Реферат на тему «Исследование функции с помощью производной»

Реферат на тему: Исследование функции с помощью производной

Работу выполнила

ученица 11 класса Б

МОУ ГСОШ

Шепелёва Анастасия

г.Калязин, Тверская область

План работы:

1. История создания. Свойства функции:

Область определения функции;

Множество значения функции;

Четность, нечетность;

Периодичность;

Нули функции;

Экстремум;

Непрерывная функция;

Монотонная функция;

Асимптота;

Выпуклая и вогнутая функция, точки перегиба.

Глава 3 Схема исследования функции:

Область определения функции;

Область значения функции;

Интервалы непрерывности, точки разрыва функции и их классификация;

Нули функции, точки пересечения графика с осями координат;

Поведение функции на бесконечность, асимптоты графика функции;

Четность, нечетность функции;

Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума;

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

Дополнительные точки;

График.

Глава 1

История создания производной.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Процесс вычисления производной называют дифференцированием. Обратный процесс – интегрированием.

Термин "граница" и соответствующий символ lim впервые было введено английским математиком и механиком Исааком Ньютоном. Строгое определение предела и непрерывности функции сформулировал в 1823 г. французский математик Огюстен Луи Коши. Открытию походно и основ дифференциального исчисления предшествовали работы французского математика и юриста Пьера Ферма, который в 1629 году предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривых, фактически опирались на применение производных. Этому способствовали также работы Рене Декарта,

разработавший метод координат и основы аналитической геометрии. Лишь в 1666 году Ньютон и несколько позже Лейбниц независимо друг от одного построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенную скорость, а Лейбниц, - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. Ньютон и Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов функций. В частности, Лейбниц сформулировал теорему о достаточное условие роста и убывания функции на отрезке.  Эйлер в работе "Дифференциальное исчисление"различал локальный экстремум и крупнейшие и самые маленькие значение функции на определенном отрезке. Обозначения производной у 'и f' (х) ввел французский математик Жозеф Луи Лагранж.

Глава 2.

Свойства функции

Область определения функции (ООФ) D(f)— множество, на котором задаётся функция.

Область значений функции  E(f)— множество, которое получается в результате применения функции.

Нечётные и чётные функции — функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.

Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (y(-x)=-y(x)) .

Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (y(-x)=y(x)).

1 Четная функция 2 Нечетная функция 3 Ни четная, ни нечетная функция

Периодичность

Функции y=sin α, y=cos α – периодические с периодом 2, а функции

y

Периодичность

Нули функции

=tg α, y=ctg α – с периодом π.

Нули функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума (min), а если максимум — точкой максимума (max).

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения.

непрерывная функция разрывная функция

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное.

возрастание убывание

Асимптота — прямая линия к которой неограниченно приближается график функции по мере удаления его от начала координат в бесконечность. График может иметь неограниченное количество асимптот.

Вертикальная асимптота — прямая вида x=a при условии существования предела  

Горизонтальная асимптота — прямая вида y=a при условии

существования предела

Наклонная асимптота — прямая вида y=kx + b при условии

существования пределов

вертикальная горизонтальная наклонная

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Вогнутая функция — функция, у которой надграфик является вогнутым множеством.

Точка перегиба плоской кривой — это точка кривой, в которой ее кривизна меняет знак. Для графика функции, это эквивалентно тому, что знак меняет вторая производная функции.

Глава 3.

Исследование функции y=

Область определения функции

(корней нет)

Данная функция является многочленом, поэтому определена на всей числовой оси:

Область допустимых значений

(-2; 10)

Интервалы непрерывности, точки разрыва функции и их классификация.

Т.к. данная функция является многочленом, т.е. комбинацией элементарных функций, то она непрерывна на всей области своего определения , точек разрыва и вертикальных асимптот не имеет.

Нули функции (точки пересечения графика с осями координат)

С осью OY:

Одна точка пересечения

С осью OX:

Две точки пересечения

Поведение функции на бесконечности. Асимптоты графика функции

а) вертикальные асимптоты х=а

Т.к. данная функция определена на всей числовой оси и не имеет точек разрыва, график функции вертикальных асимптот не имеет.

б) горизонтальные асимптоты у=в

в) наклонная асимптота y=kx + b

Четность, нечетность функции

Условия четности и нечетности не выполнено, следовательно функция является ни четной ни нечетной.

Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума

Производная y’ является многочленом, поэтому определена на всей числовой оси

К ритическая точка разбивает область определения на интервалы

В каждом из которых производная y’ сохраняет знак, а функция возрастает или убывает.

В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит это точка минимума.

Точек максимума нет

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Производная является многочленом, поэтому определена на всей числовой оси

Критические точки разбивают область определения на интервалы

В каждом из которых производная сохраняет знак, а функция выпукла или вогнута

В точках производная меняет знак, значит, это точки перегиба

Дополнительные точки

График
DOCX / 75.41 Кб