Урок алгебры в 7 классе на тему «Числовые и алгебраические выражения»

Числовые и алгебраические выражения

Цель: повторяя материал курса математики 5–6 классов, ввести термины: математический язык, математическая модель, не давая им строгого обоснования; дать учащимся возможность привыкнуть к этим терминам и включить их в свой рабочий словарь, то есть заложить фундамент математического языка.

У р о к 1

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Познакомить учащихся с основной идеей, объектами изучения, методами познания реальной действительности, возможностями нового учебного предмета – алгебры.

2. Познакомить учащихся с новым учебником, его концепцией, стилем изложения, со знаками, которые используются в учебнике.

3. Повторяя материал курса математики 5–6 классов, вспомнить определения и привести примеры:

а) числовых выражений;

б) алгебраических выражений;

в) порядка выполнения действий в числовых выражениях;

г) переместительного и сочетательного законов сложения и умножения;

д) понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа;

е) арифметических операций с обыкновенными и десятичными дробями;

ж) основного свойства обыкновенной дроби;

з) правил действий с положительными и отрицательными числами.

4. Показать учащимся, что задача нового учебного предмета заключается не только в изучении новых алгебраических фактов, а и в обучении умению использовать их на практике.

II. Отработка практических знаний и навыков.

Устно № 1.1; 1.2; 1.4; 1.5; 1.7; 1.14; 1.19.

Письменно № 1.3; 1.7; 1.11; 1.13.

III. Задание на дом: § 1, № 1.6; 1.10; 1.13.

У р о к 2

I. Организационный момент урока.

1. Проверить правильность выполнения учащимися домашней работы (это можно сделать, вызвав трех учащихся к доске или предложив им записать решения на кодопозитивах и потом проверить через кодоскоп).

2. В это время с классом провести устную работу, повторяя весь теоретический материал предыдущего урока.

3. Вспомнить с учащимися понятия:

а) значения числового выражения,

б) свойства нуля при выполнении различных арифметических действий.

II. Закрепление практических умений учащихся.

№ 1.8 (в, г), № 1.9, № 1.15 (а, в).

а)

б)

№ 1.17 (в, г).

№ 1.41; 1.45; 1.46 (а, б).

III. Задание на дом: § 1, 1.8 (а, б); 1.9, 1.17 (а, б).

У р о к 3

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

Проведем математический диктант.

1. Запишите числовое выражение и найдите его значение.

а) сумма чисел

б) разность чисел

в) произведение чисел

г) частное от деления чисел

2. Составьте числовое выражение, значение которого равно

используя при этом:

а) только одно действие;

б) сложение и умножение;

в) вычитание и деление;

г) сложение и вычитание.

3. Составьте числовые выражения, используя в их записи только четыре

так, чтобы эти выражения принимали следующие значения: 0; 1; 2.

Далее предложить учащимся поменяться работами и провести взаимопроверку.

Для полного контроля правильные ответы можно заготовить на отвороте доски ли на кодопозитивах.

II. Отработка практических умений и навыков.

1. Повторить определения:

а) алгебраического выражения;

б) понятие переменных;

в) значение алгебраического выражения.

2. Разобрать решение примера № 1, 2 из учебника.

3. Выполнить задания:

Устно: № 1.20; № 1.27.

Письменно: № 1.31 (б, г); 1.40; 1.33 – при решении этого задания полезно обыграть возникшую ситуацию.

III. Задание на дом: § 1, 1.41.

У р о к 4

I. Организационный момент урока.

1. Проверить правильность выполнения домашнего задания. Решение № 1.41 записать на доске.

2. Разобрав пример 2, с. 10–11 учебника, ввести понятия допустимых и недопустимых значений переменной.

II. Закрепление изученного материала.

1. Устно: № 1.34; 1.35; 1.36.

2. Письменно: № 1.43 (а); 1.44 (а); 1.47.

3. Провести самостоятельную работу:

I вариант – № 1.38 (а); 1.42 (а).

II вариант – № 1.38 (б) ; 1.42 (б).

III вариант – № 1.38 (в); 1.42 (в).

IV вариант – № 1.38 (г); 1.42 (г).

III. Задание на дом: § 1, № 1.39; 1.44.

Что такое математический язык

Цель: сформировать понимание учащимися того, что математика – предмет, позволяющий правильно ориентироваться в окружающей действительности; предмет, который реальные процессы описывает на особом математическом языке. Познакомить учащихся с некоторыми символами, правилами математического языка.

I. Вводная беседа.

1. Выяснить, из чего состоит письменная и устная речь математического языка.

2. Вспомнить, с какими символами математического языка уже встречались учащиеся.

3. Познакомить учащихся с основами математического языка, которые будут ими изучаться в главах 1–5.

4. Обобщая новые сведения, попытаться сделать с учащимися вывод, что главное назначение математического языка – способствовать организации деятельности.

II. Отработка практических умений учащихся.

На первом уроке:

Устно: № 2.7; 2.8; 2.9; 2.10.

Письменно: № 2.4; 2.5; 2.6.

№ 2.11 – самостоятельно (один человек за доской для последующей проверки правильности выполнения задания).

На втором уроке:

Устно: № 2.12; 2.13; 2.19; 2.21; 2.23.

Письменно: № 1.43(б); 1.44(б); 1.46(в, г).

III. Задание на дом: § 2.

Урок 1: № 2.1; 2.2.

Урок 2: № 2.20.

Что такое математическая модель

Цель: сформировать понимание учащимися сути термина «математическое моделирование». Привести примеры, показывающие, как может математика описывать реальные процессы на особом математическом языке в виде математических моделей. Познакомить учащихся с тремя этапами математического моделирования и выработать умение применять полученные знания на практике.

I. Изучение нового материала.

1. Провести с учащимися беседу по тексту § 3 учебного пособия, ввести понятие «математическая модель».

2. Для получения ответа на вопрос, зачем нужна математическая модель реальной ситуации, разобрать пример 1 из учебника.

3. Подвести итоги: выделить три этапа математического моделирования.

4. Для знакомства с еще одним видом математического моделирования разобрать пример 2 из учебника.

5. Повторить уже известные учащимся виды моделирования:

а) словесная модель;

б) алгебраическая модель;

в) графическая модель;

г) геометрическая модель.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 3.1; 3.2; 3.3; 3.4; 3.9; 3.30; 3.33; 3.37; 4.15.

На втором уроке:

1. Провести самостоятельную работу.

I в а р и а н т II в а р и а н т

№ 3.11; 3.17; 3.31(а) № 3.12; 3.15; 3.31 (в)

2. Выполнить задания.

Устно: 3.41; 3.42.

Письменно: № 3.35; 3.38;4.16.

III. Задание на дом: § 3.

Урок 1: № 3.7; 3.46; 3.33; 3.40.

Урок 2: № 3.36; 3.39; 4.14

Линейное уравнение с одной переменной

Цель: повторить известные из курса 5–6 класса линейные уравнения с одной переменной, отработать алгоритм решения линейного уравнения.

I. Изучение нового материала.

1. Повторить алгоритм решения простых линейных уравнений. Рассмотреть реальную ситуацию (задача из задачника), позволяющую закрепить навыки решения уравнений с одной переменной.

2. Изучить, что называют решением уравнения и что значит решить уравнение.

II. Закрепление изученного материала.

Устно: № 4.1; 4.2; 4.11.

Письменно: № 4.2; 4.3; 4.7 (а, б); 4.9; 4.17.

III. Задание на дом: § 4, № 4.7 (в, г); 4.10; 4.4; 4.18.

Координатная прямая

Цель: повторить понятие координатной прямой (координатной оси), правило нахождения точки по заданной координате и правило отыскания координаты заданной точки. Познакомить учащихся с видами числовых промежутков. Обучить умению непринужденно связывать геометрическую и аналитическую модели промежутка и выбирать адекватное обозначение и символическую запись.

I. Изучение нового материала.

1. Повторить определение координатной прямой (координатной оси) и составляющих ее элементов (начало отсчета, масштаб; положительное направление).

2. На конкретных примерах с использованием таблиц, заготовленных заранее на плакатах, доске или кодопозитивах вспомнить правило нахождения точки по заданной координате и правило отыскания координаты заданной точки.

3. Используя таблицы на основе рисунков 10–19 учебника, изучить с учащимися виды числовых промежутков.

4. Результаты изучения видов числовых промежутков оформить в сводную таблицу, которую можно будет использовать при закреплении.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

№ 5.1.

Устно: № 5.2; 5.3.

Самостоятельно (один человек за доской для последующей проверки правильности выполнения задания) № 5.5; 5.6.

№ 5.7–5.14 – буквы (в, г) в каждом из заданий.

№ 5.15; 5.16.

На втором уроке:

№ 5.17–5.19 буквы (в) в каждом из заданий.

Устно: № 5.20–5.25.

№ 5.28; 5.29.

Устно: № 5.30–5.35.

III. Задание на дом: § 21.

Урок 1: № 5.7–5.14; 5.4 – буквы (а, б) в каждом из заданий.

Урок 2: № 5.17–5.19 (буквы а, б); 5.26.

КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Цель: повторить все термины, связанные с декартовыми прямоугольными координатами на плоскости. Изучить алгоритмы нахождения координат точки на плоскости и отыскания точки по ее координатам. Выработать умение пользоваться изученными алгоритмами.

I. Изучение нового материала.

1. Вспомнить с учащимися все изученные ранее термины, связанные с декартовыми прямоугольными координатами на плоскости: прямоугольная система координат; абсцисса, ордината, ось абсцисс, ось ординат; начало координат; координатные углы.

2. Изучить алгоритм отыскания координат точки М, заданной в прямоугольной системе координат.

3. Подробно и наглядно рассмотреть все возможные случаи расположения точек в координатной плоскости (в каждом из координатных углов и на каждой оси координат).

4. Изучить с учащимися особенности уравнений х = а и у = b и их графическое изображение.

5. Изучить алгоритм построения точки М (а; в) в прямоугольной системе координат.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 6.1–6.3.

Письменно: № 6.9; 6.10; 6.12.

Самостоятельно № 6.13.

Устно: № 6.14–6.16.

Письменно: № 6.22; 6.28.

На втором уроке:

1) Устно: № 6.4–6.6.

Письменно: № 6.21.

№ 6.24 (в, г); 6.39 (а).

2) Провести самостоятельную работу.

I в а р и а н т II в а р и а н т

№ 6.32 (в) № 6.32 (г)

№ 6.40 (б) № 6.40 (а)

III. Задание на дом: § 6.

Урок 1: № 6.7; 6.8; 6.11.

Урок 2: № 6.23; 6.28; 6.31; 6.39 (б).

Линейное уравнение
с двумя переменными и его график

Цель: познакомить учащихся с линейным уравнением с двумя переменными. Выяснить, что является решением уравнения, что значит решить уравнение. Обучить учащихся строить график линейного уравнения с двумя переменными. Изучить алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0. Обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами построения графика уравнения ax + by + c = 0 и решения задач с помощью уравнений с двумя переменными.

I. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными.

2. Рассмотреть реальную ситуацию (задача из учебника), позволяющую познакомить учащихся с линейным уравнением с двумя переменными.

3. Изучить, что называют решением уравнения и что значит найти его корни.

4. Акцентировать внимание учащихся на том, что не все решения линейного уравнения являются решениями задачи, по условию которой было составлено данное уравнение.

5. Разобрать пример 1 из учебника, с. 36.

6. Ввести понятие графика линейного уравнения ax + by + c = 0 и геометрической модели уравнения.

7. Разобрать и подробно оформить в тетрадях решение примера 2 из учебника.

8. Изучить и отработать алгоритм построения графика уравнения
ax + by + c = 0.

9. Выполнить пример 3 из учебника.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 7.1; 7.5; 7.6.

Письменно: № 7.11; 7.14; 7.18 (в, г).

в)

1) если х = 0, то

;

3у = –18;

y = –6.

2. Составьте какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел (5; – 2).

3. Решите уравнение:

а) ; б) 2,5x = 0;

в) 0x = 5; г) 0,1x = –2;

д) 0x = 0.

4. Устно: № 7.7.

Письменно: № 7.19; 7.20; 7.24.

б) 7s + 9t – 63 = 0

1) 7s = 63 – 9t; 2) 9t = 63 – 7s;

. .

№ 7.25; 7.27; 7.21.

На третьем уроке:

Устная работа.

1. Является ли решением уравнения x – 2y = 6 пара чисел:

а) (0;0); б) (2; –2); в) (8; 1);

г) (0; 3); д) (15; 4); е) (6; 0);

ж) (–5; 5,5)?

2. Выразите переменную у через переменную х из уравнения:

а) x + y = 1; б) 3x – y = 2; в) 2x + 5y = 10.

3. Точки А (…; 9), В (0; …), С (1; …), D (…; – 3) принадлежат графику уравнения 3x – y = 6.

Найдите пропущенные координаты.

III. Отработка практических умений.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 4 из учебника.

2. Решить задачи.

№ 7.34; 7.22; 7.29.

IV. Задание на дом: § 7.

Урок 1: № 7.8; 7.10; 7.13; 7.17.

Урок 2: № 7.16; 7.23; 7.26.

Урок 3: № 7.31; 7.35.

Линейная функция и ее график

Цель: ознакомить учащихся с линейной функцией и ее графиком. Выработать у учащихся умение строить и читать график функции y = kx + b.

I. Изучение нового материала.

1. Повторить алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0.

2. Помочь учащимся увидеть, что если это уравнение преобразовать к виду , а введя обозначения , , – к виду y = kx + m, то найти координаты точек соответствующей прямой удается легче и быстрее.

3. Изучить определение линейной функции.

4. Познакомить учащихся с понятиями независимая переменная и зависимая переменная.

5. Выяснить с учащимися, что является графиком линейной функции.

6. Разобрать пример 1, c. 44.

7. Разобрать три математические ситуации, приведенные в учебнике, и сделать вывод, что во многих случаях недостаточно составить математическую модель ситуации, необходимо еще очертить границы применимости модели.

8. Разобрать пример 2 из учебника и подробно оформить его решение в тетрадях.

9. Разобрать и оформить решение примера 3.

10. Ввести понятия наибольшее значение функции и наименьшее значение функции.

11. Разобрать пример 4 из учебника.

12. Разобрать пример 5 и ввести понятия и условия возрастания и убывания функции.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 8.1; 8.2; 8.9; 8.14 (в, г).

Письменно: № 8.15; 8.19.

На втором уроке:

Устно: № 8.4; 8.27.

Письменно: № 8.29; 8.32; 8.48; 8.52.

На третьем уроке:

Устная работа.

1. Является ли линейной функция, заданная формулой:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ?

Для этих формул укажите коэффициенты k и b.

2. Найдите координаты точки пересечения графика функции, заданной формулой y = 7x – 14, с: а) осью х; б) осью у.

Устно: № 8.62; 8.63.

Письменно: № 8.46; 8.50; 8.54; 8.57; 8.58; 8.61.

III. Задание на дом: § 8.

Урок 1: № 8.10; 8.14 (а, б); 8.17; 8.18.

Урок 2: № 8.28; 8.34; 8.47.

Урок 3: № 8.45; 8.53; 8.56; 8.60.

Линейная функция y = kx

Цель: ознакомить учащихся с прямой пропорциональностью, ее графиком и свойствами. Выработать у учащихся умение строить и читать график функции y = kx.

I. Изучение нового материала.

1. Ознакомить учащихся с прямой пропорциональностью.

2. Ввести понятие коэффициент пропорциональности.

3. Сформулировать и доказать теорему о графике прямой пропорциональности.

4. Обучить учащихся умению переходить от аналитической модели y = kx к геометрической и от геометрической к аналитической.

5. Выяснить с учащимися: как коэффициент пропорциональности влияет на угол, который прямая y = kx образует с положительным направлением оси х.

6. Ввести понятие угловой коэффициент.

7. Изучить теорему 4.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 9.1; 92.

Письменно: № 9.3.

Самостоятельно № 9.4; 9.9; 9.11; 9.14.

На втором уроке:

Устно: № 9.5; 9.13.

Письменно: № 9.17; 9.15; 9.19.

III. Задание на дом: § 9.

Урок 1: 9.8; 9.10; 9.15.

Урок 2: № 9.12; 9.16; 9.18.

Взаимное расположение
графиков линейных функций

Цель: изучить, от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Выработать умение определять взаимное расположение графиков линейных функций.

I. Изучение нового материала.

1. Изучить теорему 5, c. 55.

2. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров 1 и 2 из учебника.

3. Изучить алгебраическое условие и геометрический вывод о взаимном расположении графиков линейных функций.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устная работа.

1. Среди функций, заданных формулами y = x + 0,5; y = –0,5x + 4; y = 5x – 1; y = 0,5x + 1; , выделите те, графики которых параллельны графику функции y = 0,5x + 4.

2. № 10.1; 10.2.

Самостоятельно № 10.5; 10.6; 10.9.

На втором уроке:

Устная работа.

1. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен графику функции y = 1,3x –7 и проходит:

а) через начало координат;

б) через точку С (0; 10).

2. График линейной функции – прямая, параллельная оси х. Задайте эту функцию формулой, если известно, что ее график проходит через точку:

а) А (1; –4); б) В (–5; 5); в) С (0; 3,5).

3. Устно: № 10.3.

Письменно: № 10.11; 10.12 (в, г); 10.19; 10.23.

III. Задание на дом: § 10.

Урок 1: № 10.4; 10.7; 10.8.

Урок 2: № 10.10; 10.12 (а, б); 10.18.

Основные понятия

Цель: сформировать представление о математической модели система уравнений. Изучить графический метод решения систем уравнений.

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

Повторить с учащимися:

1) Понятие линейного уравнения с двумя переменными.

2) Привести примеры линейных уравнений с двумя переменными.

3) Что называют решением линейного уравнения с двумя переменными.

4) Является ли решением уравнения 2x – y = 3 пара чисел:

а) (0; – 3); б) (– 1; 1);

в) (4; 5); г) (1,5; 0).

5) Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, сколько решений может иметь уравнение ax + by + c = 0?

II. Изучение нового материала.

1. Сформировать у учащихся представление о математической модели система уравнений.

2. Познакомить учащихся с формой записи систем уравнений.

3. Изучить, что называют решением системы уравнений.

4. Изучить графический метод решения системы линейных уравнений, разобрать и оформить решения примеров 1, 2 и 3 из учебника.

5. Обобщить результаты решений этих примеров и сделать выводы о графическом методе решения систем уравнений:

а) что собой представляют графики обоих уравнений системы?

б) в каком случае система имеет единственное решение?

в) какая система является несовместимой?

г) о какой системе говорят, что она несовместима?

6. Подвести учащихся к пониманию того, что графический метод не всегда надежен и удобен, а значит, необходим алгебраический метод решения систем.

III. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 11.1; 11.2.

Самостоятельно № 11.3; 11.4; 11.6; 11.12; 11.13.

На втором уроке:

Устная работа.

1. При каком значении с график уравнения y = 3x + c проходит через точку:

А (– 4; 0); В (0;0); М (– 3; 1); К (0; – 8)?

2. Каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков линейных функций:

а) y = –3x + 1 и y = 5x + 2;

б) y = 6x – 5 и y = 6x + 7?

Ответ обоснуйте.

3. Устно: № 11.8; 11.9.

Письменно: № 11.16; 11.17; 11.18; 11.20; 11.21.

Так как первое уравнение обращается в верное равенство при х = 5 и у = –3, можно найти значение а из соотношения .

Теперь можем решить систему уравнений.

Ответ: (2; 1).

IV. Задание на дом: § 11.

Урок 1: № 11.7; 11.10.

Урок 2: № 11.15; 11.19.

Метод подстановки

Цель: сформировать у учащихся умение решать системы двух линейных уравнений методом подстановки. Обеспечить овладение всех учащихся основными алгоритмическими приемами этого метода.

I. Изучение нового материала.

1. Повторить этапы графического метода решения систем уравнений.

2. Вспомнить, какие выводы были сделаны на предыдущих уроках по этому методу.

3. Показать учащимся алгебраический метод решения примера 2 из предыдущего параграфа.

4. Изучить алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.

5. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров 1 и 2 из учебника.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устная работа.

1. Является ли решением системы пара чисел:

а) (– 1; 1); б) (2; –1); в) (6; 2,5)?

2. Приведите пример уравнения с переменными х и у, равносильного линейному уравнению:

а) x – y = 3; б) ; в) .

3. Назовите три решения уравнения:

а) y = 2x + 5; б) xy = 0; в) x – y = 1;

г) ; д) .

4. № 12.5.

Письменная работа № 12.8; 12.9.

в)

1) Из первого уравнения x = 35 – 5y;

2) Подставим найденное выражение вместо х во второе уравнение системы и решим его:

3) ;

x = 5.

Ответ: (5; 6).

№ 12.9 (в, г).

На втором уроке:

I. Устная работа.

1. Решить систему уравнений

а)

б)

в)

2. Пересекает ли ось х график уравнения:

а) 7x – 9y = 1; б) y – x2 = 9;

в) 3x – 0y = 5; г) 1,5y + 0x = 6;

д) 4x – y = 0?

3. № 12.6.

Письменно: № 12.14 (в, г); 12.15 (б, в, г); 12.16 (в, г).

Провести обучающую самостоятельную работу на III варианта по степени сложности.

I в а р и а н т

1. Выразите у через х:

а) x + y = 2; б) y – 6x = 1;

в) x – y = 4; г) 2y – x = 3.

2. Выразите х через у:

а) x + y = 6; б) x – 2y = 4;

в) 2y – x = 1; г) 3x – y = 2.

3. Выразите одну какую-либо переменную через другую:

а) x – 2y = 3;

б) 3x + y = 5;

в) 2y – x = 10.

4. Закончите решение системы:

y = 13 – 3x

II в а р и а н т

1. Выразите из уравнения одну переменную через другую:

а) 3x + y = 217; б) 5x – y = 17;

в) x + 6y = 4; г) 3x + 2y = 1.

2. Решая систему уравнений

ученик нашел, что х = 3, у = –2. Подставив вместо х и у найденные значения, проверьте, правильно ли решена система.

3. Решите способом подстановки систему уравнений:

Решение: x = y + 10.

2(y + 10) + 3y = 0 (закончите решение).

4. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку:

а) б)

III в а р и а н т

1. Является ли пара чисел (– 3; 4) решением системы уравнений:

а)

б)

в)

2. Приведите уравнение к виду ax + by = c и выразите одну переменную через другую:

а) ;

б) .

3. Имеет ли данная система уравнений решения, и если имеет, то сколько:

а)

б)

в)

На третьем уроке:

I. Устная работа.

1. Являются ли системы линейных уравнений равносильными:

а) и

б) и

2. В какой точке прямая 7y – 4x = 28 пересекает:

а) ось х; б) ось у?

3. № 12.7

II. Решение систем уравнений.

1. Провести анализ результатов самостоятельной работы.

2. Выполнить № 12.19 (а, б).

г)

Ответ: (2; – 1).

№ 12.20 (в, г)

в)

Ответ: (– 6; 4).

На четвертом уроке:

1. № 12.21 (б, в, г); 12.22 (б, в, г).

2. Самостоятельная работа.

I в а р и а н т

Решите систему уравнений:

а) б)

в) г)

д) е)

Ответы: а) (2; 9); б) (– 2; 2); в) (7; – 3); г) (5; 8); д) (– 1; –1); е) (– 3; 0).

II в а р и а н т

Решите систему уравнений:

а) б)

в) г)

III в а р и а н т

Решите систему уравнений

а) б)

в) г)

Найдите координаты точек пересечения прямых:

y = 3,73x + 0,01 и y = 2,23x – 0,04.

III. Задание на дом: § 12.

Урок 1: № 12.8; 12.9 (а, б).

Урок 2: № 12.14 (а, б); 12.15 (а); 12.16 (а, б).

Урок 3: 12.19 (в, г).

Урок 4: № 12.21 (а); 12.22 (а).

Метод алгебраического сложения

Цель: обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом алгебраического сложения.

У р о к 1

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

Рассмотрев примеры 1 и 2 из учебника, изучить с учащимися приемы решения системы уравнений методом алгебраического сложения.

III. Закрепление изученного материала.

Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) ; б) ;

в) 0,3y = –6; г) .

2. Решите систему уравнений:

а) б)

в)

3. Пара чисел является решением уравнения x – 3y = 7. Найдите неизвестное число в паре: (…, 6); (0, …); (– 5; …); (…, 0).

Письменно № 13.2 (в, г); 13.4; 13.5 (в, г).

в)

Ответ: (– 1; 4).

У р о к 2

I. Устная работа.

1. Назовите три решения уравнения:

а) y = x + 5; б) xy = 6;

в) x + y = 1; г) 6 + 0x = 2y.

2. Разложите на множители:

а) y12 = 64; б) 25a4p4 – 1;

в) 1,21 – 2,25b6; г) 4a2 + 12a + 9;

д) b4 + 10b2 + 25; е) 3,5x6 – 3,5.

3. Являются ли системы двух уравнений с двумя переменными

и равносильными?

Как получить вторую систему из первой?

II. Письменно № 13.7 (в, г); 13.9 (в, г); 13.14 (в, г).

III. Самостоятельная работа.

I в а р и а н т

1. Умножьте одно из уравнений системы или каждое из них на какое-либо число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных:

а) б)

в)

2. Закончите решение системы:

3. Решите систему уравнений:

Для этого:

1) умножьте все члены первого уравнения на 5, а второго – на –3;

2) сложите почленно левые и правые части уравнения;

3) найдите х из получившегося уравнения;

4) вычислите соответствующее значение у, подставив найденное значение х в одно из уравнений системы.

II в а р и а н т

1. Является ли пара чисел (– 1; 2) решением системы уравнений:

а) б)

в)

2. Решите способом сложения систему уравнений:

Решение:

Закончите решение.

3. Решите систему уравнений способом сложения и сделайте проверку:

а) б)

III в а р и а н т

1. Решите систему уравнений способом сложения:

а) б)

в)

2. Решите систему уравнений способом подстановки или способом сложения:

а) б)

в) г)

У р о к 3

Устно выполнить:

1. Решите систему уравнений способом сложения:

а) б)

2. Определите, в какой точке пересекаются прямые:

а) x – y = 3 и y = 3;

б) 5x + y = 4 и x – 0,2 = 0;

в) y = 0 и 6x – 11y = –18;

г) y = x и 3х – у = 0.

3. При каком значении k график линейной функции y = kx + 1:

а) параллелен оси х;

б) пересекает ось х?

Письменно № 13.10 (в, г); 13.12 (б); 13.13 (в, г).

в)

y = 12x + 2,6.

У р о к 4

I. Устная работа.

1. Проходит ли через точку М (1; 3) график уравнения:

а) y = 3x; б) y = 2x + 1;

в) 5x – 2y = –1; г) 0x + 4y = 13.

2. Первое уравнение системы y = x – 2. Подберите для системы второе уравнение так, чтобы эта система:

а) имела единственное решение;

б) не имела решений;

в) имела бесконечное множество решений.

II. Письменно: № 13.11 (в, г); 13.15 (в, г).

III. Самостоятельная работа.

I в а р и а н т

Решите систему уравнений.

а) б)

в) г)

II в а р и а н т

Решите систему уравнений способом сложения или способом подстановки:

а) б)

в) г)

III в а р и а н т

Решите систему уравнений:

а) б)

в)

IV. Задание на дом: § 37.

Урок 1: № 13.1; 13.2 (а, б); 13.5 (а, б).

Урок 2: № 13.7 (а, б); 13.9 (а, б); 13.14 (а, б).

Урок 3: № 13.10 (а, б); 13.12 (а).

Урок 4: № 13.11 (а, б); 13.13 (а, б); 13.15 (а).

Системы двух линейных уравнений
с двумя переменными как математические
модели реальных ситуаций

Цель: познакомить учащихся с применением систем линейных уравнений при решении задач. Обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения систем двух линейных уравнений при решении задач.

На первом уроке:

I. Устная работа.

1. Составьте уравнение, зная что:

а) длина прямоугольника х м, ширина у м, а периметр 24 м;

б) основание равнобедренного треугольника а см, боковая сторона b см, периметр 59 см;

в) туристы 5 ч ехали на автобусе со скоростью х км/ч и 8 ч на поезде со скоростью у км/ч. За эти 13 ч туристы проехали 680 км.

2. Приведите пример уравнения с переменными х и у:

а) имеющего одно решение;

б) не имеющего решений;

в) имеющего бесконечное множество решений;

г) решением которого была бы любая пара чисел.

II. Письменно: № 14.2; 14.4; 14.5.

На втором уроке:

I. Устная работа.

1. Составьте уравнение по следующему условию задачи:

а) В одном магазине было х кг яблок, а в другом у кг. За день продали: первый магазин 12 % имеющихся там яблок, а второй – 15 %, всего было продано 1,5 т яблок;

б) Тетрадь стоит х рублей, блокнот – у рублей. Два блокнота втрое дороже пяти тетрадей.

2. Разложите на множители:

а) x2 – 4y2; б) 8p3 + 1;

в) 16x4 – x6; г) 0,01 – a4;

д) ; е) –144 + p2.

II. Письменно: № 14.9; 14.20.

Ответ: 200; 160.

№ 14.21; 14.22; 14.24.

На третьем уроке:

I. Устная работа.

1. Составьте уравнение по условию задачи:

а) Собственная скорость катера а км/ч, скорость течения реки х км/ч. За 3 ч вверх по реке катер прошел 54 км.

б) В одной коробке х кг печенья, в другой – у кг. Если из одной коробке переложить в другую 3 кг, печенья в коробке станет поровну.

2. Представить в виде многочлена стандартного вида:

а) x (x + 3); б) (3 – a)(a + 3);

в) (x2 + 1)(1 – x2); г) (x + 1)(x2 – x + 1);

д) (1 – 2b)2; е) .

II. Письменно: № 14.27.

Пусть х см/с – скорость точки, движущейся быстрее, а у см/с – скорость второй точки; тогда получим систему уравнений:

Следовательно, скорость первой точки 15 см/с, а второй – 10 см/с.

Ответ: 15 см/с; 10 см/с.

№ 14.11.

Ответ: 4 ц; 5 ц.

№ 14.12.

На четвертом уроке:

I. Устная работа.

1. Опишите с помощью системы уравнений следующую ситуацию:

а) Разность двух чисел равна 12. Одно из них больше другого в 4 раза;

б) В классе 36 учеников. Девочек на 3 меньше, чем мальчиков;

в) 4 боксера тяжелого веса и 5 боксеров легкого веса вместе весят 730 кг. Спортсмен тяжелого веса весит на 70 кг больше спортсмена легкого веса.

2. Придумайте ситуацию, которая описывается следующей системой уравнений:

а) б)

II. Письменно: № 14.29; 14.17; 14.30; 14.31.

Если позволит время, можно порешать задачи № 14.32–14.38.

III. Задание на дом: § 14.

Урок 1: 14.1; 14.3; 14.7.

Урок 2: № 14.8; 14.19; 14.23.

Урок 3: № 14.6; 14.10; 14.33.

Урок 4: № 14.16; 14.18.

Что такое степень
с натуральным показателем

Цель: познакомить учащихся с понятием степени с натуральным показателем и ее компонентами. Выработать умение читать степени любых чисел с любым натуральным показателем и выполнять операцию возведения в степень.

I. Изучение нового материала.

1. Показать учащимся, как одна из особенностей математического языка – стремление применять более короткие записи – способствовала появлению понятия степени с натуральным показателем.

2. Помочь учащимся понять необходимость появления определения степени с натуральным показателем.

3. Изучить с учащимися определение степени с натуральным показателем и составляющих ее компонентов: степень; основание степени; показатель степени.

4. Ввести символы для обозначения степени.

5. Разобрать примеры 1, 2, 3 из учебника, иллюстрирующие новое определение.

6. Познакомить учащихся с определением степени числа а с показателем 1.

7. Разобрать пример 4 из учебника.

8. Ввести понятие операции возведения в степень.

II. Закрепление изученного материала.

№ 15.7; 15.10; 15.22.

Самостоятельно: № 15.8; 15.20; 15.24; 15.25; 15.26.

№ 15.34; 15.37.

III. Задание на дом: § 15, № 15.5; 15.6; 15.9; 15.32.

Таблицы основных степеней

Цель: выработать у учащихся умение составлять таблицы основных степеней и пользоваться ими при вычислениях и нахождении значений выражений.

I. Изучение нового материала.

1. Предложить учащимся вспомнить, какой таблицей при вычислениях пользуются все.

2. Показать учащимся, что на практике полезна и таблица степеней простых однозначных чисел.

3. Обучить учащихся принципу составления таблиц степеней.

4. Разобрать примеры по применению составленных таблиц.

5. Составить таблицы степеней для чисел 1; 0; –1.

6. Изучить с учащимися формулы степеней числа –1 с четным и нечетным показателем.

7. Познакомить учащихся с особенностями степени с основанием 10.

8. Разобрать пример 2 из учебника на применение новых знаний.

II. Закрепление изученного материала.

№ 16.1 самостоятельно. Для проверки на обратной стороне доски заранее заготовить таблицу и по очереди вызывать троих учащихся для последовательного заполнения таблицы по одной строчке, а затем сравнить с работой класса.

Устно: № 16.2–16.5; 16.14 (а, б); 16.15; 16.17.

Письменно: 16.22 (в); 16.13 (в, г); 16.25; 16.26.

III. Задание на дом: § 16, № 16.12; 16.22 (а); 16.13 (а, б); 16.14 (в, г).

Свойства степени
с натуральным показателем

Цель: изучить свойства степени с натуральным показателем, их формулировки и символическую запись. Познакомить учащихся с новым терминами: определение, теорема, доказательство. Сформулировать и доказать теоремы 1–3, с. 80–82. Выработать у учащихся практические умения и навыки по применению изученных свойств.

I. Изучение нового материала.

1. Познакомить учащихся с тремя этапами доказательства какого-либо утверждения.

2. Используя рассмотренный алгоритм, попытаться отработать его при открытии, формулировке, и доказательстве свойств степеней;

а) разобрать решение примера 1 из учебника;

б) познакомить учащихся с термином «теорема», подробно разобрать, что он обозначает и из чего состоит;

в) обучить учащихся умению формулировать теорему и доказывать ее;

г) разобрать решение примера 2 из учебника;

д) сформулировать и доказать теорему 2;

е) разобрать решение примера 3 из учебника;

ж) сформулировать и доказать теорему 3;

з) сформулировать правила и записать формулы, свойства степени с натуральным показателем.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Подробно изучить весь теоретический материал.

Решить № 17.4; 17.3; 17.6; 17.7.

На втором уроке:

Устно: № 17.8; 17.9; 17.13.

Письменно: № 17.12; 17.14; 17.16; 17.19; 17.20.

На третьем уроке:

Устно: № 17.21.

Письменно: № 17.26; 17.35; 17.29.

Провести самостоятельную проверочную работу.

I в а р и а н т: № 17.23 (а, б); 17.24 (б, в); 17.25 (в, г); 17.27 (а, г); 17.28 (а, б).

II в а р и а н т: № 17.23 (в, г); 17.24 (а, г); 17.25 (а, б); 17.27 (б, в); 17.28 (в, г).

Выполнить задания № 17.36 (в, г); 17.37; 17.38 (в, г); 17.40; 17.41.

III. Задание на дом: § 17.

Урок 1: № 17.1; 17.2; 17.5.

Урок 2: № 17.10; 17.11; 17.15; 17.18.

Урок 3: № 17.36 (а, б); 17.38 (а, б); 17.39.

Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями

Цель: изучить правила действий над степенями с одинаковыми показателями. Выработать у учащихся прочные навыки и умения по применению изученных правил при вычислении значений выражений и преобразовании выражений, содержащих степени с одинаковыми показателями.

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

1. Сообщить итоги самостоятельной работы.

2. Проанализировать ошибки, допущенные в работе.

3. Выполнить работу над ошибками.

II. Изучение нового материала.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решения примеров 1, 2, с. 84–85 учебника.

2. Сформулировать и дать символическую запись правил умножения и деления степеней с одинаковыми показателями.

3. Разобрать решение примера 3 из учебника.

III. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

№ 18.2; 18.6; 18.9; 18.14; 18.18.

На втором уроке:

№ 18.15; 18.16; 18.17; 18.19.

IV. Задание на дом: § 18.

Урок 1: № 18.1; 18.3; 18.5.

Урок 2: № 18.7; 18.13; 18.11.

Степень с нулевым показателем

Цель: изучить понятие, смысл степени с нулевым показателем. Обобщить основные результаты знаний, умений и навыков, полученных в 4 главе.

I. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие степени с нулевым показателем.

2. Выяснить смысл символа a0.

3. Изучить определение степени с нулевым показателем.

II. Закрепление изученного материала.

Устно № 19.1; 19.2; 19.3; 19.4.

Письменно № 19.5; 19.6; 19.8 (в, г); 19.9 (в, г); 19.10 (в, г).

III. Обобщение материала, изученного в главе 4.

Во время фронтальной беседы повторить с учащимися основные определения, свойства, теоремы, формулы, правила, изученные в главе 4.

Изученные формулы можно оформить в виде опорной таблицы.

IV. Задание на дом: § 19, подготовка к контрольной работе.

№ 19.8 (а, б); 19.9 (а, б); 19.10 (а, б).

Понятие одночлена.
Стандартный вид одночлена

Цель: познакомить учащихся с понятием одночлена; выработать умение приводить примеры одночленов и определять, является ли выражение одночленом, а также указывать его коэффициент и буквенную часть. Познакомить учащихся с понятием «стандартный вид одночлена» и алгоритмом приведения одночлена к стандартному виду; выработать у учащихся практические навыки его применения.

I. Анализ контрольной работы.

1. Сообщить учащимся результаты контрольной работы.

2. Проанализировать ошибки, допущенные в контрольной работе.

3. Выполнить работу над ошибками.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести определение одночлена и привести примеры, иллюстрирующие это понятие.

2. Дать определение стандартного вида одночлена.

3. Изучить алгоритм приведения одночлена к стандартному виду.

4. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера из учебного пособия.

III. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 20.1–20.4.

Самостоятельно № 20.5 (для проверки правильности выполнения задания один человек решает его за доской).

№ 20.7 (б, г).

б) если c = 15, d = –2, то

г) если p = 1, g = 2, то

№ 20.8 (в, г).

На втором уроке:

1. Повторить изученные на предыдущем уроке понятия, определения и алгоритм.

2. Выполнить самостоятельно:

I в а р и а н т – № 20.9 (а, б); 20.12 (а).

II в а р и а н т – № 20.9 (в, г); 20.12 (б).

Предложить учащимся обменяться тетрадями и провести взаимопроверку, после чего показать им правильные ответы.

3. Выполнить вместе с классом № 20.13 (в, г); 20.15; 20.16 (в, г).

IV. Задание на дом: § 20.

Урок 1: № 20.6; 20.7 (а, б); 20.8 (а, б).

Урок 2: № 20.13 (а, б); 20.14; 20.16 (а, б).

Сложение и вычитание одночленов

Цель: сформировать понимание учащимися того, какие одночлены называются подобными, и выработать умение определять, являются ли данные одночлены подобными. Изучить алгоритм сложения и вычитания одночленов и выработать у учащихся прочные навыки по его применению.

I. Изучение нового материала.

1. Изучить определение подобных одночленов.

2. Привести примеры подобных одночленов.

3. Познакомить учащихся с термином алгоритм.

4. Разобрать пример алгоритма, приведенный в учебнике.

5. Изучить алгоритм сложения и вычитания одночленов.

6. Разобрать примеры 1 и 2 из учебника на применение данного алгоритма.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 21.1–21.3.

Самостоятельно: № 21.4; 21.6.

Устно: № 21.5.

№ 21.11; 21.16 (в, г); 21.17; 21.19.

На втором уроке:

1. Провести самостоятельную работу

I в а р и а н т – № 21.7 (а, б); 21.13.

II в а р и а н т – № 21.7 (в, г); 21.14.

Проверить работу через кодоскоп.

2. Устно: № 21.15.

3. Письменно: № 21.28; 21.29; 21.31 (в, г); 21.32 (в, г).

4. Самостоятельно: 21.34; 21.35; 21.36 (а, б).

На третьем уроке:

1. Познакомить учащихся с задачей (пример 3 из учебника), в процессе решения которой приходится складывать одночлены.

2. Решить задачи № 21.21; 21.38, выделяя три этапа математического моделирования.

№ 21.38.

Первый этап – составление математической модели.

Пусть х – задуманное число, тогда после увеличения на 12 % оно стало равным 1,12х. Если теперь этот результат уменьшить на 24 %, то получится число 0,8512х. Так как по условию оно оказалось меньше задуманного числа на 186, то получим математическую модель задачи:

x – 0,8512x = 186.

Второй этап – работа с составленной моделью.

0,1488х = 186

х = 1250

Третий этап – ответ на вопрос задачи.

За х мы приняли задуманное число, значит оно равно 1250.

Ответ: 1250.

III. Задание на дом: § 21.

Урок 1: № 21.9; 21.12; 21.16 (а, б); 21.18.

Урок 2: № 21.27; 21.30; 21.32 (а, б).

Урок 3: № 21.33; 21.37.

Сложение и вычитание одночленов

Цель: сформировать понимание учащимися того, какие одночлены называются подобными, и выработать умение определять, являются ли данные одночлены подобными. Изучить алгоритм сложения и вычитания одночленов и выработать у учащихся прочные навыки по его применению.

I. Изучение нового материала.

1. Изучить определение подобных одночленов.

2. Привести примеры подобных одночленов.

3. Познакомить учащихся с термином алгоритм.

4. Разобрать пример алгоритма, приведенный в учебнике.

5. Изучить алгоритм сложения и вычитания одночленов.

6. Разобрать примеры 1 и 2 из учебника на применение данного алгоритма.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 21.1–21.3.

Самостоятельно: № 21.4; 21.6.

Устно: № 21.5.

№ 21.11; 21.16 (в, г); 21.17; 21.19.

На втором уроке:

1. Провести самостоятельную работу

I в а р и а н т – № 21.7 (а, б); 21.13.

II в а р и а н т – № 21.7 (в, г); 21.14.

Проверить работу через кодоскоп.

2. Устно: № 21.15.

3. Письменно: № 21.28; 21.29; 21.31 (в, г); 21.32 (в, г).

4. Самостоятельно: 21.34; 21.35; 21.36 (а, б).

На третьем уроке:

1. Познакомить учащихся с задачей (пример 3 из учебника), в процессе решения которой приходится складывать одночлены.

2. Решить задачи № 21.21; 21.38, выделяя три этапа математического моделирования.

№ 21.38.

Первый этап – составление математической модели.

Пусть х – задуманное число, тогда после увеличения на 12 % оно стало равным 1,12х. Если теперь этот результат уменьшить на 24 %, то получится число 0,8512х. Так как по условию оно оказалось меньше задуманного числа на 186, то получим математическую модель задачи:

x – 0,8512x = 186.

Второй этап – работа с составленной моделью.

0,1488х = 186

х = 1250

Третий этап – ответ на вопрос задачи.

За х мы приняли задуманное число, значит оно равно 1250.

Ответ: 1250.

III. Задание на дом: § 21.

Урок 1: № 21.9; 21.12; 21.16 (а, б); 21.18.

Урок 2: № 21.27; 21.30; 21.32 (а, б).

Урок 3: № 21.33; 21.37.

Умножение одночленов.
Возведение одночлена в натуральную степень

Цель: познакомить учащихся с правилами умножения одночленов и возведением одночлена в натуральную степень. Выработать у учащихся умение выполнять указанные выше действия над одночленами. Познакомить учащихся с понятиями корректных и некорректных задач и привести их примеры.

I. Организационная запись урока.

1. Проанализировать результаты самостоятельной работы.

2. Разобрать и подробно оформить в тетрадях решение примеров 1–3 из учебника.

3. Разбирая решение примера 4, с. 96, познакомить учащихся с корректными и некорректными задачами.

II. Обработка практических умений и навыков.

На первом уроке:

№ 22.4–22.7; 22.9; 22.11; 22.12; 22.14; 22.17; 22.18.

На втором уроке:

№ 22.21; 22.23; 22.30–22.32.

Устно: № 22.28.

III. Задание на дом: § 22.

Урок 1: № 22.3; 22.8; 22.15; 22.16.

Урок 2: № 22.19; 22.22; 22.29.

Деление одночлена на одночлен

Цель: выработать у учащихся прочные навыки в умении выполнять еще одну арифметическую операцию над одночленами – деление.

I. Изучение нового материала.

1. Разобрать решение примера 1 из учебника.

2. Проанализировать решенные примеры (часть из которых были корректными, а часть некорректными) и сделать вывод: в каком случае один одночлен можно разделить на другой и как это сделать.

3. Разобрать решение примера 2, опираясь на сделанные выводы.

II. Отработка практических умений и навыков.

На первом уроке:

Устно: № 23.1; 23.2; 23.3.

Письменно: № 23.6; 23.7; 23.8 (в, г); 23.9 (в, г).

Устно: № 23.10; 23.11.

Самостоятельно: № 22.34.

На втором уроке:

Самостоятельно: № 22.25; 22.26 (для последующей проверки два ученика решают эти задачи за доской).

№ 23.12.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

№ 23.13 (в, г)

в) ;

г) .

№ 23.14 (в, г)

в) .

г) .

№ 23.15 (в, г)

в) .

III. Задание на дом: § 23, подготовиться к контрольной работе.

Урок 1: № 23.4; 23.5; 23.8 (а, б); 23.9 (а, б).

Урок 2: № 23.13 (а, б); 23.14 (а, б); 23.15 (а, б).

Основные понятия

Цель: познакомить учащихся с понятием многочлена и его стандартного вида, степени многочлена, приведением подобных слагаемых. Выработать прочные навыки по применению полученных знаний.

I. Анализ результатов контрольной работы.

1. Анализ ошибок, допущенных в работе.

2. Работа над ошибками.

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

Вспомнить с учащимися:

1. Понятие одночлена.

2. Стандартный вид одночлена.

3. Понятие коэффициента одночлена.

4. Понятие подобных одночленов.

5. Какие одночлены можно складывать (вычитать), какие – нельзя.

6. Как складывать (вычитать) подобные одночлены.

Все ответы сопровождать приведением примеров.

III. Изучение нового материала.

1. Дать определите многочлена; членов многочлена; двучлена; трехчлена.

2. Познакомить учащихся с процедурой приведения подобных членов многочлена.

3. Ввести понятие стандартный вид многочлена.

4. Познакомить учащихся с понятием полином и его обозначением.

IV. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 24.1–24.5.

Письменно: № 24.11; 24.12; 24.13 (в, г).

На втором уроке:

I. Фронтальный опрос.

1. Дайте определение многочлена.

2. Какой многочлен называется многочленом стандартного вида?

3. Что нужно сделать, чтобы данный многочлен привести к многочлену стандартного вида?

4. Все члены многочлена имеют стандартный вид; можно ли сделать вывод, что многочлен имеет стандартный вид?

5. Среди членов многочлена нет подобных; следует ли из этого, что многочлен имеет стандартный вид?

6. Есть ли подобные члены в следующих выражениях:

а) –1,4a + 1 – a2 – 1,4 + b2 ; б) a3 – 3a + b + 2b – 2a3 ;

в) 2ab + x + 3ba – x.

Ответ обоснуйте.

7. Приведите подобные члены многочлена:

а) 2a + 3a + 7a; б) 3x – 1 + 2x + 7;

в) 2x – 3y + 3y + 2y; г) 7a – 1 + b – 7 + 3a – b.

II. Решение примеров.

№ 24.16 (в).

в) .

Выясним, при каких значениях переменной значение данного выражения равно 1, для этого решим уравнение:

5z + 8 = 1;

Ответ: 1) 5z + 8; 2) .

№ 24.17 (б).

№ 24.19; 24.24; 24.26; 24.27 (a).

а) p(a, d, c) = a + b + c.

№ 24.28.

V. Задание на дом: § 24.

Урок 1: № 24.8; 24.10; 24.13 (а, б).

Урок 2: № 24.18; 24.13 (в, г).

Сложение и вычитание многочленов

Цель: сформировать у учащихся умение выполнять арифметические операции (сложение и вычитание) над многочленами. Выработать прочные навыки по применению изученных правил на практике.

I. Изучение нового материала.

1. Разобрать примеры 1 и 2 из учебника, иллюстрирующие операции сложения и вычитания многочленов.

Решение примеров оформить в тетрадях.

2. Познакомить учащихся с понятием уничтожения членов многочлена.

3. Ввести понятие алгебраическая сумма многочленов.

4. Подводя итог, сформулировать правила:

1) как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс»;

2) как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус».

5. Разобрать пример 3 на применение правила.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

№ 25.8; 25.4; 25.5; 25.6 (г).

№ 25.6 (в).

в) ;

На втором уроке:

№ 25.7 (г).

г)

Ответ: 0,6.

№ 25.10; 25.11 (в).

в)

Ответ: .

№ 25.12; 25.13 (в, г).

В конце 2-го урока, если останется время, можно провести разноуровневую проверочную работу на 3 варианта.

Первый вариант рассчитан на слабо подготовленных учащихся.

Второй вариант рассчитан на учащихся, освоивших обязательный минимум знаний.

Третий вариант рассчитан на учащихся с хорошей математической подготовкой.

I в а р и а н т

1. Раскройте скобки и приведите подобные члены:

а) 6x + (8 – x); б) 12a – (2 – 5a);

в) (2a – 1) + (3 + 6a); г) (7x – 4) – (1 – 2x).

2. Упростите выражение и найдите его значение при a = 47270:

(5a – 1) – (a – 8) – (7 + 3a).

3. Пусть p1(x, y) = 3x – 11y; p2(x, y) = 4x – y.

Составьте разность p1(x, y) – p2(x, y) и упростите ее.

II в а р и а н т

1. Упростите выражение:

а) (12a + 3b) + (2a – 4b);

б) (4xy – 3x2) – (–xy + 5x2);

в) (a2 + 2a – 1) + (3a2 – a + 6);

г) (x2 – x2 + y2) – (–2x2 – xy – y2).

2. Упростите выражение и найдите его значение при a = 4:

а) (a2 – 2a + 3) – (a2 – 5a + 1) – 4;

б) (5a – 6) – (3a + 8) + (6 – a).

3. Пусть A = 5x2 – y, B = 3y + x2. Составьте и упростите выражение: а) А + В; б) А – В; в) В + А; г) В – А. Сравните результаты.

III в а р и а н т

1. Упростите выражение:

а) (12x + 6y) – (2x – y) + (4x – 2y);

б) (3a2 + 2b – 1) + (b – a2 + 6) – (4b + a2);

в) 3x2 – (x2 + xy – y2) + (4x2 – 5y2).

2. Пусть A = 5a2 – ab + 12b2; B = 4a2 + 8ab – b2; C = 9a2 – 11b2. Составьте и упростите выражение:

а) А + В – С; б) А – В + С; в) – А + В + С.

3. Замените М многочленом так, чтобы полученное равенство было тождеством.

а) M + (3x2 + 6xy – y2) = 4x2 + 6xy;

б) (6a2 – b) – M = 5a2 + ab + 12b.

III. Задание на дом: § 25.

Урок 1: № 25.1; 25.3; 25.6 (а, б).

Урок 2: № 25.7 (а, б); 25.9; 25.13 (а, б).

Умножение многочлена на одночлен

Цель: ознакомить учащихся с правилом умножения одночлена на многочлен; выработать умение преобразовывать произведение одночлена и многочлена в многочлен стандартного вида, а также умение выносить за скобки одночленный множитель.

I. Изучение нового материала.

1. Повторить распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания (формулировку и символическую запись с помощью переменных).

2. Изучение рассматриваемого преобразования лучше начать с показа конкретного примера (пример 1 из учебника), а затем ввести правило умножения одночлена на многочлен.

3. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 2.

4. Познакомить учащихся с процедурой вынесения общего множителя за скобки.

5. На третьем уроке разобрать решение задачи (пример 3), показывающее, как полученные знания используются на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке следует выполнять задания на прямое применение изученного правила, при этом записи должны быть развернутыми и сопровождаться соответствующими устными рассуждениями.

№ 26.3; 26.4; 26.5 (в, г); 26.6 (в, г).

На втором уроке, после выполнения заданий на прямое применение рассмотренного алгоритма, можно переходить к решению упражнений комбинированного типа, в которых кроме умножения одночлена на многочлен применяются другие преобразования.

№ 26.8.

а) ,

Ответ: 2.

№ 26.9 (в, г).

№ 26.14 (г).

№ 26.15 (г).

№ 26.20 (в).

Ответ: 1.

№ 26.21 (в, г).

На третьем уроке полученные знания используются для решения текстовых задач, при работе с математическими моделями реальных ситуаций.

№ 26.11; 26.12; 26.27.

№ 26.29.

Пусть во втором цехе работают х человек, тогда в первом 1,5х человек, а в третьем – (х – 200) человек. Так как всего в первом и третьем цехах работают 800 человек, то составим уравнение:

1,5x + (x – 200) = 800;

1,5x + x – 200 = 800;

2,5x = 1000;

x = 400.

Мы получили х = 400, значит во втором цехе работают 400 человек.

Ответ: 400 человек.

III. Задание на дом: § 26.

Урок 1: № 26.1; 26.2; 26.5 (а, б); 26.8 (а, б).

Урок 2: 26.7; 26.9 (а, б); 26.20 (б); 26.21 (а).

Урок 3: 26.10; 26.13; 26.26.

Умножение многочлена на многочлен

Цель: ознакомить учащихся с правилом умножения многочлена на многочлен, выработать умение преобразовывать произведение любых двух многочленов в многочлен стандартного вида.

I. Проверка усвоения изученного материала.

Провести разноуровневую самостоятельную работу.

I в а р и а н т

1) Выполните умножение:

а) 4a(x – y); б) –3b(a + b);

в) (6x + y)x2; г) –a2(4a – 1);

д) 10b(a + b – 2); е) –16y(2x – 3y + 1).

Найдите ответ среди приведенных ниже многочленов:

2) Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым.

Восстановите его:

а) ...(x – y) = 3ax – 3ay;

б) ...(2a + b) = 2a2 + ab;

в) ...(x – y2 + 1) = xy2 – y4 + y2.

II в а р и а н т

1) Упростите выражение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2) Замените  одночленом так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) ; б) ;

г) .

III в а р и а н т

1) Упростите выражение:

а) (5a2 – 7b)ab – 3ab(a2 – 2b2);

б) 8x4y(3y8 – x) – 7xy2(3x5 – y2);

в) (a + b – c)ab + b(a – b + c) – a(ab + b2 + bc).

2) Докажите, что значение выражения 6x(x – 1) + 3y(2x – 1) – y(6x2 – y) зависит только от значения у.

3) Замените  одночленами так, чтобы полученное равенство было тождеством.

а) (3x – y) = 3x2 – xy;

б) 2a( + ) = 6a3 + 2ab.

II. Изучение нового материала.

1. Вывод формулы (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd, приведенный в учебном пособии, основан на идее подстановки. Желательно, чтобы соответствующее правило умножения многочлена на многочлен было сформулировано самими учащимися.

2. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 1 из учебника.

III. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

№ 27.8; 27.9; 27.10; 27.11 (в, г); 27.12 (в, г).

На втором уроке:

№ 27.13 (в, г); 27.19 (в, г); 27.20 (в, г).

№ 27.15.

Пусть первое число х, тогда второе – (х + 1). Третье – (х + 2) и четвертое – (х + 3). Так как по условию известно, что разность между произведением двух бόльших чисел и произведением двух меньших чисел равна 58, то получим:

Мы получили x = 13, значит первое число равно 13, второе – 14, третье – 15, а четвертое – 16.

Ответ: 13; 14; 15; 16.

На третьем уроке:

№ 27.11 (в, г); 27.23; 27.26; 27.27.

IV. Задание на дом. § 27.

Урок 1: № 27.11 (а); 27.12 (а); 27.5; 27.6.

Урок 2: № 27.13 (а); 27.18; 27.14.

Урок 3: № 27.21 (а, б); 27.17; 27.25.

Формулы сокращенного умножения

Методический комментарий

При рассмотрении темы «Формулы сокращенного умножения» дальнейшее развитие получают навыки действий с многочленами, формирование которых начато в предыдущей теме. Приобретенные навыки преобразования целых выражений и разложения на множители получают применение при решении уравнений, выполнении вычислений в случаях, когда использование формул дает возможность найти наиболее рациональный путь решения.

При изучении этой темы особое внимание следует обратить на чтение выражений, так как учащимся постоянно приходится в данной теме переходить от формул к их словесному выражению и наоборот.

Квадрат суммы и квадрат разности

Цель: выработать у учащихся умение применять формулы (a ± b)2 = = a2 ± 2ab + b2 как «слева направо», так и «справа налево» в преобразованиях целых выражений в многочлены и в разложении многочленов на множители.

I. Изучение нового материала.

При изучении темы «Квадрат суммы и квадрат разности», в которой учащиеся знакомятся с часто применяемыми в курсе математики формулами (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, необходимо добиваться от них знания формул наизусть и овладения такими терминами, как «квадрат суммы», «квадрат разности», «квадрат выражения», «удвоенное произведение первого и второго выражений».

Введение нового материала проводится как продолжение ранее рассмотренной темы – умножение многочленов. При этом серьезное внимание уделяется словесному выражению формул и, наоборот, переходу от словесной формулировки к их буквенной записи.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 28.1; 28.2.

Самостоятельно с последующей проверкой: № 28.3; 28.4.

№ 28.7; 28.10.

Самостоятельно: № 28.11; 28.12; 28.15; 28.16.

На втором уроке:

Устные упражнения:

1. Прочитайте выражение:

(a + 5)2; (0,1x – 4)2; x2 – 2xy + y2; x2 + 2x + 1.

2. Выполните действия: (0,01x)2; (0,02y)2; (0,5x)2.

3. Представьте в виде многочлена:

(a – 5)2; (2x + 1)2; (–a + 5)2; (a – 0,5)2; (y – 1)2; (x + 4)2;

(0,1y – 0,5)2; (–a – 5)2.

4. Сравните:

а) (–a – 3)2 и (a + 3)2;

б) (a – b)2 и (–a + b)2.

5. Представьте в виде квадрата: 16; 9х2; 0,01х4у2.

6. Квадратом какого выражения является: y4; x2y6; 0,25a2.

7. Представьте в виде удвоенного произведения 16xy, x2a (несколькими способами).

Выполнить задания № 28.8; 28.13; 28.17; 28.19; 28.44 (в, г); 28.45 (в, г); 28.51; 28.59; 28.60.

III. Задание на дом: § 28, п. 1.

Урок 1: № 28.5; 28.6; 28.9; 28.14.

Урок 2: № 28.18; 28.44 (а, б); 28.50; 28.58.

Разность квадратов

Цель: выработать умение применять формулу (a – b)(a + b) = a2 – b2 для сокращенного умножения разности выражений на сумму и разложения разности квадратов на множители.

I. Изучение нового материала.

1. Ввести формулу разности квадратов.

2. Познакомить учащихся со словесной формулировкой полученной формулы.

3. Разобрать примеры № 2, 3 из учебника.

4. Показать, как полученная формула используется для математических фокусов.

5. Разобрать геометрическую иллюстрацию формулы.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устные упражнения:

1. Прочитайте выражения:

x2 + 4; x2 – y2; m2 + n2; p2 – q2; m2 – 4n2; 25m2 – 16x2.

2. Представьте в виде квадрата одночлена:

x4; b6; a10; 4a2; 0,01a2; 0,09x2y2.

3. Представьте в виде многочлена:

а) (a – 1)(a + 1);

б) (a + 5b)(a – 5b);

в) (x + 2)(2 – x).

4. Устно: № 28.20; 28.21.

Письменно: № 28.24; 28.26.

Самостоятельно с последующей взаимопроверкой № 28.25.

№ 28.27; 28.28.

На втором уроке:

Устные упражнения:

1. Прочитайте выражение: x2 – z2; y2 – 25a2; x + 4; x – 3p.

2. Представьте в виде квадрата одночлена:

a8; b4; 16a2; 0,25x2; 0,04a2b; а12.

3. Разложите на множители:

а) 16 – x2; б) 25 – y2; в) 0,09 – x2;

г) 16 – 9x2; д) 9a2 – 25b2; е) 16 – 0,01x2.

Выполнить упражнения № 28.36; 28.38; 28.41.

28.43 (в, г).

в) (6x – 1)(6x + 1) – 4x(9x + 2) = –1;

36x2 – 1 – 36x2 – 8x = –1;

–8x = 0;

x = 0.

Ответ: 0.

г) (8 – 9x)x = –40 + (6 – 3x)(6 + 3x);

8x – 9x2 = –40 + 36 – 9x2;

8x = –4;

x = –0,5.

Ответ: –0,5.

№ 28.52 (в, г); 28.54; 28.61 (в, г); 28.62 (в, г).

III. Задание на дом: § 28, (п. 2).

Урок 1: № 28.22; 28.23; 28.27.

Урок 2: № 28.37; 28.39; 28.52 (а, б); 28.61 (а, б).

Разность кубов и сумма кубов

Цель: познакомить учащихся с формулами (a ± b)(a2 ab + b2) =
= a3 ± b3 и с применением различных способов разложения многочленов на множители.

I. Изучение нового материала.

Следует отметить, что формулы (a ± b)(a2 ab + b2) = a3 ± b3 находят по сравнению с ранее рассмотренными меньшее применение. В дальнейшем они используются в основном для разложения на множители суммы или разности кубов. В связи с этим основное внимание должно быть направлено на дальнейшее совершенствование применения формул сокращенного умножения при рассмотрении различных способов разложения многочленов на множители.

Целесообразно придерживаться прежней методики введения нового материала через умножение многочленов.

1. Ввести формулы.

2. Дать их словесную формулировку.

3. Разобрать решение примеров 4, 5 из учебника.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устные упражнения:

1. Прочитайте выражение:

(a – 15)2; a2 + 152; a2 – 4a + 16; (0,1x)3 + y3; (2x)3 – y3.

2. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) (x – 1)(x + 1); б) (x – 1)2;

в) (x – 1)(x2 + x + 1); г) (x + 2)(x2 – 2x + 4).

3. Найдите значение выражения:

(x + 1)(x2 – x + 1) при х = 2; 0,5.

Выполнить упражнения № 28.32; 28.34; 28.42; 28.53.

На втором уроке:

Устные упражнения:

1. Разложите на множители:

а) a2 – 5ab; б) a2 – 25;

в) a2 – 36; г) a2 + 4ab;

д) a3 – 125; е) 64 + x3;

ж) 64 – x3; з) 8 – a3;

и) a3 – 25a.

2. Представьте в виде произведения:

а) x – 5x2; б) x2 – 6x + 9;

в) ; г) 1253 – x6;

д) m2 – 2mn + n2.

3. Решите уравнение:

а) (x – 2)(x + 2) = 0;

б) x2 – 16 = 0;

в) x2 + 10x + 25.

Письменно: № 28.46 (в, г); 28.56; 28.57 (б); 28.63 (в, г).

III. Задание на дом: § 28, п. 3.

Урок 1: № 28.31; 28.33; 28.43 (а, б).

Урок 2: № 28.46 (а, б); 28.55; 28.63 (а, б).

Деление многочлена на одночлен

Цель: изучить правило, позволяющее выполнять деление многочлена на одночлен. Выработать умение производить деление многочлена на одночлен, если это возможно.

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Вспомнить, в каком случае один одночлен можно разделить на другой и как это сделать.

2. Упростите выражение:

а) y20 : y18; б) –90p4 (–5p);

в) 16abc : 8a; г) (–8,8abc) : 1,1b;

д) 144m8n9k4 : 12m2n7k.

3. Вместо знака  поставьте такой одночлен, чтобы получилось верное равенство:

а) 30x5y6z7 :  = 5x3y2z6;

б)  : p3m2q7 = p8m4q9.

II. Изучение нового материала.

1. Познакомить учащихся с правилом деления многочлена на одночлен.

2. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 2 из учебника двумя способами.

3. Показать учащимся, что деление многочлена на одночлен не всегда возможно (пример 3).

III. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 29.1.

Письменно: № 29.4; 29.5; 29.6 (б); 29.7; 29.8.

На втором уроке:

Устные упражнения.

Выполните действия:

а) (42a + 28) : (–14); б) (mn – n) : n;

в) (–k – ck) : (–k); г) (p8q4 – p5) : p5;

д) (–7,7xy3 + 4,4xy) : 1,1xy.

Письменно: № 29.10; 29.12; 29.13 (в, г); 29.14 (в); 29.15 (г); 29.16 (в); 29.17.

III. Задание на дом: § 29.

Урок 1: № 29.2; 29.3; 29.6 (а).

Урок 2: № 29.9; 29.11; 29.13 (в, г).

Что такое разложение многочлена
на множители и зачем оно нужно

Цель: показать учащимся практическую пользу, необходимость умений раскладывать многочлен на множители: для решения уравнений, для сокращения дробей, для рационализации вычислений.

I. Анализ результатов контрольной работы.

1. Анализ ошибок, допущенных в работе.

2. Выполнение работы над ошибками.

II. Изучение нового материала.

1. Повторить с учащимися правило умножения многочлена на многочлен.

2. Повторить формулы сокращенного умножения.

3. Выполнить умножение многочлена (2x – 3) на многочлен (x + 2).

4. Ввести термин разложить многочлен на множители.

5. Разобрать с учащимися примеры, показывающие полезность применения разложения многочлена на множители.

6. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера из учебного пособия.

III. Закрепление изученного материала.

Устно: № 30.1; 30.2.

Письменно: № 30.6; 30.16; 30.11.

IV. Задание на дом: § 30, № 30.3; 30.9; 30.17.

Вынесение общего множителя за скобки

Цель: изучить алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения за скобки общего множителя. Выработать у учащихся практические умения и навыки применения изученного метода.

I. Изучение нового материала.

1. Повторить решение примера 2 из § 26 и название этой процедуры: вынесение общего множителя за скобки.

2. Познакомить учащихся с понятием разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

3. Разобрать разложение на множители многочлена (пример 1 из учебника).

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно.

1. Решить уравнение:

а) m(m + 1)(m + 2) = 0; б) n(n – 3)(n – 8) = 0;

в) p(p + 13)(p – 17); г) q(q – 21)(q – 105) = 0.

2. № 31.1.

Письменно: № 31.3; 31.5; 31.6; 31.9; 31.10; 31.17 (в, г).

На втором уроке:

1. Изучить алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов.

2. Разобрать решение примеров 2, 3 из учебника.

3. Выполнить задания № 31.11; 31.12; 31.18; 31.20; 31.23 (в, г); 31.25.

На третьем уроке:

1. Разобрать пример 4 из учебника.

2. Выполнить задания № 31.11; 31.16; 31.22; 31.26 (в, г).

3. Провести самостоятельную работу.

I в а р и а н т

1. Разложите на множители:

а) 7a2 – 28; б) –2b2 + 18;

2. Представьте в виде произведения:

а) 3a2 – 3; б) 20 – 5x2;

в) 7x2y – 7y2x; г) 13p2 – 13pc;

д) 6x2 – 6y2; е) ax2 – ay2.

II в а р и а н т

1. Разложите на множители:

а) 5a2 – 20; б) 12b2 – 12c2;

в) ax2 – ay2; г) –2x2 + 8;

д) 9b2 – 81b4; е) y6 – y4.

2. Представьте в виде произведения:

а) 18x2 + 12x + 2; б) 3x2 + 6xy + 3y2;

в) 4a2b – 8ab + 4b; г) –10x2a + 40ax – 40a2x.

III в а р и а н т

1. Разложите на множители:

а) 3ab2 – 3ac2; б) –5b2 + 5;

в) 100c8 – 81c5; г) 14p2 – 1;

д) 162ay2 – 2a2y; е) 32x3y2 – 2x2y.

2. Представьте в виде произведения:

а) 12x2y + 12xy + 3y2x; б) ab2 – 2ab + a;

в) 27x3y2 – 3xy2 – 18x2y; г) –100x2y2 + 20xy – x3y4.

III. Задание на дом: § 31.

Урок 1: № 31.2; 31.4; 31.8.

Урок 2: № 31.7; 31.17 (а, б); 31.23 (а, б).

Урок 3: № 31.13; 31.15; 31.26 (а, б).

Способ группировки

Цель: познакомить учащихся с методом разложения многочлена на множители способом группировки. Обеспечить овладение учащихся основными алгоритмическими приемами этого метода.

I. Изучение нового материала.

1. Разобрать пример 1 из учебника. Рассмотреть все возможные способы группировки.

2. Показать учащимся, что удачную группировку нужно искать методом проб и ошибок и учиться умению отказываться от неудачно выбранного способа решения.

3. Разобрать решение примера 2 из учебника.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

№ 32.2; 32.4; 32.6 (в, г).

На втором уроке:

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 3.

2. Выполнить задания: № 32.7 (в, г); 32.9 (в, г); 32.10; 32.16.

На третьем уроке:

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров 4 и 5.

2. Выполнить задания: № 32.18 (в, г); 32.19; 32.20 (в, г); 32.21; 32.11.

III. Задание на дом: § 32.

Урок 1: № 32.1; 32.3; 32.6 (а, б).

Урок 2: № 32.7 (а, б); 32.9 (а, б) 32.15.

Урок 3: № 32.17; 32.18 (а, б); 32.20 (а, б).

Повторить § 28 (формулы).

Разложение многочленОВ на множители
с помощью формул сокращенного умножения

Цель: выработать у учащихся практические умения и навыки применения формул сокращенного умножения к разложению многочленов на множители.

У р о к 1

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Повторить с учащимися все изученные ранее формулы сокращенного умножения.

2. Предложить учащимся переписать их, поменяв местами правую и левую части формул.

3. Пояснить учащимся, как эти формулы можно использовать при разложении многочленов на множители.

II. Закрепление изученного материала.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 1, с. 132.

2. Выполнить задания.

Самостоятельно (один человек выполняет задание за доской для последующей проверки) – № 33.1; 33.5; 33.7; 33.10.

III. Задание на дом: § 33, № 33.3; 33.4; 33.9.

У р о к 2

I. Устная работа.

1. Прочитайте выражение:

2. Разложите на множители:

а) a2 – 5ab; б) a2 – 25;

в) a2 – 36; г) a2 + 4ab;

д) a3 – 125; е) 64 + х3;

ж) 64 – х3; з) 8 – a3;

и) a3 – 25a.

II. Отработка практических умений и навыков.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 2 из учебника.

2. Выполнить задания:

№ 33.11.

Самостоятельно с последующей проверкой № 33.12.

Вместе с классом № 33.13 (а, б).

Самостоятельно с последующей проверкой – № 33.13 (в, г).

Для проверки правильности выполнения задания можно заранее заготовить решение и ответы на отвороте доски или на кодопозитивах, если имеется кодоскоп.

№ 33.16.

№ 33.17 (в, г)

в) ;

г) .

III. Задание на дом: § 33, № 33.14; 33.15; 33.17 (а, б).

У р о к 3

I. Устная работа.

1. Представьте в виде произведения:

а) x – 5x2; б) x2 – 6x + 9;

в) ; г) 1253 – x6;

д) m2 + 2mn + n2.

2. Разложите на множители: x2 – 6x + 9 – n2.

3. Решите уравнение:

а) (x – 2)(x + 2) =0;

б) x2 – 16 = 0;

в) x2 + 10x + 25 = 0.

II. Отработка практических умений.

1. Разобрать и подробно оформить в тетрадях решение примера 3 из учебника.

2. Выполнить задания:

№ 33.21

№ 33.23 (а, в, г).

а) ;

в) ;

г) .

№ 33.24 (а, б).

а) ;

б) .

№ 33.25 (в, г).

в) ;

г) .

№ 33.26 (в, г).

в) .

III. Задание на дом: § 33, № 33.19; 33.20; 33.25 (а, б); 33.26 (а, б).

У р о к 4

I. Математический диктант.

I в а р и а н т II в а р и а н т

1. Разложите на множители многочлен:

а) 4x2 – 9; а) 9a2 – 4;

б) 1 – 49c2; б) 36 – 25a2;

в) 4x2 – 9y6; в) 9y8 – 4b2;

г) a6 – 125. г) 64 + b12.

2. Найдите значение выражения:

1192 – 1092. 2232 – 1232.

3. Представьте в виде квадрата двучлена многочлен:

а) a2 – 10ab + 25b2; а) 49x2 + 14xy + y2;

б) 9x2 + 30xy + 25y2. б) 25a2 – 10ab + 4b2.

II. Отработка практических умений и навыков.

№ 33.30 (в).

в)

= (13 – n)(37 + n).

№ 33.32 (в, г).

в)

= (m – n + 22)(m + n – 2).

г)

= (c – d + 22)(c + d – 24).

№ 33.34 (в, г).

в) ;

или ;

или .

Ответ:

№ 33.39 (в).

в) .

№ 33.46 (в).

в) – делится на 40.

III. Задание на дом: § 33, № 33.6; 33.22; 33.29; 33.33 (а, б).

У р о к 5

I. Устные упражнения.

1. Разложите на множители:

а) a2x – a5x3; б) ;

в) 25a2 – 10a + 1; г) a2 – ab – ac + a;

д) 3(a + 2b) – a(a + 2b); е) 7x – 7y + a(y – x);

ж) 3c2 + 15ac – 2c – 10a.

2. Найдите значение выражения 2ab + b2 + a2 при следующих парах значений переменных (a; b):

а) (–2; 12); б) (5; –4);

в) (4; 4); г) (3; –3).

3. Вычислите:

а) 852 – 152; б) 882 – 122;

в) ; г) 61 59;

д) 2,1 1,9.

II. Отработка практических умений.

№ 33.42 (в).

в) .

№ 33.44 (г).

г)

.

№ 33.45 (б).

б)

.

№ 33.49; 33.50.

III. Задание на дом: § 33, № 33.32 (а, б); 33.40.

У р о к 6

I. Устные упражнения.

1. Разложите на множители:

а) x2 – 16y2;

б) 4a2 + 12ab + 9b2;

в) .

2. Докажите, что при любом у значение выражения (y + 2)(y – 2) + 5 положительно.

3. Решите уравнение:

а) x2 – 36 = 0; б) ;

в) x2 – 0,6x + 0,09 = 0; г) x4 – 4x2 = 0.

II. Отработка практических умений и навыков.

№ 33.43.

№ 33.47 (б, в).

б)

.

в)

.

№ 33.48; 33.51.

III. Задание на дом: § 33, № 33.8; 33.41; 33.52.

Разложение многочленов на множители
с помощью комбинации различных приемов

Цель: выработать умение выполнять разложение многочленов на множители различными способами.

На первом уроке:

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Повторить формулы сокращенного умножения.

2. Вспомнить приемы разложения многочлена на множители, изученные в пятой главе.

II. Отработка практических умений.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 1 из учебника, с. 134.

2. Устно: № 34.1.

3. Письменно: № 34.3; 34.6; 34.8.

№ 34.9 (а, б).

а) ;

б) .

На втором уроке:

I. Устная работа.

1. Разложите на множители:

а) a2x – a5x3; б) ;

в) 25a2 – 10a + 1; г) a2 – ab – ac + a;

д) 3(a + 2b) – a(a + 2b); е) 7x – 7y + a(y – x);

ж) 3c2 + 15ac – 2c – 10a.

2. Найдите значение выражения 2ab + b2 + a2 при следующих парах значений переменных (a; b):

а) (–2; 12); б) (5; –4);

в) (4; 4); г) (3; –3).

II. Отработка практических умений.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 2 из учебника.

2. Выполнить задания.

№ 34.12 (г).

г)

№ 34.13 (в).

в)

– d)(c + 3 + d).

№ 34.24 (б).

б)

На третьем уроке:

I. Устная работа.

1. Разложите на множители:

а) x2 – 16y2;

б) ;

в) 4a2 + 12ab + 9b2.

2. Вычислите: .

3. Докажите, что при любом значении у значение выражения (y + 2)(y – – 2) + 5 положительно.

II. Отработка практических умений.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров 3 и 4 из учебника.

2. Выполнить задания.

№ 34.14 (а).

а)

№ 34.18 (а, б).

а)

б)

№ 34.19 (а).

а)

№ 34.22 (в).

в)

На четвертом уроке:

I. Устная работа.

1. В выражении a6 –  вместо  назовите такой одночлен, чтобы полученный двучлен можно было разложить:

а) на два множителя;

б) три множителя;

в) четыре множителя.

2. Найдите все значения m, при которых верно равенство:

(m – 6)2 = m – 6.

II. Отработка практических умений.

1. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров 6 и 7 из учебника.

2. Выполнить задания.

№ 34.26 (в).

в) 9z + 9 – z3 – z2 = 0;

Ответ: –3; –1; 3.

№ 34.28.

Пусть . Вычислить.

а) ;

в)

г)

№ 34.14.

III. Задание на дом: § 34.

Урок 1: № 34.5; 34.7.

Урок 2: № 34.10; 34.11; 34.23.

Урок 3: 34.15; 34.17; 34.21.

Урок 4: № 34.25.

Домашняя контрольная работа

I в а р и а н т II в а р и а н т

Разложите на множители:

1) b(b + 1) – 3(b + 1); 1) y(a – b) + 2(a – b);

2) ca – cb + 2a – 2b; 2) 3x – 3y + ax – ay;

3) c2 – 0,25; 3) ;

4) x2 – 8x + 16; 4) b2 + 10b + 25;

5) 25x – x3; 5) y3 – 49y;

6) 2x2 – 20xy + 50. 6) –3a2 – 6ab – 3b2.

Функция y = x2 и её график

Цель: расширить знания учащихся о функциях. Продолжить совершенствование навыков чтения графиков на примере нелинейных функций. Научить строить и читать график функции y = x2.

I. Изучение нового материала.

1. Познакомить учащихся с графическими моделями, отличными от линейной функции.

2. Построить график функции y = x2.

3. Исследовать свойства функции и особенности её графика.

4. Обратить внимание учащихся на вид графика вблизи начала координат и добиваться, чтобы учащиеся правильно выполняли построение графика (для значений х, близких к нулю, график практически сливается с прямой Ох).

5. Выработать у учащихся умение находить наибольшие и наименьшие значения функции на заданных промежутках.

6. Разобрать примеры 1 и 2 из учебника.

7. Познакомить учащихся с практическим применением свойств «фокуса параболы».

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 37.1; 37.4.

Устно с использованием таблицы, на которой изображен график функции y = x2.

Устно: № 37.7; 37.8.

Письменно: № 37.12; 37.13.

Устно: № 37.14; 37.15; 37.18; 37.19.

Письменно: № 37.24; 37.26 (а, б).

На втором уроке:

Устная работа.

1. Назовите координаты точек, симметричных точкам (2; 6); (–1; 4); (0;0); (–3;–5):

а) относительно оси у;

б) относительно начала координат.

2. Принадлежит ли точка (–2; 4) графику функции:

а) y = x + 6; б) y = 2 – x;

в) y = 3x + 2; г) y = x2;

д) y = x2 + 4?

3. Определите без вычислений, какие из точек не принадлежат графику функции y = x2: (–1; 1); (–2; – 4); (0;8); (3; –9); (1,7; 2,89); (16; 0).

Ответ обоснуйте.

4. Сколько общих точек могут иметь прямая и график функции y = x2?

5. Точка A(k; 6) принадлежит графику функции y = x2. Принадлежит ли этому графику точка: B(k; –6); C(–k; 6); M(–k; –6)?

Ответ обоснуйте.

Письменно: № 37.16; 37.17; 37.19.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x2 на заданном промежутке:

№ 37,36; 37,38.

№ 37,42; 37,45; 37,48.

III. Задание на дом: § 37.

Урок 1: № 37,25; 37,26 (в, г); 37,32.

Урок 2: № 37,33; 37,35; 37,41.

Графическое решение уравнений

Цель: обеспечить овладение учащихся основными алгоритмическими приемами графического решения уравнений.

I. Изучение нового материала.

1. Вспомнить с учащимися, какие функции были изучены ранее, что представляют собой их графики.

2. Разобрать и оформить в тетрадях решение примера 1 из учебника.

3. Предложить учащимся сформулировать алгоритм графического решения уравнения, затем сравнить его с приведенным в учебнике.

4. Выполнить пример 2 из учебника.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

№ 38.2; 38.3; 38.6.

На втором уроке:

№ 38.9 (в, г); 38.10; 38.11.

Решите графически уравнение:

x2 = 1,5x – 6

1) y = x2; y = 1,5x – 6.

2)

3) Точек пересечения у построенных парабол и прямой нет.

Ответ: уравнение не имеет корней.

III. Задание на дом: § 38.

Урок 1: № 37.47; 38.1; 38.4.

Урок 2: № 38.5; 38.7; 38.9 (а, б).

Что означает в математике запись y = f(x)

Цель: разъяснить смысл записи y = f(x), понятий: кусочные функции; область определения функции; непрерывность функции. Обеспечить овладение учащихся функциональной символикой и основными алгоритмическими приемами чтения графика.

I. Изучение нового материала.

1. Познакомить учащихся с записью y = f(x) и ее смыслом.

2. Разобрать примеры 1 и 2 из учебника, с. 152.

3. Разобрав пример 3, познакомить учащихся с кусочными функциями.

4. Выполняя вычисления и построение графика кусочной функции (пример 4), сформировать у учащихся первые понятия об области определения функции и представление о чтении графика на наглядно-интуитивном уровне.

5. Изучить еще одно из свойств функции: непрерывность и разрыв графика функции.

6. Разобрать пример 5 из учебника.

II. Закрепление изученного материала.

На первом уроке:

Устно: № 39.1.

Письменно: № 39.2 (а); 39.6.

f(x) = x2

а) f(–x) = (–x)2 = x2;

б) f(x + 2) = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4;

в) f(5 – x) = (5 – x)2 = 25 – 10x + x2;

г) f(2x + 3) – 9 = (2x + 3)2 – 9 = 4x2 + 12x + 9 – 9 = 4x2 + 12x.

№ 39.12.

а) x = –5 удовлетворяет условию x < –1,3, значит f(x) = x + 5,7, следовательно f(–5) = –5 + 5,7 = 0,7.

в) x = 0 удовлетворяет условию x ≥ –1,3, значит f(x) = –5, следовательно f(0) = –5.

№ 39.15.

а)

№ 39.21.

№ 39.29 (б); 39.32; 39.36.

Провести самостоятельную работу:

I в а р и а н т: № 39.16 (а); 39.2 (в).

II в а р и а н т: № 39.16 (б); 39.2 (г).

На третьем уроке:

№ 39.34.

а) 1. Область определения функции (–∞ ; +∞);

2. унаим. = 0 (достигается при х = 0);

yнаиб. не существует.

3. Функция является непрерывной;

4. y = 0, если x = 0;

y > 0, если x (–∞; 0), если x (0; +∞).

5. Функция возрастает на луче [0; +∞);

убывает на луче (–∞; 0].

№ 39.36.

№ 39.40.

а) f(–1) = (–1)2 = 1; f(2) = 4; f(1) = 4  1 = 4; f(1,5) = 4; f(–2) = (–2)2 = 4.

б)

в) 1. Область определения функции [–2; 3];

2. унаим. = 0 (достигается при х = 0);

yнаиб. = 4 (достигается при х = – 2 и в любой точке полуинтервала [1; 3);

3. Функция является непрерывной;

4. y = 0, если x = 0;

5. y > 0, если x [–2; 0), если x (0; 3);

6. Функция убывает на отрезке [–2; 0], возрастает на отрезке [0; 1] и постоянна в полуинтервале [1; 3).

III. Задание на дом: § 39.

Урок 1: № 39.11; 39.14.

Урок 2: № 39.20; 39.29 (а); 39.31.

Урок 3: № 39.35 (а, б); 39.33; 39.39.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Математический язык. Математическая модель

Цель: проверить практические умения и навыки учащихся по изученной теме.

(В а р и а н т)

1.

а)

б)

в) .

2. а) Если a = 3, b = 8, то (a + 2b)(2a – b) = (3 + 2  8)(2  3 – 8) =

= 19  (–2) = –38.

б) Если m = 15, k = 3, то .

3. x2 + a  b.

4. (7x + 1) – (6x + 3) = 5.

7x + 1 – 6x – 3 = 5

x = 7

(7  7 + 1 ) – (6  7 + 3) = 50 – 45 = 5

Ответ: 7.

5. 0,6(x + 7) = 0,5(x – 3) + 6,8

0,6x + 4,2 = 0,5x – 1,3 + 6,8

0,6x – 0,5x = –4,2 – 1,3 + 6,8

0,1 = 1,3

x = 13

Ответ: 13.

6. а) (U + 2,4)  t = 46.

б) ,

если U = 20,6, то .

Ответ: а) (U + 2,4)  t = 46; б) 2 часа.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Линейная функция

Цель: проверка усвоения практических умений и навыков учащихся по темам «Линейная функция» и «Сокращение дробей».

(В а р и а н т)

1. Сократите дробь:

а) ;

б) ;

в) .

2. Построить график уравнения 5x + y – 4 = 0. Принадлежит ли ему точка С (–1,2; –10)?

1) Если x = 0, то y = 4.

y = 0, то x = 0,8.

2) Так как , то точка С (–1,2; –10) не принадлежит графику уравнения.

3. 5x + y – 4 = 0.

а) y = –5x + 4;

б) k = –5; b = 4.

4. Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка [–1; 2]. С помощью рисунка делаем вывод:

yнаиб = 9;

yнаим = –6.

5. y = 3x – 2 y = –2x + 3

а)

б) y = 3x – 2 y = –2x + 3

1 = 1 1 = 1

Ответ: (1; 1).

6. а) m = –3;

б) ; .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

(В а р и а н т)

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

Р е ш е н и е:

Ответ: (2; – 4).

2. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

Р е ш е н и е:

Ответ: (– 3,5; – 3).

3. Решите графически систему уравнений:

Р е ш е н и е:

y = 3x; y = 4x – 3

Ответ: (3; 9).

4. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

Пусть в одной сетке было х баскетбольных мячей и у волейбольных мячей. В первый раз привезли 5х баскетбольных мячей и 2у волейбольных мячей, то есть всего 5x + 2y = 23. Во второй раз привезли 3х баскетбольных мячей и у волейбольных мячей. При этом баскетбольных мячей на 5 больше, чем волейбольных, то есть 3x – y = 5.

Р е ш е н и е:

Первый этап.

Составим математическую модель ситуации:

Второй этап.

Третий этап.

В каждой сетке было 3 баскетбольных и 4 волейбольных мяча.

Ответ: 3 мяча баскетбольных; 4 мяча волейбольных.

5.

Ответ: –8; 5.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Степень с натуральным показателем и её свойства

Цель: проверка практических умений и навыков учащихся по теме «Степень с натуральным показателем и ее свойства».

(В а р и а н т)

1. Если x = –4, то .

2. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3. а) ;

б) ;

в) .

4. ;

5. .

6. , т. е. m = 5, k = 2.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Цель: проверка умений и навыков учащихся по теме «Одночлены».

(В а р и а н т)

1. а) ;

б)

.

2. а) ;

б) .

3. а) ; б) .

4. .

Если a =1,5, то .

5. Первый этап – составление математической модели.

Пусть первый мальчик уничтожил на экране х ракет, тогда второй уничтожил (х + 3) ракеты, а третий – 2х ракет. Так как по условию всего они уничтожили 23 ракеты, то составим математическую модель задачи.

x + x + 3 + 2x = 23.

Второй этап – работа с составленной моделью.

4х + 3 = 23;

4х = 20;

х = 5.

Третий этап – ответ на вопрос задачи.

Первый мальчик уничтожил 5 ракет, второй 5 + 3 = 8 ракет, а третий ракет.

Ответ: 5 ракет; 8 ракет; 10 ракет.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Многочлены. Арифметические операции над многочленами

Цель: проверка знаний и практических умений и навыков учащихся по выполнению арифметических операций над многочленами.

(В а р и а н т)

1. Если и , то

а)

.

б)

.

2. а) ;

б) ;

3. ;

Ответ: 1.

4.

+ 15 = a + 13.

Если , то a + 13 = –0,5 + 13 = 12,5.

Ответ: а + 13; 12,5.

5. Пусть длина прямоугольника х см, тогда ширина (x – 3) см. После увеличения размеров прямоугольника его длина стала (x + 2) см, а ширина (x – 2) см. Так как по условию известно, что площадь прямоугольника увеличилась на 20 см3, то получим уравнение:

Получили x = 8, значит длина данного прямоугольника равна 8 см, а ширина – 5 см.

Ответ: 8 см; 5 см

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Формулы сокращенного умножения

Цель: проверить практические навыки и умения учащихся по теме: «Формулы сокращенного умножения».

(В а р и а н т)

1. а) ;

б) ;

в) ;

2. а) 3c – 7;

б) 6ac =
= 3a2 + 3c2;

в) .

3. .

Если а = –2, b = 10, то 4a2 – ab = 4  (–2)2 – (–2)  10 = 16 + 20 = 36.

4. I. Пусть первое натуральное число равное х, тогда второе равно (x + 1), а третье – (x + 2). Нам известно из условия, что квадрат большего из этих чисел на 37 больше произведения двух других чисел, значит получим уравнение:

II. (x + 2)2 – x(x + 1) = 37;

x2 + 4x + 4 – x2 – x = 37;

x = 11.

III. Мы получили x = 11, значит первое из чисел равно 11, второе – 12, а третье – 13.

Ответ: 11, 12, 13

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Разложение многочленов на множители

Цель: проверка усвоения изученного материала и умения выполнять разложение многочленов на множители различными способами.

(В а р и а н т)

Разложить на множители:

1. а) ;

б) ;

в) .

2. а) ;

б) .

3. а) ;

б) ;

в) .

4. Решить уравнение:

Ответ: –2; 2.

5. Вычислить:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Функция у = х2

Цель: проверить усвоение учащимися практических умений сокращения дробей, навыков работы с графическими моделями.

(В а р и а н т)

1. а) .

б) .

2. Решить графически уравнение x2 = x + 2.

Р е ш е н и е:

1) y = x2 y = x + 2

Ответ: x1 = –1; x2 = 2.

3) а) А = В.

4. а) f(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1;

f(x + 3) = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9;

б) f(x + 1) = f(x + 3), если

x2 + 2x + 1 = x2 + 6x + 9;

4x = –8; x = –2.

Ответ: при х = –2.