинственный остров" (рис. 5)

Рис. 5

Инженер измерял высоту площадки скалы Дальнего вида. Взяв прямой шест, длиной 10 футов, он измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, вручённый ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком.

- Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.

- Да.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Их сходственные стороны пропорциональны.

- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим - расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же - мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.

- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.

- Да, и, следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты.

Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам (рис. 6)

рис. 6

По окончании измерений инженер составил следующую запись:

10:Н=15:500

15Н=5000

Н=5000:15

Н  333,33

Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам".

В данной задаче используется модель 1 ключевой задачи. Преимущества способа Жюль Верна: можно производить измерения в любую погоду, тень не нужна; простота формулы.

Недостатки: нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю и визуально смотреть на вершину горы.

Способ определения высоты дерева или другого предмета по своему росту и длине тени

Например, длина тени человека d равна трем шагам. Тень дерева D равна девяти шагам. То есть тень дерева длиннее вашей тени в три раза. Если принять рост за 1,5 метра, то высота дерева будет В = 1,5 х 3 = 4,5 метра (рис. 7)

рис. 7

Способ определения высоты предмета с помощью лужи.

Согласно закону преломления из физики, о том, что угол падения равен углу отражения. В зеркальном отражении любой лужи можно найти верхушку объекта и зная свой рост и измерив расстояния, получим искомую высоту. Необходимо зафиксировать точку О любым предметом, брошенным в лужу. Затем измерить расстояния в шагах ОА, ОА1. Зная свой рост и все нужные величины, основываясь на свойствах подобных треугольников, получим высоту объекта (рис. 8)

рис. 8

В данном способе используется модель IV ключевой задачи. Точные измерения считают с помощью мерной рулетки или стальной ленты, длиной 10-20 метров. Нередко применяли длинный шнур, на котором ставится метки: белые - через каждые 2м и красные - через каждые 10 м, с закреплёнными на концах шпильками.

Определение расстояния до недоступного объекта

Дистанционно-визуальные способы измерений длин – они применяются в тех случаях, когда существует непреодолимая преграда, препятствие (река, болото, озеро, глубокий овраг, горное ущелье), но сохраняется прямая видимость, достаточная для производства измерений.

Решим задачу из книги И. Н. Сергеева «Примени математику»

Вы находитесь на берегу реки и хотите измерить ее ширину, не имея возможности перебраться> на другой берег. Для этого вы отыскиваете глазами на противоположном берегу реки близко к воде какой-либо заметный ориентир А - камень, деревце и т. п.- и отмечаете на своем берегу точку В, расстояние от которой до точки А представляет собой, по-вашему, ширину реки. Как измерить длину отрезка АВ?

рис. 9

Решение: Выберем точку С на продолжении прямой АВ за точку В, а также точку D, не лежащую на прямой АВ (рис. 9). Затем выберем точки Е и F на продолжениях прямых BD и CD соответственно за точку D так, чтобы выполнялись равенства BD = DE, CD = DF. Наконец, найдем точку G пересечения прямых EF и AD. Тогда искомое расстояние между точками А а В будет равно длине отрезка EG. Действительно, из равенства треугольников BDC и EDF (по двум сторонам и углу между ними) имеем равенство углов CBD и FED. Поэтому треугольники BAD и EGD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, равны и их соответствующие стороны АВ и GE. Вывод: в данном методе используется модель II ключевой задачи.

Практическое применение подобия треугольников

Эксперимент 1 Измерение высоты стены в классе с помощью зеркала.

Известна зависимость длины шага от параметров человека. Исходя из этого, можно определить длину шага, зная свой рост.

ДШ = (Р/4)+0,37

где:  

ДШ - длина одного шага в метрах

Р - рост человека в метрах.

Длина шага Романа М. ДШ = (Р/4)+0,37 = =(1,61/4)+0,37 ≈ 0,77 м

Длина шага Егора Р. ДШ = (Р/4)+0,37 = =(1,56/4)+0,37 ≈ 0,76 м

Расстояние от Романа М. до зеркала АО = 0,77 ·3,5 = 2,69 м, от зеркала до стены СО = 0,77 ·6,5 = 5,0 м

Расстояние от Егора Р. до зеркала АО = 0,76 ·4 = 3,04 м, от зеркала до стены СО = 0,76 ·7 = 5,31 м

Расчеты: ∆ ABO ⁓ ∆ CDO (по двум углам), поэтому AB : CD = AO : CO.

Высота стены при расчетах Романа М. AB : CD = AO : CO; 1,61 : СD = 2,69 : 5,0; СD = 1,61 · 5,0 : 2,69 ≈ 2,99 м

Высота стены при расчетах Егора Р. AB : CD = AO : CO; 1,56 : CD = 3,04 : 5,31; СD = 1,56 · 5,31 : 3,04 ≈ 3,11 м

Мы нашли правила проектирования зданий общеобразовательных организаций и узнали, что высота классных комнат должна быть 3 – 3,3 метров. Значит, с учетом погрешностей, высота нашего класса соответствует правилам проектирования.

Эксперимент 2

Измерение высоты дерева с помощью угольника.

Размеры катетов угольника ВС = 15 см = 0,15 м, CD = 8,5 см = 0,085 м

Расчеты:

∆ BСD ⁓ ∆ DMK (по двум углам), поэтому BC : ВM = DC : KM.

Высота дерева при расчетах Романа М. 0,15 : 9,24 = 0,085 : КМ; КМ = 9,24 ·0,085 : 0,15 ≈ 5,24 м

Высота дерева при расчетах Егора Р. 0,15 : 10,64 = 0,085 : КМ; КМ = 10,64 · 0,085 : 0,15 ≈ 6,03 м

Чтобы найти полную высоту дерева необходимо к полученному результату прибавить свой рост. Расчеты Романа М. 5,24 + 1,61 = 6,85 м. Расчеты Егора Р. 6,03 + 1,56 = 7,59 м.

Вывод: Несмотря на то, что мы измеряли высоту одного и того же дерева, разность результатов равна 7,59 – 6,85 = 0,74 м = 74 см. Мы считаем, что эта допустимая величина с учетом погрешности.

Заключение

Подобие треугольников в жизни незаменимо. Подобие применяется от школьной доски вплоть до фасадов зданий. Создание моделей в ключевых задачах помогло нам увидеть эти ситуации в экспериментальной деятельности. Мы узнали много нового о свойствах подобия треугольников и применили их на местности. Знания, полученные в ходе исследовательской работы, останутся в памяти надолго. Мы исследовали прикладное применение подобия треугольников в практической жизни человека. Конечно, чтобы добиться более точных измерений, необходима тренировка.

Проблема решена, свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности.

Гипотеза подтвердилась частично, так как методы, которые мы использовали, дают погрешности и не всегда ускоряют вычисления. Возможно, нужна тренировка при решении прикладных задач на определение размеров объекта и расстояния до недоступной точки.

Практическая значимость исследовательской работы:

В результате анализа подобранной литературы, найдены и изучены различные признаки и свойства подобных треугольников, показана необходимость изучения данного вопроса своим одноклассникам;

Ознакомились с историей возникновения и развития теории подобия и поделились своими знаниями со сверстниками;

Узнали способы измерительных работ на местности;

Провели экспериментальную работу на измерение высоты предмета и расстояния до недоступной точки.

Литература

Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 16-е изд. - М.: Просвещение; 2010 г.

Изучение геометрии в 7-9 классах: Метод. рекомендации кучеб.: Кн. для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. - М.: Просвещение, 1997 г.

Верн Ж. Таинственный остров. - М. Детгиз, 1956.

Депман И.Я. Мир чисел. Рассказы о математике. - Л.: Детская литература, 1975 г.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1989 г.

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. - М. АОО "Столетие", 1994.

Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику - Москва: Наука, 1989 - с.240

Приложение 1

Старинные книги, где упоминается подобие треугольников.

Книга «Устав ратных, Книга «Сошное письмо»

пушечных и других дел,

касающихся до военной науки»

Приложение 2

Стена, покрытая сетью квадратиков в погребальной камере отца фараона Рамсеса II.