Элективный курс по математике «Практикум по решению задач»

 

 

Программа

Элективный курс по математике

10 класс

Тема: «Практикум по решению задач».

Руководитель: учитель математики, высшая категория

Трусова Мария Павловна

МКОУ Новонадеждинская СОШ

Аннинского района

Воронежской области

Умение решать задачи - практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на коньках, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»...

Д. Пойа.

Пояснительная записка

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.

Одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач. Умение решать задачи является одним из показателей математического развития, глубины усвоения учебного материала учащимися. На всех экзаменах, как в школе, так и на приёмах в ВУЗы и техникумы, довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, но запутывается при решении несложной задачи.

Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела математики.

Научить решать текстовые задачи – значит, научить такому подходу к задаче, при котором она выступает как объект тщательного изучения, а её решение – как объект конструирования и изобретения.

Курс « Практикум по решению задач» предназначен для учащихся 10 класса. В школьном курсе математики практически мало времени уделяется текстовым задачам. Однако на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах такие задачи даются учащимся достаточно часто и вызывают у них затруднения. Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ и поступлению в ВУЗ, тем самым, исключая противоречие между требованиями системы высшего образования и итоговой подготовкой выпускников учреждений среднего общего образования. Для ликвидации данного пробела и предназначен этот курс.

Предлагаемые задачи, имеют практическое значение, являются хорошим средством развития мышления учащихся. Они расширяют базовый курс математики и позволяют учащимся осознать практическую ценность математики.

Техника решения задач отрабатывается в самостоятельной, групповой, коллективной и индивидуальной работе.

Представленный элективный курс содержит 6 тем. Программа данного элективного курса рассчитана на 25 часов и может быть реализована в 10 классе.

Цели и задачи:

научить детей мыслить;

развить математические знания, необходимые для применения в практической   деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

сформировать представление о математике как части общечеловеческой культуры;

научить анализировать текстовые задачи, разбивать их на составные части;

повысить культуру решения задач.

научить детей решать задачи различными способами и методами, что способствует развитию логического мышления у учеников, развивает сообразительность, фантазию, интуицию учащихся;

научить обосновывать правильность решения задачи, проводить проверку, самопроверку, взаимопроверку, формировать умение пользоваться различными моделями задачи для поиска её решения;

систематизировать и развивать знания обучающихся о методах, приемах, способах решения текстовых задач, их видах.

научить составлять уравнение, систему уравнений по условию задачи, описывать выбор переменных уравнения; составлять и обосновывать выбор ответа.

приобщить учащихся к работе с математической литературой.

научить составлять математическую модель текстовой зада­чи, переходить от этой модели к ответам задачи, анализируя жиз­ненную ситуацию текста задачи.

                  Требования к уровню подготовки учащихся

      После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:

уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, используя при этом разные способы;

уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

уметь использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса

уметь «рисовать» словесную картину задачи;

понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

ставить к условию задачи вопросы;

устанавливать взаимосвязь между величинами, данными в тексте задачи;

составлять план решения задачи, оформлять решение задачи;

сравнивать решения задач;

выбирать более удобный способ, метод для решения данной задачи;

уметь составлять задачу по заданному вопросу, по иллюстрации, по данному решению, по аналогии, составлять обратные задачи;

уметь решать задачи по возможности разными способами и методами;

обосновывать правильность решения задачи:

уметь определять границы искомого ответа.

Тематическое планирование материала элективного курса

   

Содержание программы

№1. Текстовые задачи и техника их решения. (1ч)

Теоретический материал. Виды задач и их примеры. Методы решения текстовой задачи. Примеры решения задач.

№2. Задачи на проценты (5ч).

Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач на проценты. Задачи, решаемые арифметическим способом. Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: лекция, беседа, объяснение.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

№3. Задачи на «смеси и сплавы» (5ч).

Усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Решение задач, в которых отношение компонентов смеси задано в процентах. Формула зависимости массы или объёма в сплаве, смеси, растворе от концентрации и массы или объёма сплава, смеси, раствора. Составление таблицы данных задач на сплавы, смеси, растворы.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

№4. Задачи на «движение» (5ч).

Примеры решения задач: движение в одном направлении; совместное движение; движение в разных направлениях, по реке, навстречу друг другу, движение по окружности. Особенности выбора переменных и методик и решения задач на движение. Составление таблицы данных задачи на движение.

Метод обучения: лекция, беседа, объяснение.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

№5. Задачи на работу (5ч).

Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методик и решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели. Примеры решения задач на вычисление неизвестного времени работы.

Форма занятий: объяснение, практическая работа. Метод обучения: лекция, беседа, объяснение, выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач

№6. Математические задачи из ЕГЭ (3ч).

Решение задач на ЕГЭ. Математические задачи с практическим содержанием.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

№7. Повторение по всему курсу (1ч).

Решение разнообразных задач по всему курсу.

Форма занятий: практическая работа.

Методы занятий: беседа, творческие задания.

Форма контроля: самостоятельная работа.

Методические рекомендации по реализации программы
Основным дидактическим средством для предлагаемого курса являются тексты рассматриваемых типов задач, которые могут быть выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов ЕГЭ или составлены самим учителем.

Курс обеспечен раздаточным материалом, подготовленным на основе прилагаемого ниже списка литературы. Для более эффективной работы учащихся целесообразно в качестве дидактических средств использовать плакаты с опорными конспектами или медиа ресурсы.

Тема 1.Текстовые задачи .(1ч)

Занятие 1. Введение в элективный курс.

Методические рекомендации

На вводном занятии рекомендуется:

объяснить учащимся цели данного элективного курса;

поставить необходимые задачи;

рассказать кратко о том, что будет изучаться, выяснить всевозможное применение задач в жизнедеятельности человека (с помощью учащихся);

рассказать о требованиях к подготовке и защите рефератов;

объяснить, каким образом будут подводиться итоги изучения курса и оцениваться работа учащихся.

Математика – одна из древнейших наук. Не существует явлений природы, технических или социальных процессов. Которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим. Биологическим, химическим, инженерным или социальным.

Возникновение математических наук было связано с потребностями человеческой деятельности. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчётах. Современное производство – это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Среди таких задач и поведение расчётов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д.

Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.

I. Арифметический метод.

Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана её решения.

Вторым этапом является решение задачи по составленному плану.

Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи.

II.Алгебраический метод.

Под алгебраическим методом решения задачи понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи.

При решении задач алгебраическим способом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств.

Третьим важным этапом решения задачи является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

Общие указания:

Решение задач с помощью уравнения (системы уравнений) проводится в последовательности:

 вводят переменные, т.е. обозначают буквами величины, которые требуется найти по условию задачи, либо те, которые необходимы для отыскания искомых величин;

 составляют уравнение (систему уравнений);

 решают составленное уравнение (систему уравнений) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

III. Комбинированный метод.

Этот метод получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решения , в котором часть неизвестных величин определяется с помощью уравнения или системы уравнений, неравенств или системы неравенств, а другая часть – арифметическим методом. В этом случае решение задачи упрощается.

Примеры решения задач.

Свежие абрикосы содержат 90% воды, урюк содержит 20% воды. Определить количество урюка, которое получается из 48 кг свежих абрикосов.

Решение.

Из свежих абрикосов «выжмем» воду (100% - 90% =10%)

останется 48∙ 0,1=4.8 (кг).

Найдём, сколько получится урюка

4,8 : 0,8=6 (кг).

Ответ: 6кг.

2. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

Решение.

Вводим неизвестные величины: х км/ч – скорость товарного поезда, а у ч. – время движения скорого поезда.

Составим таблицу в соответствии с условиями задачи.

 

Составим «математическую модель».

(х + 50)у=8/5х(у+1),

8/5х(у+1)= х(у+4).

Решаем эту систему.

По условию задачи х, тогда разделим второе уравнение системы на х получим:

8/5(у+1)= (у+4)

3у=12,

у=4.

Тогда из первого уравнения имеем:

х + 50)4=8/5х(4+1),

х+50=2х

х=50

Полученные значения удовлетворяют условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда.

50+50=100 (км/ч )– скорость скорого поезда.

Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.

Вкладчик положил 40% своего капитала в Банк-1, а остальные деньги - в Банк-2. Через год его капитал увеличился на 32%. Другой вкладчик положил 70% своего капитала в Банк-1, остальные деньги – в Банк-2, и через год его капитал увеличился на 26%. Определить проценты годового дохода, даваемые каждым банком.

Решение.

Первый положил 40% вкладчик своего капитала в Банк-1, а 60%- в Банк-2. Примем его капитал за 1, тогда 0,4 денег- в Банке-1, а 0,6 денег –в Банке-2.

2)Второй вкладчик положил 70% вкладчик своего капитала в Банк-1, а 30%- в Банк-2. Примем его капитал за 1, тогда 0,7 денег- в Банке-1, а 0,3 денег –в Банке-2.

3)Пусть х% - процент годового дохода Банка-1, у% - процент годового дохода Банка-2.

4) Составим таблицу капиталов обоих вкладчиков за год.

 

0,4х + 0,6у=32,

0,7х +0,3у=26.

Решив систему, получим: х=20, у=40.

Ответ:20%,40%.- проценты годового дохода Банка-1 и Банка-2.

Тема 2.Задачи на проценты (5ч).

Занятия 2. Теория (1ч).

1. Основные понятия.

Занятие следует начать с краткого изложения содержания элективного курса, обратив внимание на то, что учащимся предстоит изучать проценты более глубоко, чем это было на уроках математики. Необходимо указать на практическую направленность курса.

Изложение материала следует начать с повторения основных соотношений, с нахождения процента от числа, числа по его проценту, составления процентного отношения.

Что такое процент.

Процентом от любой величины (денежной суммы, массы добытой в стране нефти, числа учащихся школы) называется её одна сотая часть. Обозначается процент знаком %. Рассматриваемая величина составляет 100 сотых или 100% от самой себя.

Слово « процент » происходит от латинского pro centum,означающего « от сотни », или « на сто ».

1% от А = 0,001А = А.

1 копейка - один процент рубля, 1см- 1% метра, 1цент -1% доллара, 1а-1% га.

2) Простой процентный рост – когда при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят из данной величины А. Например, начисление пени в размере п % от исходного платежа происходит за каждый день просрочки платежа.

(Пеня (от лат. Poena – наказание )вид неустойки. Исчисляется в процентах от суммы неисполненного или ненадлежащее исполненного обязательства и уплачивается за каждый день просрочки).

Если оплата просрочена на к дней, то следует оплатить

А + к(0,01пА)

0,01 пА – начисление пени в размере п % от исходного платежа,

к – количество просроченных дней.

3) Сложный процентный рост – когда при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят из величины, полученной на предыдущем шаге. Например, расчёт банка с вкладчиком, который не снимает со своего счёта сумму начисленных процентов, производится по формуле

А,

где А – первоначальная сумма вклада,

п – процент годового дохода банка,

к – количество лет

Решение задач.

1). Задачи на тему «Простой процентный прирост

Методические рекомендации.

Формула простого процентного роста применяется при решении задач, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Это задачи, в которых требуется найти сумму на банковском счете или например, рассчитать сумму штрафа при расчете просроченных платежей.

Полезно рассказать учащимся о штрафах, которые называются «пеня» ( от лат, poena – «наказание») и решить задачу по данной тематике

1.Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 6000 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение

Используя формулу

А +к(0,01пА), где А=6000, п =2, к =6,

находим 6000(1+0,12)=6720

Ответ: 6720 рублей.

2.Новый компьютер был куплен за 18000руб. Каждый год на его амортизацию списывается 10%. Сколько будет стоить компьютер через 4 года?

Решение

Используя формулу

А (1 – 0,01кп),

Где А = 18000, п=10, к=4, находим 18000(1-0,4) = 10800

Ответ:10800 рублей

2). Задачи на тему «Сложный процентный прирост»

Методические рекомендации.

Приступив к изучению темы, следует обсудить с учащимися ситуации, в которых происходит такое изменение величин, при котором «проценты начисляются на проценты». Необходимо так же сказать, что при сложном росте 100% каждый раз новые – это предыдущее значение величины.

Для вывода формулы сложного процентного роста необходимо решить задачу, используя рассуждения, а затем на примере этой задачи нужно вывести формулу.

1. Сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на счет1 500 р., ни разу не будет брать деньги со счета, а сумма ежегодно будет увеличиваться на10%?

Решение. Через год сумма вклада увеличится на 10% и будет составлять110% от1500р, это будет

1,1 · 1500 = 1650 р.. Через год новая сумма увеличится на 10% и будет составлять 110%от 1650 р.и на счёте будет1,1· 1,1·1500 =1815 р. Через три года на счете будет 1,1·1,1·1,1·1500 =1,13·1500 =1996,5 р.. Исходя из этого можно сделать вывод, что через n лет сумма вклада будет составлять

1,1n · 1500 рублей.

Решив эту задачу в общем виде, получим формулу сложных процентов. Пусть банк начисляет p% годовых , внесённая сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через n лет, равна Sn р.

S n = (1+p /100) n · S. Данная формула также применима при отрицательном процентном росте. В этом случае в формуле появляется знак минус: S n = (1- p /100)n · S.

Используя эту формулу можно решать «обратные задачи», при этом, после подстановки известных величин, получаем уравнение, решив которое, получим ответ.

2.Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года, если банк начисляет 105 годовых и внесённая сумма равна 15000 рублей?

Решение

Используя формулу ,

где А =15000, п =10, к = 4, получим

15000 = 21961,5

Ответ: 21961,5 рублей

3.Задачи, решаемые арифметическим способом

Задачи этого раздела входят как составная часть в решение других типовых задач. Заменяя проценты соответствующим количеством сотых долей числа, легко свести данную задачу на проценты к задаче на части.

1.Цену товара снизили на 20%, затем новую цену снизили ещё на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ещё на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Решение

Эту задачу проще решить чисто арифметическим путем, не составляя уравнения.

1. Пусть первоначальная цена товара x рублей, что соответствует 100%.

2. Тогда после первого снижения цена товара будет x – 0,2x = 0,8x (р.).

3. После второго снижения 0,8х – 0,15∙0,8х = 0,68х (р.).

4. После третьего снижения 0,68х- 0,68х∙0,1 = 0,612х (р.).

5. Всего цена товара снизилась на

х – 0,612х = 0,388х (р.).

x - 100%,

0,385x - y%;

Ответ: На 38,8%.

2.Фирма хочет продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. на сколько процентов фирма должна повысить цену на морковь, чтобы получить за неё на 3,5% больше денег, чем в прошлом году.

Решение.

Пусть в прошлом году масса проданной моркови была m кг ценою х руб. Тогда выручка за морковь равнялась mx руб., что составляло 100%.

В этом году  моркови хотят продать 90% от х, т.е. 0,9m кг и по цене y руб. Тогда выручка  составит 0,9m·y  руб. и это - 103,5%.     Получили пропорцию:

mx        - 100%

0,9my   - 103,5%

103,5 mx = 100·0,9my   -->    90y=103,5x         -->       y/x = 103,5 / 90        y/x = 1,15

А это значит, что если старая цена  х руб. - 100%, то новая цена  у руб. - 115%.

Цену нужно повысить на 15%.   Ответ: 15.

4. Задачи, в которых известно, на сколько процентов одно число больше (или меньше) другого

1. За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 2 р. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое же количество этих продуктов будет заплачено 1 р. 82 к. Сколько стоит килограмм каждого продукта?

Решение

1. Пусть стоимость первого продукта x рублей.

2. Стоимость 1 кг второго продукта y рублей.

3. Стоимость 1 кг первого продукта после подорожания

x+ 0,15x = 1,15x.

4. Стоимость 1 кг второго продукта после снижения

y – 0,25y = 0,75y.

5. Из условия задачи следует

x + 10y = 2,

1,15x + 0,75∙10y = 1,82.

6. Решая систему уравнений, получим x = 0,8, y = 0,12.

Ответ: о,8 и 0,12 рублей

Занятие 3. Текстовые задачи на проценты. (1ч)

    Эта тема стала весьма популярной на вступительных экзаменах в последние годы.

Здесь нужно запомнить:

1) процент величины — одна сотая часть этой величины;

2) если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством (или );
3) если число a увеличено на p%, то оно увеличено в раз, а если уменьшено на q%, , то оно уменьшено в раз.

Получаются числа и соответственно.

Пример 1. Выработка продукции предприятием за 2010 г. увеличилась на 20%, а за 2011 г. еще на 10%. На сколько процентов увеличилась выработка продукции за два года?

Решение. Пусть S — количество продукции, выработанной предприятием за 1995 г. Тогда за 1996 г. произведено

а за 1997 г. —

Выработка продукции увеличилась в 1,32 раза или на 32%.

Ответ: на 32%.

Пример 2. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на p%, а за следующий год она возросла на 10% больше, чем за предыдущий. На сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%?

Решение. Уравнение для искомой неизвестной p следующее:

Сокращая на S и приводя дроби к общему знаменателю, получим

Решая это уравнение, получим

Ответ: 17%.

Пример 3. На фирме работает 50 человек. При этом 37 из них владеют акциями компании A, а 43 — акциями компании B. Сколько человек в процентах владеют акциями обеих компаний, если каждый работник фирмы владеет хотя бы одной акцией7

Решение. Всех сотрудников фирмы можно разбить на три непересекающиеся группы: X человек владеют только акциями компании A. Y человек владеют акциями только компании B. Z человек владеют акциями обеих компаний. Составим систему уравнений.
Акциями компании A владеют сотрудники, входящие в первую и третью группы, т.е.

Аналогично,
Кроме того, каждый сотрудник фирмы входит в одну из групп, т.е.
Решая систему из трех уравнений, получаем что составляет 60% от 50.

Ответ: 60%.

 

Контрольные задания. Тест.

Контрольный тест по теме урока сопровождается верными ответами и, что очень важно, разбором возможных ошибок учащихся.

1. Найти число, 7% которого равно 9,8.

Варианты ответа:

а) 0,686; б) 140; в) 1,4; г) такого числа нет.

 1. Правильный ответ: б).
Пусть само число равно A, тогда

Если получилось 0,686, то Вы решали другую задачу: нахождение 7% от числа 9,8.
Если Вы получили 1,4, это означает, что Вы нашли 1% от искомого числа.

2. Известно, что припек при выпечке хлеба (число, показывающее на сколько процентов масса хлеба больше по сравнению с массой, взятой муки) составляет 20%. Сколько муки надо взять, чтобы получить 60 кг хлеба.

Варианты ответа:

а) 50 кг; б) 12 кг; в) 48 кг; г) 75 кг.

 2. Правильный ответ: а).
Пусть муки взяли X кг (100%), масса хлеба 60 кг (100%+20%), отсюда
Самая распространенная ошибка — за 100% принимают массу готового хлеба (ответ в)).

Решая систему из трех уравнений, получаем что составляет 60% от 50.

Ответ: 60%.

 

4. Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить через год 3,5 тыс. руб.?

Варианты ответа:

а) 2,1 тыс. руб.; б) 87 руб. 50 коп.; в) 2,5 тыс. руб.

 

 4..Правильный ответ в) .
Пусть Вы положили X руб. Через год на Вашем счету

Если Вы получили ответ а), то ошибочно брали 40% прибыли от желаемой,

а не от реально положительной суммы.

Если получили б), то Вы перепутали 40% и «в 40 раз».

5. Известно, что среди группы лиц, работающих в фирме на должности “менеджер по маркетингу”, 37,5% знают, что такое процент. Какое минимальное количество “менеджеров по маркетингу” может работать на фирме?

Варианты ответа:

а) 100 человек; б) 4 человека; в) 8 человек; г) 1000 человек.

 

5. Правильный ответ: в).
37,5% от общего числа — это от общего числа или , или Таким образом, от числа должно быть целым.

Искомое число 8.

Занятие 4. Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

Методические рекомендации.

Объявляя учащимся цель занятия, полезно подчеркнуть, что сюжеты взяты из реальной жизни — из газет, объявлений, документов и могут отражать такие жизненные ситуации, как распродажи, изменение тарифов, штрафы, результаты голосования и т. д.

Представленные на уроке задачи часто могут быть решены разными способами. Важно, чтобы каждый ученик самостоятельно выбрал свой способ решения, наиболее ему удобный и понятный. При решении задач предполагается использование калькулятора — всюду, где это целесообразно. Применение калькулятора снимает непринципиальные технические трудности, позволяет разобрать больше задач. Но надо отметить, что в ряде случаев необходимо считать устно. Для этого полезно знать некоторые факты, например: чтобы увеличить величину на 50%, достаточно прибавить её половину; чтобы найти 20% величины, надо найти её пятую часть; что 40% некоторой величины в 4 раза больше, чем её 10%; что треть величины — это примерно 33%.

 Распродажа.

Задача 1. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс. р. и

выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот предм был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его ноцену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?

Решение. После повышения цены на 60%, старинный предмет стал стоить в 1,6 раз больше, т. е. 30 0001,6 = 48 000 (р.). А после понижения цены на 20% продан за 48 000  0,8 = 38 400 (р.). Таким образом магазин получил 38 400 – 30 000 = 8 400 (р.). прибыли.

Ответ: 8 400 р.

 

 Тарифы.

Задача 2.В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 к. за 1 кВт·ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года – ещё н 50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?

Решение. 40·1,5 = 60 (к.), тогда 50% от нового тарифа 60 к. – это 30 к. Значит 60 + 30 = 90 к. Последний тариф на 50 к. превышает исходный 40 к., что уже больше 100%.

Ответ: тариф на электроэнергию увеличился более чем на 100%.

Задача 3.Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем опл 2008 г. тарифы оплаты по системе К и М были одинаковыми, а в следующие три года последовательно либо увеличивались, либо уменьшались (см. таблица). Сравните тарифы в 2011 г.

 

 

Решение. Проследим изменение тарифов К и М за данные годы: К·1,1·0,97·0,97 = 1,035; В·0,95·1,03·1,04 = 1,018. В 2003 г. тариф по системе К увеличился по сравнению с исходным примерно на 3, 5%, а по системе М – на 1, 8%. Таким образом, тариф по системе К стал выше примерно на 3,5 – 1, 8 = 1, 7%.

Ответ: ≈ 1,7%

Пояснение. Следует обозначить буквой х тарифы М и К в 2008 г., затем последовательно выразить через х все последующие тарифы.

 Штрафы.

Задача 4.Занятия ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение. Так как 4% от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на неделю, то им придется заплатить 250 + 7·10 = 320 р.

Ответ: 320 р.

Задача 5.Если водитель не прошел тех. осмотр автомашины, то сотрудник ГИБДД должен оштрафовать его на ½ минимальной оплаты труда. Стоимость прохождения тех. осмотра составляет примерно 150 рублей, а размер минимальной заработанной платы 500 рублей. На сколько процентов штраф превышает стоимость тех. осмотра, если при оплате штрафной квитанции в банке с водителя возьмут 3% за услуги банка?

Решение. ½ часть от 500 р., это 250 р. Если учесть 3%, которые возьмет банк, получим сумму штрафа 2501,03 = 257 р. 50 к. Теперь найдем отношение штрафа к сумме тех. осмотра 257, 5 : 150 = 1, 72 или 72%.

Ответ: на 72%.

 Банковские операции.

Задача 7. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счёт в банке 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счёте вкладчика через год, через два года, через пять лет?

Решение. Через год начальная сумма вклада увеличится на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год вклад увеличится в 1, 08 раза и составит 5000·1,08 = 5 400 (р.). Через год новая сумма увеличится также в 1,08 раз, т.е. 5000·1,082 =5 832 (р.). Таким образом видно, что вклад растет в геометрической прогрессии и через пять лет сумма вклада составит 5000·1,085 = 7 346 р. 64 к.

Ответ: 5 400 р.; 7 346 р. 64 к.

Голосование.

Задача 8. В 2004 году в выборах Президента РФ на избирательном участке №356 приняло участие 56% избирателей от общего числа 2 844 человек. За Путина В. В. отдали голоса 1 069 пришедших на выборы избирателей, за Ирину Хакамаду проголосовало 78 человек. Выборы считаются состоявшимися. Кто из кандидатов победил на этом участке (победитель должен преодолеть 50% барьер) и на сколько процентов обогнал своего соперника?

Решение. Найдем сколько человек пришло на избирательный участок 2 8440,56 = 1 592. Из них за Путина проголосовало 1069 : 1592 = 0,67 или 67%. Хакамада получила 78 : 1592 = 0,05 или 5% голосов. Таким образом Путин опередил Хакамаду на 62% и стал победителем, т. к. преодолел 50% барьер.

Ответ: Путин В. В. на 42%.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре — ещё на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре? На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?

Решение. Стоимость зонта в ноябре составила 85% от 360руб.т. е 360•0,85=306руб. Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306руб., т.е.306•0,9=275,4руб.

Найдём отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23,5%.

2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке — до 10%. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Решение. Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать Х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х, то и на ярмарку будет доставлено – 0,9•0,.85х. Составим уравнение 0,.9•0,.85х=1, откуда х1,3. Ответ: не менее 1,3т

3. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24%, а потом ещё на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 р.?

Решение. В реальной жизни часто вместо точных подсчётов удобно выполнять прикидку. В нашем случае 593 руб.– это примерно 600 руб.; а 24% – это примерно 1/4. Четверть от

600 руб. составляет 150 руб. и составила примерно 450 руб. После второй уценки новая цена кроссовок снизилась ещё примерно на 45 руб. В итоге кроссовки подешевели примерно на 195 руб.

4. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

5. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 к. за 1 кВт.ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года — ещё на 50%.Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на100%?

6.На данной диаграмме изображен рост вклада в сбербанке. С помощью диаграммы определите величину первоначального вклада и процентную ставку. Запишите формулу увеличения вклада и вычислите, какую сумму получит вкладчик через 12 лет?

Решение. Первоначальная сумма вклада составляет 10 000 р., за второй год сумма стала 12 000 р., значит процентная ставка равна 12 000 : 10 000 = 1,20 или 20% годовых. Используя формулу сложных процентов найдем сумму через 12 лет:

10 000  1,212 = 89 161 (р.).

Ответ: ≈ 89 тыс. р.

7. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно? Можно ли ответить на вопрос задачи, не зная числа учащихся школы?

Занятия 5-6.Практикум по решению задач.(2ч)

1)Открытая база заданий. ЕГЭ Математика. Задания В 1.

( презентация №1 «Проценты»)

Схема решения практико-ориентированных задач

Прочитать задачу,

обдумать метод решения.

Решить задачу

Проверить решение на соответствие реальным условиям

Записать ответ ( он может быть выражен целым числом или десятичной дробью с ограниченным количеств

 

1.В городе N живет 300000 жителей. Среди них 10 % детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?

Решение

300 000 – 100%

Дети – 10% 300 000*10:100=30 000 детей

Взрослых 300 000-30 000=270 000 чел. – 100%

работают – 65%.

270 000*65:100=202505 чел.

Ответ: работают 202 505 чел.

2.Железнодорожный билет для взрослого стоит 840 рублей. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Решение

840р. – 100%

Д.билет – 50% 840*50:100=420 руб. или 840:2=420

18*420+3*840=7560+2520=10080(руб.)

Ответ: 10080 руб. стоят билеты на всю группу.

3. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество тетрадей можно купить на 550 рублей после понижения цены на 15%?

Решение

1) 15% = 0,15

2) 40 × 0,15 = 6

3) 40 – 6 = 34

4) 550 : 34 = 275 : 17 = 16,176…

Ответ: 16 тетрадей.

4.Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение

800 рублей - 100%

680 рублей - х %

1) 800х = 680 × 100

Х = (680 × 100) : 800

Х = 85 (%)

2) 100% - 85% = 15%

Ответ: на 15% была снижена цена на футболку.

5.Стоимость автобусного билета - 15 рублей. Какое количество автобусных билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены на 20%?

Решение:

Найдем новую цену на автобусный билет. Очевидно, что после повышения цены, его стоимость составит 120% от старой.

Находим новую цену:

(15/100)*120=18 (рублей) - новая цена на автобусный билет.

2) Найдем число билетов, которое можно купить на 100 рублей.

100/18=5,5(5)

Таким образом, на 100 рублей можно купить 5 билетов.

Ответ. 5.

2.Деловая игра «Проценты в современной жизни» (1 час).

Игра позволит ориентировать обучающихся на прикладное применение математических знаний в профессиональной деятельности, в неформальной обстановке произвести диагностику качества знаний учащихся по данной теме, создать условия, в которых обучающиеся могут испытать себя как будущего профессионала, проявить свои деловые качества: умение «презентовать» себя на рынке труда, умение руководить коллективом, инициативность, выносливость, смелость ( Приложение ).

Форма занятий: урок – деловая игра.

Тема 3.«Задачи на сплавы, смеси, растворы». (5ч)

Занятие 7-9. Теория. Решение задач. (3ч)

Цели: сформировать умение работать с законом сохранения массы; обеспечить усвоение обучающимися понятий концентрации вещества, процентного раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты.

Формы занятия: комбинированное занятие.

Методы обучения: рассказ, объяснение, практическая работа.
Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Оборудование: компьютер, проектор

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике ГИА и ЕГЭ.

Рассматривая задачи на составление уравнений, остановимся прежде всего на решении тех задач, которые связаны с использованием понятий «концентрация» и «процентное содержание». Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

1.Основные понятия.

Смеси. В природе вещества встречаются преимущество в виде смеси. Однородными называют такие смеси, в которых даже с помощью микроскопа нельзя обнаружить частицы веществ, входящих в смесь. Раствор сахара, поваренной соли в воде.

Сплавы. Основа современной техники – машины и механизмы – изготовляются в основном из металлических материалов – металлов, сплавов металлов друг с другом. В жидком состоянии большинство металлов растворяются друг в друге и образуют однородный жидкий сплав. При кристаллизации из расплавленного состояния различные металлы ведут себя по- разному.

Основные методы решения задач на смешивание растворов

При решении задач о смесях, сплавах и растворах используют следующие допущения:

а) все полученные смеси , сплавы, растворы считаются однородными;

в) не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как

мерой количества жидкости (или газа);

с)смешивание различных растворов происходит мгновенно;

д) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2, получается смесь, объем которой равен V1 + V2, т.е.

V0=V1 + V2,

Е) При слиянии двух растворов не объем, а масса смеси равняется сумме масс составляющих ее компонент:

m0=m1+m2;

Если смесь (сплав, раствор) имеет массу и состоит из веществ А.В и С, массы которых равны:

, ,, то величину ( соответственно , ) называют концентрацией вещества А (В, С) в смеси (сплаве, растворе), а величину ∙100% (∙100%; ∙100% ) – процентным содержанием вещества А (В, С) в смеси. При этом выполняется равенство:

=1

Определения и обозначения.

масса или объём раствора (смеси, сплава);

масса или объём вещества входящего в раствор (смесь или в сплав);

концентрация (объёмная или массовая) вещества;

Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси.

Концентрация = масса вещества : масса смеси

процентное содержание вещества;

доля или часть раствора (смеси, сплава).

Массовая доля растворённого вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора.

ω =,

где ω - массовая доля растворённого вещества в растворе;

- масса растворённого вещества в растворе;

- масса раствора.

3. Основными методами решения задач на смешивание растворов являются:

- с помощью расчётной формулы;

- правило смещения;

- правило креста;

- графический метод;

- алгебраический метод.

3.1. С помощью расчётной формулы:

Введём обозначения:

- массовая доля растворённого вещества в первом растворе;

- массовая доля растворённого вещества во втором растворе;

ω -массовая доля растворённого вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов;

– массы растворённых веществ в соответствующих растворах;

- массы соответствующих растворов.

В наших обозначениях получим формулу для вычисления массовой доли вещества в смеси:

Масса полученного при смешивании раствора равна:

=

2.Определим массы растворённых веществ в первом и втором растворах;

==

3.Масса растворённого вещества в полученном растворе вычисляется:

==

4. Массовая доля растворённого вещества в полученном растворе равна:

ω = или ω=

При решении задач удобно составлять следующую таблицу:

 

 

 

3.2 .«Правило смещения»

Воспользуемся формулой

ω =,

тогда

+ = ω( +);

- = ω( );

ω) =(ω -

=

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей первого раствора и смеси.

3.3 «Правило креста»

Правилом креста называют диагональную схему правила смещения для случаев с двумя растворами.

 

I раствор массовые части

I раствора

 

II раствор массовые

части II раствора

Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева сверху – большая), на пересечении отрезков - задания, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной отношении надо слить исходные растворы.

3.4 Графический метод.

Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости

(ω =, у = )

Полученная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной смеси.

ω

Данный способ является наглядным и даёт приближённое решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить точный ответ.

3.5.Алгебраический метод.

Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнений или систем уравнений.

2.Решение задач.

Задача 1. В 100г 20%- ного раствора соли добавили 300г её 10% - ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение:

а) С помощью расчётной формулы

 

Воспользуемся формулой

= 300г ω =

= 0,2 получаем ω = =0,125

= 0,1 Ответ:12,5%

ω - ?

б) Графический

 

20

12,5

10

 

0 300 400

Ответ: 12,5%

 

в) Путём последовательных вычислений

1) Сколько растворенного вещества содержится:

а) в 100г 20% - ного раствора; (100∙0,2 = 20 (г))

б) в 300г 10% - ного раствора; (300∙ 0,1 = 30(г))

2) Сколько вещества содержится в образовавшемся растворе?

20 + 30 = 50г.

3) Чему равна масса образовавшегося раствора?

100 + 300 = 400г

4) Какова процентная концентрация полученного раствора?

∙ 100 = 12,5 (%)

Ответ: 12,5 %

г) Алгебраический

Пусть х = процентная концентрация полученного раствора. В первом растворе содержится 0,2∙100 (г), а во втором 0,1 ∙300 (г), а в полученном растворе х ∙(100 + 300)(г) соли. Составим уравнение:

0,2∙100 + 0,1 ∙300 = х ∙(100 + 300);

Х = 0,125 (12,5%)

Ответ: 12,5%.

Задача 2.Смешали 10%-й раствор и 25%-ный растворы соли и получили 3кг 20%- ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Решение:

Алгебраический

а) С помощью уравнения

Пусть х(кг) - масса первого раствора, тогда ( 3 – х)(кг) – масса второго раствора.

Тогда 0,1х(кг) содержится соли в первом растворе,

0,25(3-х)(кг) содержится во втором растворе,

0,2

Учитывая, что масса соли в первом и втором растворах равна массе соли в смеси, составим и решим уравнение:

0,1х + 0,2(3 – х) = 0,6; 0,15х = 0,15;.х = 1

1кг – масса первого раствора, тогда масса второго раствора 2кг.

Ответ:1кг; 2кг.

б ) С помощью системы уравнений:

Пусть х(кг) - масса первого раствора, тогда у- масса второго раствора. Тогда 0,1х (кг) содержится соли в первом растворе, 0,25у (кг) содержится соли в во втором растворе;

Составим и решим систему уравнений:

х + у = 3;

0,1х + 0,25у = 0,6

Решая систему методом сложения, получим, у =2, х =1.

Ответ: 1кги 2кг.

«Правило смещения»

= 3 кг Воспользуемся формулой

=о,1 =

=0,25 Получаем = =

ω= 0,2 =0,5

- = 3

Следовательно, = 1кг, = 2кг.

«Правило креста»

II раствор 0,25 0,1 массовые части II

раствора

0,2

I раствор 0,1 0,05 массовые части II

раствора

Следовательно, = 0,1 ∙0,05 = 2 1

Ответ: 1кг; 2кг.

Задача 3 . Смешали 10%-й раствор серной кислоты с 30%-м раствором той же кислоты. В результате получили 600 г 15%-го раствора серной кислоты. Сколько нужно было взять того и другого раствора?

Решим эту задачу разными способами. Чаще всего при решении пользуются алгебраическим способом. В данном случае можно предложить два таких решения.

Первое решение. Пусть нужно взять x г 10%-го раствора, тогда придётся взять (600-x) г 30%-го раствора. Так как в результате смешивания получается 15%-ный раствор, составляем уравнение

0,1x+0,3(600-x)=0,15·600.

Решив это уравнение, получаем ответ: 10%-го раствора - 450 г, 30%-го раствора – 150 г.

Второе решение. Обозначение: требуется взять x г 10%-го раствора, y г 30%-го раствора. На основании условий задачи приходим к простой системе

Решая её любым способом либо подстановкой, либо сложением мы найдем те же 450 г и 150 г.

Третье решение. По условию задачи в 600 г раствора должно содержаться 90 г чистой серной кислоты (0,15·600=90). Предположим, что мы взяли бы все 600 г 10%-го раствора. В нём содержалось бы только 60 г серной кислоты (0,1·600=60), т.е. необходимо ещё 30 г. Недостающее количество серной кислоты можно получить, если часть 10%-го раствора заменить более насыщенным 30%-м. Каждый грамм (в силу однородности раствора) 10%-го раствора содержит 0,1 г чистой серной кислоты, а 1 г 30%-го раствора содержит 0,3 г чистой серной кислоты. Таким образом, при замене одного грамма 10%-го раствора на 1 г 30%-го содержание кислоты в растворе увеличивается на 0,2 г. Всего недостает 30 г. Так как 30:0,2=150, значит надо 150 г 10%-го раствора заменить на 150 г 30%-го. Отсюда получаем: 10%-го раствора – 450 г, 30%-го – 150 г.

Четвертое решение. Для наглядности рассуждений воспользуемся изображенной на рисунке 1 схемой. В силу однородности растворов в каждой доле полученного 15%-го раствора должно содержаться 15 частей чистой кислоты (это число 15 стоит в центре схемы). Следовательно, каждая доля 10%-го даёт недостачу в 5 частей (- 5), а каждая доля 30%-го раствора даёт избыток в 15 частей (+15). При смешивании избыток и недостаток должны погаситься, поэтому исходные растворы следует брать в отношении, обратном к данному 5:15, т.е. 15:5 или 3:1. Разделив 600г в данном отношении, мы получим искомый ответ: 450г и 150г. Фактически, данный способ позволил решить более общую задачу: каково должно быть соотношение 10%-го и 30%-го растворов, чтобы при смешивании получился 15%-ый раствор.

Теперь вернёмся к нашей задаче. У нас должно получиться 600г 15%-го раствора. 15% можно получить как среднее арифметическое 10% и 20%. То есть для получения 600г 15%-го раствора можно взять 300г 10%-го раствора и 300г 20%

раствора (рис. 2). Но у нас нет 20%-го раствора, зато есть 10%-ый. Если взять 150г 10%-го раствора и 150г 30%-го раствора, то получится 300г 20%-го раствора. Окончательно получаем, что необходимо 450г 10%-го раствора смешать с 150г 30%-го.

Раскрытые приёма поиска решения задач на конкретных примерах.

В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов.

Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того, на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух.

Полученная схема имеет следующий вид:

 

Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.

Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.

Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:

 

медь

свинец

медь

свинец

свинец

медь

 

 

65%

=

+

30%

15%

 

 

 

200г

 

Решение.

1-й способ. Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

 

 

 

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г. 60г.

2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

 

 

 

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.

Ответ: 140г,60г.

Задача 2. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 150 г 70% -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 6 % раствор уксусной кислоты?

Решение. Количество воды необходимое для доливания в сосуд обозначим через x.

 

Так как масса уксусной кислоты осталась прежней, составляем и решаем уравнение

0,06(150 + x) = 105, 9 + 0,06x = 105, 0,06x = 96, x = 1600.

Ответ. 1,6 кг воды.

Задача 3.Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Решение

Х кг – искомая величина

(2Х – 11)кг – масса первоначального куска

Концентрация меди в процентах

Х = 22,5

Ответ: 22,5кг меди было в куске латуни первоначально

Занятия 10-11. Практикум по решению задач на растворы, смеси и сплавы. (2ч) ( Презентация №2 «Смеси, сплавы».)

1. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

В задачах на сплавы и растворы используется одна единственная формула:

P= x100% , где

P – процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m –  масса чистого вещества

M  - масса сплава или раствора.

Задачи на сплавы и растворы удобно решать с помощью таблицы. Порядок заполнения таблицы такой:

1. Сначала решаем, какую величину мы примем за неизвестное, и заполняем тот столбец таблицы, в котором речь идет об этой величине.

2. Заполняем тот столбец, параметры которого даны.

3. Параметры третьего столбца выражаем через параметры первых двух.

 Алгоритм  решения задачи на сплавы и растворы на примере данной задачи.

1. Поскольку в условии масса  первого раствора не  указана, примем ее за х. Масса второго раствора равна массе первого и тоже равна х. После того, как растворы смешали, мы получила раствор, масса которого равна 2х.

Начнем заполнять таблицу:

2. В условии задачи дано процентное содержание вещества в каждом растворе. Внесем эти условия в соответствующий столбец таблицы:

3. Параметры второго столбца, то есть массу чистого вещества выразим через параметры первых двух. Для этого воспользуемся формулой:

m= x M:

 

Процентное  содержание вещества в получившемся растворе равно

массе вещества: 0,15х+0,19х=0,34х

разделить

на массу раствора:  2х.

Получим:

Р= x100%=17%

Ответ: 17%.

Задача 2. В сосуд, содержащий 180 г 70% -го водного раствора уксуса добавили 320 г воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Решение.

Масса уксусной кислоты не изменилась и равна

m1=0,7·180=126 (г).

Получившийся раствор имеет массу

180 г + 320 г = 500 г

Концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна

k==25,2%

Ответ. 25,2%.

Задача 3 .К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?

Решение.

Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном сплаве - . Обозначим массу полученного сплава х кг, и, внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:

 

 

 

Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение: Решив его, получаем искомое значение: х=9.

Ответ: 9кг

Задача 4(а).Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с ее 10%-ным раствором и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов 30 % - го раствора было взято?

Пусть х г взяли 30% -го раствора , тогда 10%-го раствора взяли

(600-х) г. Поле того, как растворы смешали, количество чистого вещества не изменилось.

 

Чистое вещ-во

Чистое вещ-во

Чистое вещ-во

 

 

 

 

Подсчитав количество чистого вещества слева от знака равенства, и приравняв его к количеству чистого вещества, справа от него, получаем уравнение:

, упростив уравнение, получим: 0,2х=30, получаем х= 150г.

Ответ:150г.

(б).Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение 1: Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго

(600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15

x = 150           

Решение 2: Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x)

x =150

Ответ: 150 г 30% и 450 г 10% раствора

Задача 5 . Смешав 40% и 15% растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20% раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80% раствора той же кислоты, то получили бы 50%-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40% -го и 15% растворов кислоты было смешано?

 

Решение.

Вводим обозначения: x кг было 40% раствора кислоты, y кг было 15% раствора.

Для каждой смеси составляем уравнение.

Для первой:

0,4x + 0,15y = 0,2(x + y +3).

Для второй:

0,4x + 0,15y + 2,4 = 0,5(x + y +3).

Остаётся решить следующую систему уравнений:

Ответ. 3,4 кг и 1,6 кг.

Задача 6. При смешивании 5%-го раствора кислоты с 40%-ным раствором той же кислоты получили 140г 30%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решим задачу при помощи схемы. Число 30 ставим в центр схемы. Число 5 ставим в верхнем левом углу схемы, число 40 в правом верхнем углу. Каждая доля 5%-го раствора даёт недостачу в 25 частей (-25), а каждая доля 40%-го раствора даёт избыток в 10 частей (+10). Так как при смешивании недостаток и избыток должны гаситься, то

растворы будем брать в отношении обратном к данному 25:10, т.е. 10:25 или 2:5.

5%-го: 140:7·2=40 (г),

40%-го: 140:7·5=100 (г).

Ответ. 40г и 100г.

Задач7. Из молока, жирность которого 5%, делают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится из 1 т молока?

Решение. Пусть x кг получилось творога, а y кг – сыворотки. По закону сохранения массы для всей смеси получаем первое уравнение

x + y=1000.

По закону сохранения массы для отдельной компоненты – жира получаем второе уравнение

0,155 x+0,005 y=0,05·1000.

Совместное решение этих уравнений и дает x=300 (кг)

Ответ. 300 кг.

Задача 8 . В коробки было 25 % белых кубиков, и 75 % черных. В коробку добавили 10 черных кубиков, соотношение белых и черных стало 20 % к 80 %, сколько было черных кубиков в коробке в начале?

Решение. Пусть x было белых кубиков, а y черных. Первоначально в коробке было 25 % белых и 75 % черных кубиков, их соотношение составляло 1/3, в коробку положили 10 черных кубиков, и в коробке стало 20 % белых и 80 % черных кубиков, и их соотношение стало 1/4.

Из решения системы ,,.

Ответ:30.

Задача 9. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение.

1. 100 % – 6 % = 94 % чистого металла в процентах,

2. 20:100· 94 = 18,8 т чистого металла,

3. 40 – 18,8 = 21,2 примеси в тоннах,

4. ( 21,2:40 ) ·100 % = 53 % примеси в процентах.

Ответ. 53 %.

Задача 10. Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

Записываем одну из систем:

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г и 875 г.

Задача 11.Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение

х = 140 и у = 60

Ответ: 140 г меди и 60 г свинца

Тема 4. Задачи на движение. (5ч)

Занятие 12-13 . Теория.(2ч)

( презентация № 3 « Задачи на движение»)

1.Основные понятия.

Некоторые указания к задачам на «движение»:

Основными компонентами этого типа задач являются:

а) пройденный путь (s); б) скорость (v); в) время (t). Зависимость между указанными величинами выражается известными формулами:

(1)

( указанные величины должны быть в одной системе единиц, например: если путь в километрах, а время в часах, то скорость в километрах в час).

При решении задач на движение принимают такие допущения:

 движение считается равномерным, т.е. происходящим с постоянной скоростью, если нет специальных оговорок;

 изменение направления движения и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;

 постоянная скорость, с которой рассматриваемый объект двигался бы по стоячей (неподвижной0 воде, называется его собственной скоростью;

Если движение происходит по реке, имеющей постоянную скорость течения реки, то скорость движения по течению

=

Скорость движения против течения = - ;

где - собственная скорость или скорость в стоячей воде,

- скорость течения рек

Vсоб. =

 при составлении уравнений в задачах, связанных с равномерным движением, пользуются формулой

S = S - путь, - время.

При движении двух объектов с различными скоростями и

рассматривают следующие ситуации:

 движение начинается из одного пункта А в противоположных направлениях

 

 

А

Если  , то скорость удаления = .

 движение начинается из одного пункта А в одном направлении

 

 

Если  , то скорость удаления = .

 движение начинается из разных пунктов навстречу друг другу

 

 

Если  , то скорость удаления = .

 движение начинается из разных пунктов в одном направлении

 

.

Если , то скорость удаления = .

Часто при решении задач на движение вводят систему координат t Os , где по оси абсцисс (Оt) откладывают время t, а по оси ординат (оси OS) – пройденное расстояние S. Тогда графиком зависимости S =vt является прямая АМ, составляющая с осью Оt острый угол , тангенс которого равен значению скорости v

 

 

S

В М

 

C P

О N t

 

Ели по условию задачи одновременно с маршрутом из А в В начинается встречный маршрут из В в А, то отчёт расстояния, пройденного из пункта В по направлению к точке О, ведётся от точки В, отмеченной на той же оси Оs. Графиком встречного маршрута является прямая ВN, составляющая с прямой ВМ, параллельной Оt, острый угол , тангенс которого равен значению скорости v движения по этому маршруту. Координаты точки З пересечения графиков указывают время встречи и пройденные от А и от В расстояния до места встречи (соответственно АС и ВС).

2. Решение задач.

Задача 1.Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В вы­ехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипе­дист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если рассто­яние между А и В равно 30 км?

Решение

1)30:10 = 3(ч); 4) 10 + 5 = 15 (км/ч);

5-3 = 15 (км); 5) 15 : 15 = 1 (ч);

30 - 15 = 15 (км); 6) 3 + 1 = 4 (ч).

Его можно упростить, заметив, что в задаче речь идет по сути дела о движении навстречу друг другу с удвоенного расстояния. Тот же ответ получится, если переформулировать условие задачи следующим обра­зом: «Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал велоси­педист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?».

30-2 = 60 (км);

10 + 5 = 15 (км/ч);

60:15 = 4 (ч).

Ответ: через 4 часа.

Задача 2. Из пункта А в пункт В вышла машина с почтой. Через 20 мин. По тому же маршруту вышла вторая машина, скорость которой 45км/ ч. Догнав первую машину, шофёр передал пакет и немедленно поехал обратно с той же скоростью. В тот момент, когда первая машина прибыла в пункт В, вторая достигла лишь середины пути от места встречи её с первой машиной до пункта А. Найти скорость первой машины, если расстояние между А и В равно 40км.

Решение

I способ:

 

 

А С Е Д В

Пусть скорость первой машины равна х км/ч.

Когда из пункта А вышла вторая машина, то первая машина находилась в пункте С.В пункте Д обе машины встретились, обозначим АД через у.

Когда первая машина пришла в пункт в, то вторая машина находилась в пункте Е, где Е – середина АД. Таким образом, вторая машина прошла путь АД + ЕД = у + у.

Запишем данные в таблицу.

 

Первая машина была в пути на часа больше, чем вторач машина. Составим систему уравнений;

=,

;

45у-ху=15х

1200-ху=10х

45у-1200=5х

х=9у-240.

Подставим это выражение в первое уравнение:

45у-(9у-240)у=15(9у-240)

3-50у-1200=0

У= ( не подходит) или у=30.

Тогда х=270-240=30.

Ответ:30 км/ч.

II способ:

Введём систему координат tОх, где по оси ординат откладываем s=аВ=40, а по оси абсцисс – время t=АС=

 

в с

д к

 

Е N H F

А G L M J

 

АС – график движения первой машины, скорость которой равна v=tgПусть скорость первой машины равна х км/ч.

GK и KF – путь «туда - обратно» второй машины, скорость которой равна tgKGJ=45.

E – середина АД (обозначим АД (через у). Можно доказать, что

HKF= HKN= LNG, а затем, что GL=LM=MJ.

Из GNL имеем: tgKGJ=NL/GД=АЕ/GL =45. Тогда GL=АЕ/45=У/90.

AJ=AG+3GL=1/3+3у/90=1/3+у/30- время пути первой машины. Тогда весь путь равен

(1/3+у/30)х или 40км.

AM=AG+2GL=1/3+2у/90=1/3+у/45 – время пути первой машины до встречи. Этот путь равен (1/3+у/45)х или отрезок АД = у.

Получаем систему уравнений:

(1/3+у/30)х=40,

(1/3+у/45)х = у.

(10+у)х=1200,

(15+у)х=45у.

Разделим второе уравнение на первое.

.

Решением этого уравнения является у=30. Находим х=30.

Ответ: 30 км/ч.

Задача 3. Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов в третий. Куда они договорились прибыть одновременно. Первый прибыл на место встречи через два часа, а второму, чтобы прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее первого, так как его путь был длиннее на 6 км. Какова скорость каждого велосипедиста?

Решение

Особенностью этой задачи является не прямое, а косвенное указание скорости велосипедистов.

2. Пусть первый велосипедист проезжал каждый километр за x мин, т.е. его скорость была км/ч. Тогда скорость второго км/ч.

3. Составим уравнение и решим его:

=5, = - 4 (посторонний корень).

4. Следовательно, = = 12 км/ч, = = 15 км/ч.

Ответ: 12 км/ч, 15 км/ч.

Задача 4. Турист, находящийся в спортивном лагере, должен успеть к поезду на железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то опоздает на 30 минут. Если же он поедет на автобусе, скорость которого 40 км/ч, то приедет за 2 часа раньше до отхода поезда. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Решение: пусть расстояние от лагеря до станции равно (х) км. Тогда на велосипеде турист проедет это расстояние за ч, а на ч. Зная, что в первом случае турист опоздает на 0,5 ч, а во втором приедет на 2 часа раньше срока, составим уравнение:

2

Ответ: расстояние от лагеря до станции равно 60 км.

Задача 5. . На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один из картов проходил круг на 5 мин. медленнее другого и через час отстал от него ровно на круг. За сколько минут каждый карт проходил круг?

Решение: пусть первый карт проходит круг за (х) мин., тогда второй карт проходит круг за (х+5) мин. Составим и решим уравнение:

Т.к. по смыслу задачи 0, то х=15

1. 15 + 5 = 10 (мин.) время движения второго карта.

Ответ: за 15 минут первый карт проходит круг, за 20 мин. второй карт проходит круг.

Задача 6 . Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 25 км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Во время пути автомобиль сделал остановку на 2 мин., но в пункт В приехал на 3 мин. раньше автобуса. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно, что скорость автобуса в 1,2 раза меньше скорости автомобиля.

Решение: пусть скорость автобуса (х) км/ч, тогда скорость автомобиля (1,2 х) км/ч. Таким образом, время движения автобуса ч, а автомобиля ч. Зная, что автомобиль сделал остановку на 2 мин., но приехал на 3 мин. раньше автобуса, составим уравнение:

1. 1,2 = 60 (км/ч) – скорость автомобиля.

Ответ: 50 км/ч – скорость автобуса; 60 км/ч – скорость автомобиля.

Занятие 14 . Решение типовых задач на движение. (1ч)

1.Из пункта А в пункт В , расположенный в 24 км от А, одновременно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В на 4 часа раньше пешехода. Известно ,что если бы велосипедист ехал со скоростью , меньшей на 4 км/час, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найдите скорость пешехода.

Решение

Пусть х ч. – время велосипедиста, тогда (х+4)ч. – время пешехода.

км/ч- скорость велосипедиста.

Если скорость велосипедиста будет меньше на 4 км/час, то есть

-4 = , то времени он затратит = часов или в два раза меньше, чем (х+4).

= х +4; = х + 4;

24х =12х +48-2 -8х; 2+20х -48 =0;

+10х-24=0, Д= 25+24=49,

= -5-7= -12 (не подходит по условию задачи),

= - 5=7=2.

Найдём скорость пешехода = = 4 (км/час )

Ответ: 4 км/час.

2.Пешеход, идущий из дома на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошёл со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от дома до станции и с какой постоянной на всём пути скоростью пешеход прошёл бы на станцию точно к отходу поезда?

Решение.

Составим таблицу:

 

Уравнивая промежутки времени, записанные в первой и второй, в первой и и третьей строках, получаем систему уравнений.

= 1 + - ;

+ . Или = , откуда х=14. Ответ: х=15, v = 3,5 км/ч.

3. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения реки. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Решение: пусть скорость течения реки равна (х) км/ч, тогда (8-х) км/ч – скорость катера против течения реки, а (8+х) км/ч – скорость катера по течению реки. Запишем и решим уравнение:

т.к. х = -2 не подходит по смыслу задачи, то х=2.

Ответ: 2 км/ч – скорость течения реки.

4. Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и через 2,5 часа вернулась обратно, затратив на стоянку 25 минут. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км.

5. За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 часов прошел 80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

6. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 мин. быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

Занятия 15-16. Практикум по решению задач. (2ч).

1.Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 75км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 10 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 10 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Составим по условию задачи таблицу.

 

Решим уравнение:

+ 10,

+10х-75 = 0,х = 5.

Ответ: 5км/ч.

2.Два велосипедиста одновременно отправляются в 176- километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч больше, чем второй, и прибывает к финишу на 5 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 11 км/ч.

3.Моторная лодка проплыла против течения реки 96км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 10 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Составим по условию задачи таблицу

 

Составим и решим уравнение:

- = 10,

- 1210 = 0,

Х = - 11 (посторонний корень), х =11.

Ответ: 11 км/ч.

4.Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 900км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 80 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 26 км/ч.

5.Катер в 12.00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 12 км от А. Пробыв в пункте В полтора часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 17.00. определите собственную скорость катера , если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 25 км/ч.

6. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 96 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 60 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Ответ: 64 км/ч.

7. Из пункта А в пункт В выехали одновременно два автомобиля. Скорость первого автомобиля – 60 км/ч, а скорость второго - 90 км/ч. Спустя 30 минут из города А в город В выехал третий автомобиль, который догнал сначала первый автомобиль а через час после этого – второй. Найдите скорость третьего автомобиля. Ответ: 120 км/ч.

8.Пароход прошёл 1 км против течения реки и 15 км по течению реки, затратив на весь путь 2 часа. Известно, что собственная скорость парохода постоянна, и за час по течению реки он проходит на 6 км больше, чем за это же время против течения. Сколько километров в час проходит пароход по течению реки? Ответ: 9 км/ч.

9.Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде =15 км/ч, прошла 139 км вниз по течению реки и вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 часов.

Решение

Пусть х км/ч.- скорость течения,

 

 

 

 

 

Весь путь пройден за 20 часов.

+ = 20,

– 16 = 0,

х =4.

Ответ: 4 км/ч.

10.Водитель должен был проехать 240 км за определённое время. Однако через полтора часа ему пришлось остановиться на 18 минут, чтобы сменить колесо. Для того, чтобы добраться вовремя, водителю пришлось увеличить скорость на 20 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля в пути (км/ч). Ответ: 80 км/ч.

11.Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд, скорость которого равна 70 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Киева произойдёт встреча, если расстояние от Москвы до Киева 872 км?

Ответ: 4ч.16 мин.

12.Расстояние между пунктами поезд должен пройти за 10 ч. Пройдя 9ч. С намеченной скоростью, он снизил скорость на 7 км/ч и прибыл в конечный пункт с опозданием на 5 мин. Найти первоначальную скорость поезда. Ответ: 77 км/ч

 

 

Тест.

1. Найдите время, за которое велосипедист доберется из пункта А в пункт В

(см. схему на рисунке 1).

 

υ=12 км/ч

А|_________________________________________В

 

s = 6 км

Рис. 1.

 

А. 72 ч Б. 0,5 ч В. 2 ч

Г. 5 ч Д. ________________

2.Из двух пунктов, расстояние между которыми 10 км, вышли одновременно в одном направлении два туриста. Скорость первого туриста 4 км/ч, а скорость идущего за ним следом – 6 км/ч. Через какое время второй турист догонит первого?

 

А. Через 1 ч Б. Через 2,5 ч В. Через 1

Г. Через 5 ч Д. ________________________

 

3.От одной станции до другой по течению реки лодка плыла 3 часа, а на обратный путь затратила 4 ч. Скорость течения реки 1 км/ч. Составьте уравнение для нахождения собственной скорости лодки, обозначив её через х км/ч.

 

Ответ: _____________________

 

 

 

 

Тема 5. Задачи на совместную работу (ч).

Занятие 17-18. Теория (2ч).

Основные понятия.

Основными компонентами этого типа задач являются:

а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).

 

Обычно объём работы принимают за единицу. В задачах с бассейнами и трубами объём бассейна принимают за единицу.

Производительность работы – это количество работы, выполненной за единицу времени.

Например, если одна труба наполняется за 5 часов, то за 1 час она наполнит

бассейна. Если токарь выполняет задание за 12 дней. То за 1 день он выполнит часть задания.

При решении задач, связанных с выполнением (индивидуально или совместно) определённого объёма работы, используют формулу:

А = Wt, где А – количество всей работы, намеченной к выполнению (часто А принимают за единицу),

W – производительность труда, т.е. количество работы, выполняемой в единицу времени, t- время выполнения всего количества работы.

Если весь объём работы. Принятый за единицу, выполняется одним субъектом за , а вторым – за единиц времени, то производительность труда при их совместном выполнении того же объёма работы равна

= +; = + .

 

2.Решение задач.

Алгоритм решения задач на совместную работу.

1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:

объем работы,

время,

производительность,

которые связаны между собой формулой:

объем работы = производительность время.

2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем за1.

3. Вводим два неизвестных:

х – время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) первым

y - время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) вторым.

(В некоторых задачах «выгоднее» принять за неизвестные производительность)

Тогда

– производительность кого-то (или чего-то) первого

- производительность кого-то (или чего-то) первого

И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно – совместная производительность 

совместная производительнсть равна

Рассмотрим примеры решения задач.

1.Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время ее работы равно 20, следовательно, ее производительность равна .

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда ее производительность равна .

Тогда совместная производительность равна 

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

Решим его:

Ответ: 30

2.Одна из труб может наполнить водой бак на 10 мин. быстрее другой. За какое время может наполнить этот бак каждая труба, если при совместном действии этих труб в течение 8 мин. было заполнено бака?

Решение: пусть одна труба заполняет бак за (х) мин., тогда вторая труба заполнит бак за (х + 10) мин. Составим и решим уравнение:

1) 20 + 10 = 30 мин.

Ответ: первая труба заполнит бак за 20 мин., а вторая – за 30 мин

3.Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15ч. Скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18ч, выполняя зто задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6ч. То и тогда будет выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для выполнения этого задания?

Решение.

Составим таблицу:

 

Получим уравнение:

=

Решая это уравнение, получаем корни 30 и -5 (не подходит по условию задачи). Значит, бригаде слесарей требуется 30 часов для самостоятельного выполнения этого задания, тогда бригаде учеников требуется 45 часов.

Ответ: 45 ч.

4.Двум переводчикам поручили перевести книгу объемом 108 страниц на другой язык. Один переводчик взял себе 58 страниц книги, отдав остальные страницы второму. Первый выполнил свою работу за 29 дней, а второй свою за 20. На сколько страниц меньше должен был взять себе первый переводчик (увеличив число страниц второго), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней?

Решение. Найдем производительность первого переводчика

Производительность второго переводчика

Для того, чтобы они выполнили свою работу одновременно, первый должен взять себе х страниц, а второй (108-x) страниц. Тогда первому для перевода понадобится дней, то есть дней, а второму дня. Так как , то

Имеем, чтобы выполнить работу за одинаковое количество дней, первый переводчик должен взять себе 48 страниц или на (58-48) стр.=10 стр. меньше.

Ответ: 10.

5. Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

Решение. Найдем 35% от 240 га: 240 га ? 35%/100%=84 га. Следовательно, вторая бригада должна была вспахать 240 га+84 га=324 га. Пусть первая бригада вспахивала ежедневно х га. Тогда вторая бригада вспахивала ежедневно (х+3) га; 240/х – время работы первой бригады; 324/(х+3) – время работы второй бригады. По условию задачи первая бригада закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая, поэтому имеем уравнение 324/(x+3)-240/x=2,

которое после преобразовании можно записать так: 324x-240x-720=2x2+6x

2x2-78x+720=0

X2-39x+360=0

Решив квадратное уравнение, находим х1=24, х2=15. Это норма первой бригады. Следовательно, вторая бригада вспахивала в день 27 га и 18 га соответственно. Оба решения удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 24 га в день вспахивала первая бригада, 27 га – вторая; 15 га в день вспахивала первая бригада, 18 га – первая.

Занятие 19. Решение типовых задач на совместную работу. (1ч)

1.Одна из труб может наполнить водой бак на 10 мин. быстрее другой. За какое время может наполнить этот бак каждая труба, если при совместном действии этих труб в течение 8 мин. было заполнено бака?

Решение: Пусть одна труба заполняет бак за (х) мин., тогда вторая труба заполнит бак за (х + 10) мин. Составим и решим уравнение:

1) 20 + 10 = 30 мин.

Ответ: первая труба заполнит бак за 20 мин., а вторая – за 30 м

2.Машинистка начала перепечатывать рукопись книги. Через 4 часа к ней присоединилась вторая машинистка. Проработав 8 часов. Она закончила перепечатку всей рукописи. За сколько часов каждая машинистка может перепечатать всю рукопись, если первой на это требуется на 8 часов больше, чем второй?

Решение.

Пусть первая машинистка перепечатает всю рукопись за х часов, а вторая – за у часов. Тогда за час первая машинистка печатает

часть рукописи, а вторая - часть. Первая машинистка работала 4 +8 =12 часов и напечатала часть рукописи, а вторая работала 8 часов и напечатала

часть рукописи, вместе они напечатали всю рукопись, то есть 1.

=1

у = х – 8

+1;

12х -96 +8х = х(х-8);

- 28х =96 =0;

Если х=24, тоу=16.

Ответ: 24ч. 16ч.

3.Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй – через 2 часа после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 воды, а второй и третий вместе 28.

Какое количество воды выкачает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14?

Решение.

Составим таблицу:

 

Составим систему уравнений:

х + у + х+3 = 14.

Из второго уравнения у = 11 – 2х. Подставляя это выражение в первое уравнение , получим уравнение:

4 - 3х -27 =0,

х=3, х = -2.25( не подходит по условию задачи)

х=3, у-5;

Ответ:3,5,6.

Занятия 20-21. Практикум по решению задач. (2ч) (презентация №4 «Задачи на работу»)

1.Чтобы выполнить задание в срок, токарь дол­жен изготавливать по 24 детали в день. Однако он ежедневно перевыполнял норму на 15 деталей и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?

Решение

Пусть токарь должен был выполнить задание за х дней, тогда всего он должен был сделать 24х дета­лей. Фактически он изготавливал по 24 + 15 = 39 деталей в день и за (х - 6) дней изготовил 39(х - 6) деталей — это количество деталей на 21 больше зап­ланированного. Составим уравнение:

39(х - 6) – 24х = 21,

Х = 17. Токарь изготовил 24 -17 = 408 деталей.

Ответ: 408 деталей.

2.Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада рабо­тала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

Решение задачи можно оформить так:

1)1 : 9 = (задания) — выполнит I бригада за 1 день;

2) • 3 = (задания) — выполнила I бригада за 3 дня;

3) 1 - = (задания) — выполнила II бригада;

4) 1 : 12 = (задания) — выполнит II бригада за 1 день;

5) : = 8 (дней) — работала II бригада;

6) 3 + 8 = 11 (дней) — затрачено на выполнение задания.

Два первых действия можно заменить одним (3 • 9 = ), определив, какую часть работы выполнит I бригада за 3 дня.

3.Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бри­гады, работая вместе?

Решение.

1) 1 : 9 = (задания) — выполняют I и II брига­ды за 1 день;

2) 1 : 18 =(задания) – выполняют II и III бригады за 1 день;

3) 1 : 12 = (задания) – выполняют I и III бригады за 1 день;

4) () : 2 = (задания) – выполняют три бригады за 1 день совместной работы;

5) 1 : = 8 (дней) – время выполнения задания тремя бригадами.

4. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Решение

Заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна 1 (он делает на одну деталь в час больше). Поскольку , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

 

 

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно,  на 1 меньше, чем , то есть

1

.

  110 0

10,   11.

Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их :-) Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10.

Учащиеся, испытывающие затруднения при ана­лизе текста задачи, обычно лучше решают задачи, если использовать таблицу для записи условия, как это делается при решении следующей задачи.

4.Бригада рабочих должна была изготовить оп­ределенное количество деталей за 20 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 70 деталей больше, чем планировалось первоначально. Поэтому уже за 7 дней до срока ей осталось изготовить 140 деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада?

Решение

Пусть по плану бригада должна была изготавли­вать по х деталей в день. Заполним таблицу значений трех величин для двух ситуаций: «по плану» и «фак­тически».

 

 

Так как за 7 дней до срока бригаде осталось изгото­вить 140 деталей, то 20х на 140 больше, чем 13(х + 70).

Составим уравнение:

20х - 13(х+ 70) = 140,

Х=150. Бригада должна изготовить 150-20 = 3000 деталей.

 

5.Двум переводчикам поручили перевести книгу объемом 108 страниц на другой язык. Один переводчик взял себе 58 страниц книги, отдав остальные страницы второму. Первый выполнил свою работу за 29 дней, а второй свою за 20. На сколько страниц меньше должен был взять себе первый переводчик (увеличив число страниц второго), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней?

Решение. Найдем производительность первого переводчика

Производительность второго переводчика

Для того, чтобы они выполнили свою работу одновременно, первый должен взять себе х страниц, а второй (108-x) страниц. Тогда первому для перевода понадобится дней,

то есть дней, а второму дня. Так как , то

Имеем, чтобы выполнить работу за одинаковое количество дней, первый переводчик должен взять себе 48 страниц или на (58-48) стр.=10 стр. меньше.

Ответ: 10.

 

 

Тема 6. Математические задачи из ЕГЭ. (3ч)

Занятия 22-24. Решение задач. (Презентация №5 )

Задачи В12

Задача 1. Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составляла 220 особей. Через год обнаружили ,что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором – на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?

Решение

Пусть Х волков было в 1-ом заповеднике,

тогда (220-х) волков- во 2-ом заповеднике

1,1x+1,2(220-x)=250

-0,1х=250-1,2∙220, 0,1х=-14

-0,1х=-14, х=140

Ответ: 140

Задача 2. Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 30 метров больше его ширины. При утверждении плана застройки выяснилось. Что граница участка проходит по территории водоохраной этому его ширину уменьшили на 30 метров. Найдите длину участка, если после утверждения плана застройки площадь участка составила 2400 .

Решение

(х-20)(х+30)=2400

Х2+10х-3000=0

Х=50

50+30=80

Ответ: 8

Задача 3.Моторная лодка проплыла против течения реки 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин. меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/час.

 

Решение

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Два автомобиля отправляются в 420 – километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость автомобиля, пришедшего к финишу вторым.

Решение

Задача 5. Смешав 70% -й и 60% -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50% - й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг добавили2кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 5 –й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?

Решение

Пусть х кг - 70% раствора, а у кг - 60% раствора, составим систему уравнений:

 

 

 

 

 

Задача 6.Работая вместе, двое рабочих выполнят работу за 12 дней. Первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы, как второй за три дня. За какое количество дней эту работу выполнит первый рабочий?

Решение: Примем за x - ту часть работы, которую выполняет первый рабочий, а за y - часть работы, которую выполняет второй рабочий  за 1 день. В условии задачи выделим два условия:

1) Первый рабочий за два дня выполняет такую же часть работы, как второй за три дня.

2) Работая вместе, двое рабочих выполнят работу за 12 дней.

Из первого условия получим первое уравнение системы:

а из второго:

Выразим из первого уравнения y и подставим во второе:

Из полученного уравнения выразим x:

То есть, первый рабочий за один день выполняет одну двадцатую часть работы. Очевидно, что на выполнение всей работы ему потребуется 20 дней.

Ответ. 20

Занятие 25. Итоговое занятие. Повторение по всему курсу.

Презентация учебных проектов учащихся, защита творческих работ. 

О том, что учащийся должен будет представить учебный проект по теме курса, нужно проинформировать его заблаговременно, познакомив с формами такого рода деятельности. Для того чтобы  урок – презентация получился интересным, виды проектов должны соответствовать уровню и интересам учащихся, а также должны быть интересными по форме и содержанию. Работы могут быть как индивидуальные, так и парные, групповые. Данный урок можно провести в виде конкурса, где победителей определят сами учащиеся.    (Либо иное заключительное занятие по усмотрению учителя.)

Творческие задания.

1.Примеры задач производственного характера, связанные с физикой, химией и другими науками. (Сообщение).

2.Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

3.Задачи с литературными сюжетами.

4.Задачи с историческими сюжетами. (Презентация)

5.Использование примеров окружающей среды. ( Практическая работа).

6.Старинные задачи. Занимательные задачи. (Реферат).

 

Выводы:

Для того, чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения путем многократного повторения операций, действий, составляющих предмет изучения.

Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи.

Помощь учителя не должна быть чрезмерной, но и не быть слишком малой.

Навыки решения текстовых задач формируются на основе осмысленных знаний и умений.

Для формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач «от простого к сложному».

Знания учащихся по математике должны совершенствоваться с решением каждой новой задачи.

Следует добиваться, чтобы осознанные умения и навыки ученики получали при наименьших затратах времени.

Следует учитывать индивидуальные особенности и возможности учащихся.

 

Список литературы для учащихся

1.Апанасов П.Т. Сборник математических задач с практическим содержанием М. 1987г.

2.Вавилов В.В. Задачи по алгебре. М.-2001г.

3.Лурье М.В. Задачи на составление уравнений. М . -1996г.

4.Лоповок Л.П. 1000 проблемных задач по математике. М. 1995г

5.Сканави М.И. Сборник задач по математике. М. 2002 г.

6. Шарыгин И.Ф.. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. Москва «Просвещение» 1991 г.

7.Математика. Подготовка к ЕГЭ -2011: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Ростов-на-Дону:»Легион –М,2010

8.Цыпкин А.Г. Справочное пособие по методам решения задач по математике. М.-1988г.

9 .Фридман Л.М.Как научиться решать задачи. М -1989г.

Список литературы для учителя

1.Антонов Н.П., М.Я. Выгодский, В.В. Никитин, А.И. Санкин. Сборник задач по элементарной математике. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва 1998 г.

2.Апанасов П.Т. Сборник задач с практическим содержанием. М. 1987 г.

3.Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления. Математика в школе. —2003г.

4.Булынин В.А. Применение графических методов при решении текстовых задач. Математика, №14, 2005г.

5. Водинчар М. И., Лайкова, Г. А., Рябова, Ю. К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений. Математика в школе.—2001г. №4.

6.Денищева, Л. О., Миндюк, М. Б., Седова, Б. А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10—11 класс. — М.: 2005г.

7.Крамор В.С.Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. М,1990 Г,

8. Клово А.Г. Мальцев Д.А. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010. НИИ школьных технологий, Москва 2010 г.

9.Математика. ЕГЭ -2012г. Под редакцией Семёнова А.Л. М,2011. Издательство «Экзамен» Москав-2011г.

10.Математика. Подготовка к ЕГЭ -2 012: учебно-методическое пособие /Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Ростов-на-Дону:» Легион –М,2011

11. Математика в школе №№ 4,5 1998г.

12. Попов Н.И. Марасанов А.Н. Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. – Йошкар- Ола, 2003г.

13. Сканави М.И. Сборник задач по математике. М.-2002 г.

14. Цыпкин А.Г.Пособие по методам решения задач с практическим содержанием. М, 1984