Факультативный курс по математике «Логические задачи» (5 класс)

Факультативный курс по математике в 5 классе

Логические задачи.

Пояснительная записка

В соответствии с требованиями, предъявляемыми современной школой, обучение в ней должно ориентироваться на развитие продуктивного, творческого мышления, которое дает возможность самостоятельно приобретать новые знания, применять их в многообразных условиях окружающей действительности. Поэтому развитие творческого мышления учащихся, в процессе изучения ими математики, является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателем математики. Важным принципом развития творческого мышления является специальное формирование как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности. Как известно, творческое мышление предполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и отход от привычных путей мысли, разрешение противоречий между актуализированными знаниями и требованиями проблемной ситуации, оригинальность решений, их своеобразие.

Данный курс по решению логических задач рассчитан на учащихся среднего звена. В этом возрасте у детей еще повышен интерес к обучению, их достаточно легко увлечь чем - то новым и интересным. В своей работе я использую, помимо решения задач, проектно-исследовательские работы. Вовлекая таким образом учащихся в непрерывный процесс обучения. Самостоятельно изучая какую-либо проблему, ученики намного быстрее вникают в суть и усваивают необходимые знания, умения, навыки. Также достаточно объемная и длительная работа над каким-либо проектом не дает учащимся расслабляться и выходить из рабочего ритма. Учащиеся 5-6 классов очень любят старинные задачи и задачи-шутки. Такие задачи можно использовать в качестве устного счета, разминки, в конце урока. Также полезно давать детям задание по составлению задач и обязательно давать их решать классу, что способствует более ответственному отношению к заданиям. Курс рассчитан на 34 часа. В конце каждого полугодия проводится защита исследовательских работ, которые оцениваются по номинациям.

 

Учебно-тематический план курса (34часа)

Основное содержание курса.

Тема 1. Вводное занятие. Основы логики. История развития алгебры и математической логики. Логические задачи для разминки.

Понятие «логическая задача». История возникновения логических задач. Значение логических задач в развитии мышления и приёмы мыслительной деятельности, способствующие развитию умения решать логические задачи. Логические задачи для разминки.

Установочное тестирование для определения уровня развития логического мышления.

Тема 2. Задачи – шутки.

Из истории возникновения задач-шуток. Задачи-шутки. Практическая работа по составлению задач данного типа.

Тема 3. Задачи на логику счета.

Из истории возникновения задач на логику счета. Задачи на логику счета и алгоритм их решения. Задачи данного вида олимпиадного характера. Проведение обучающей самостоятельной работы по группам.

Тема 4. Игра «Головоломки»

Форма проведения занятия – игра соревновательного характера. Математические ребусы и обобщённый алгоритм их решения. Обобщение знаний учеников по задачам-шуткам и задачам на логику счета.

Тема 5. Исследовательская работа «Логика в практике человека».

Основные положения по организации и проведению исследовательской работы. Обработка собранного материала по теме. Проведение творческой самостоятельной работы по группам.

Тема 6. Защита исследовательских работ

Защита исследовательских работ по теме «Логика в практике человека».

Оценка работ по номинациям:

-лучшее содержание;

-лучшее наглядное оформление;

-лучшее изложение и т.д.

Подведение итогов окончания четверти.

Тема 7. Старинные занимательные задачи

Из истории возникновения данного вида задач. Старинные занимательные задачи и алгоритм их решения. Моделирование ситуаций и нахождение путей их решения.

Тема 8. Задачи-загадки

Из истории возникновения задач-загадок. Решение задач данного вида. Выполнение упражнений по составлению задач-загадок (работа в парах).

Тема 9. Затруднительные ситуации

Задачи на затруднительные ситуации и алгоритм их решения (6 ситуаций). Моделирование ситуаций и нахождение путей их решения. Творческая самостоятельная работа в группах по разрешению проблемной ситуации. Защита своих решений.

Тема 10. Контрольное тестирование по итогам 1 полугодия

Проведение контрольного тестирования. Сравнение результатов тестирования с результатами установочного тестирования.

Тема 11. Задачи с практическим содержанием

Виды «практичных» и «непрактичных» задач, алгоритм их решения. Выполнение тренировочных упражнений по решению данного вида задач.

Тема 12. Настоящие логические задачи.

Законы мышления, понятие, суждение. Использование частичного поиска для решения задач на логику мышления. Выполнение упражнений на тему « Логические рассуждения».

Тема 13. Переправы, разъезды, погони.

Задачи на переправы, разъезды, погони, алгоритм их решения. Моделирование ситуаций и нахождение путей их решения. Выполнение творческой самостоятельной работы в группах. Защита своего решения.

Тема 14. Можете ли вы рассуждать логично? Подготовка детей к участию в международном математическом конкурсе «Кенгуру».

Тестирование на логику мышления. Задачи логического характера из сборника заданий международного математического конкурса «Кенгуру» прошлых лет. Практическое занятие по решению данных заданий.

Тема 15. Игра «Лабиринт смекалки»

Форма проведения занятия - игра соревновательного характера. Обобщение и систематизация знаний и умений решения задач изученных видов. Подведение итогов окончания 3 четверти.

Тема 16. Задачи на переливание

Задачи, решаемые на основе осознания исходных данных. Задачи на переливание и алгоритм их решения. Выполнение практических заданий в группах.

Тема 17. Логический детектив

Форма проведения занятия - урок - расследование. Значение логики в профессии людей. Выполнение практических заданий на умение проводить расследования по детективной ситуации. Обучающая самостоятельная работа.

Тема 18. Турнир смекалистых

Форма проведения занятия - турнир детективов. Расследование «Детективных дел», оценка данного расследования. Определение лучшего детектива.

Тема 19. Исследовательская работа «Логика в жизни моей семьи»

Обработка собранного материала по теме «Логика в жизни моей семьи». Проведение творческой самостоятельной работы по группам.

Тема 20. Защита исследовательских работ.

Защита исследовательских работ по теме «Логика в жизни моей семьи».

Оценка работ по номинациям:

-лучшие содержание;

-лучшее наглядное оформление;

-лучшее изложение и т.д.

Подведение итогов окончания изучения курса.

Планируемые результаты обучения

В результате изучения курса учащиеся должны:

-понимать сущность понятия "логическая задача";

-знать алгоритмы решения алгоритмических логических задач и уметь применять их на практике;

-знать алгоритм творческой деятельности по поиску решения неалгоритмических логических задач и уметь применять его на практике;

-уметь выполнять небольшие исследовательские работы, владеть приемами их защиты.

РАЗРАБОТКИ ЗАНЯТИЙ

Тема 1. Вводное занятие. Основы логики. История развития алгебры и математической логики. Логические задачи для разминки.

“Недостаточно иметь хороший ум. Главное – правильно его использовать”

Рене Декарт

Цели:

Образовательная:

закрепить понятия алгебры логики и отработать навыки использования ее для решения задач;

Развивающие:

развивать логическое и творческое мышление учащихся, сообразительность, наблюдательность, интуицию;

формировать активный познавательный интерес к предмету.

Воспитательная:

воспитывать культуру общения на уроке, аккуратность, внимательность и взаимоуважение;

воспитывать умение работать в группе;

воспитывать умение отстаивать свою точку зрения.

Форма урока: нетрадиционная

Занятие проводится в форме круглого стола. Проводится утреннее совещание в “ школе сыска” с названием “Логика и К”

Оборудование: Карточка с задачами, мультимедийный проектор, презентация

ПЛАН УРОКА

I. Оргмомент (сообщается цель, план урока, форма проведения)

Логика и К - Школа сыска

Утреннее совещание

Разоблачение фальшивомонетчика

Задержанный

Кто участвовал в ограблении?

Дело Иванова, Петрова и Сидорова

Ограбление банка

Вывод комиссара Мегре

II. Вводное слово учителя (Приложение 1, приложение 2)

III.Разминка (решение задач с помощью рассуждений)

Предлагаются две задачи: №1 Фальшивомонетчик, №2 Задержанный. Решение данных задач находят ребята путем мозгового штурма: Выдвигают гипотезы и пытаются их доказать. Учитель выступает в роли координатора.

№1 Фальшивомонетчик

Искусный фальшивомонетчик снял копию со стодолларовой купюры и начал печатать фальшивки. Сделанные им копии во всех деталях повторяли оригинал. Но эксперт утверждает, что он совершил единственную ошибку.

Какую ошибку допустил преступник? (Ответ. Преступник сделал копию фальшивой купюры)

№2 Задержанный

Грабитель глубокой зимней ночью забрался в дом. Никто его не видел. Однако уже через несколько часов его задержала полиция.

Как им удалось выследить его? (Ответ. Оставил отпечаток номера машины на сугробе)

III. Основная часть. Решение задач с помощью алгебры высказываний

Водится метод решения задач с помощью алгебры высказываний

Учитель: При решении любой задачи могут быть выделены следующие этапы:

Анализ условия задачи (выделение исходных данных).

Поиск метода решения.

Символическая запись задачи.

Рассуждения и пояснения к решению.

Анализ полученных результатов и запись ответа.

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

средствами алгебры логики;

табличный;

с помощью рассуждений.

Обычно используется следующая схема решения:

изучается условие задачи;

вводится система обозначений для логических высказываний;

конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

определяются значения истинности этой логической формулы;

из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Логические задачи обычно формулируются на естественном языке. В первую очередь их необходимо формализовать, записать на языке алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности подученного логического выражения

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания “не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. (Приложение 3)

НЕ    Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ).   Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. «Луна — спутник Земли» (А); «Луна — не спутник Земли» ().

И    Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Конъюнкцию высказываний А и В обозначают: A & B. Знак & - амперсент - читается как английское «and» (Procter & Gamble или Wash & Go?). Часто встречается обозначение А /\ В. Иногда, для краткости, пишут просто АВ.

ИЛИ    Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом).

Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из этих высказываний.

Дизъюнкцию высказываний А и В мы обозначим символом А V В и будем читать: А или В.

ЕСЛИ-ТО   Операция, выражаемая связками   «если ..., то»,  «из ... следует»,  «... влечет ...»,  называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание   ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно.

РАВНОСИЛЬНО   Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно ...», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком    или  ~.  

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Предлагается 4 задачи для решения. Учащиеся разбиваются на две группы. Каждая группа решает эти задачи в течение12 минут, затем проходит защита данного решения ( используются элементы Математического боя). Организационный момент

Первая команда выставляет докладчика на 1-ю задачу, вторая оппонента. Учитель в роли арбитра. Оценка докладчика: 0-10б, оценка оппонента 0-5б.Затем, при разборе 2-й и последующих задач, происходит смена докладчиков и оппонентов. В конце подводится итог. На разбор каждой задачи не более1-й мин, на доклад и 2-е мин на ответы оппоненту (3 мин) Всего: 12 мин.

Результаты боя заносятся в таблицу, нарисованную на доске:

№3 Кто участвовал в ограблении?

Если А участвовал, то и В участвовал;

Если В участвовал, то и С участвовал, или А не участвовал;

Если Д не участвовал, то А участвовал, а С не участвовал;

Если Д участвовал, то А участвовал.

Решение: Записываем условие на языке алгебры логики.

А→ В

В→(С ٧┐А)

┐Д →(А&┐C)

Д→А

Используем : Конъюнкция истинных высказываний – истинное высказывание

(А→ В) &( В→(С ٧┐А) ) &(┐Д →(А&┐C))&( Д→А) = 1

Известно, импликацию можно выразить через  дизъюнкцию  и  отрицание:

А В = v В. 

Значит,

(┐А+В)( ┐В+С+ ┐А)( Д+А┐C)( ┐Д + А) = 1

Упрощаем логическое выражение:

(┐А┐В +┐АС +┐А┐А + В┐В+ ВС+В┐А)( Д┐Д +АД + А┐Д┐С + ┐ААС) = (┐А┐В+ ┐АС + ┐А+ ВС+В┐А)( АД+ А┐Д┐С) = 1

Используем законы поглощения:

(┐А +ВС)( АД+ А┐Д┐С) = ┐ААД +┐АА┐Д┐С + ВСАД + ВСА┐Д┐С = АВСД = 1

Ответ: Преступление совершили А, В, С, Д.

№ 4 Дело Иванова, Петрова и Сидорова

В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.

Иванов: Я не делал этого. Петров не делал этого.

Петров: Иванов не делал этого. Сидоров не сделал это.

Сидоров: Я не делал этого. Петров сделал это.

Было установлено далее, что каждый из них только один раз сказал правду.

Кто совершил преступление?

Решение:

Иванов: ┐И&П ٧ И&┐П Петров: ┐И&С ٧ И&┐С Сидоров: ┐С&┐П ٧ С&П

(┐И&П ٧ И&┐П)&( ┐И&С ٧ И&┐С)&( ┐С&┐П ٧ С&П) = 1

(┐И&П&┐И&С ٧┐И&П& И&┐С٧ И&┐П&┐И&С٧ И&┐П & И&┐С) &( ┐С&┐П ٧ С&П) = (┐И&П&С ٧ И&┐П & ┐С)& ( ┐С&┐П ٧ С&П)= ┐И&П&С&┐С&┐П ٧ ┐И&П&С& С&П٧ И&┐П & ┐С& ┐С&┐П ٧ И&┐П & ┐С &С&П = 0+ ┐И&П&С + И&┐П & ┐С+ 0 = ┐И&П&С + И&┐П & ┐С = 1

Ответ: Преступление совершили либо Петров и Сидоров, либо Иванов.

№ 5 Ограбление банка

Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

Решение: Запишем простые высказывания:

А = { машина марки «Бьюик»}

B = { машина марки «Крайслер»}

C = { машина марки «Форд Мустанг»}

D = { машина синего цвета}

F = { машина черного цвета}

Тогда можно записать: (А┐D+ ┐AD)(B┐F+┐BF)(CD+┐C┐D) = 1

Упростим выражение: (B┐F+┐BF)( А┐D CD + А┐D┐C┐D+┐AD CD +┐AD┐C┐D)=

(B┐F+┐BF) (0+ А┐D┐C+ ┐AD C+0)= ┐AD C B┐F + ┐AD C┐BF + А┐D┐C B┐F + А┐D┐C┐BF = ┐AD C B┐F+┐AD C┐BF+ А┐D┐C B┐F+ А┐D┐C┐BF

Учитывая, что одна машина не может иметь две марки и два цвета, получаем:

А┐D┐C┐BF

Ответ: черный «Бьюик».

№ 6 Какой вывод сделал комиссар Мегре?

«Вернувшись домой, Мегре позвонил на набережную Орфевр.

Говорит Мегре. Есть новости?

Да, шеф. Поступили сообщения от инспекторов. Торранс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Жуссье считает, что или Этьен убийца или Франсуа не был пьян и убийство произошло после полуночи. Инспектор Люка просил передать Вам, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет. Затем звонила…

Все. Спасибо. Этого достаточно. Комиссар положил трубку. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все».

Решение.

Запишем простые высказывания:

А = { Франсуа пьян}

B = { Этьен убийца }

C = { Франсуа лжет }

D = { убийство произошло после полуночи }

Торранс: A→(B+C) = ┐A+B+C =1

Жуссье: (B+ ┐A)D = BD+ ┐AD =1

Инспектор Люка: D→(B+C) = ┐D+ B+C =1

(┐A+B+C)( BD+ ┐AD)( ┐D+ B+C) = 1

(BD┐A + BD B + BD C+ ┐AD┐A + ┐AD B + ┐ADC)( ┐D+ B+C)= 1

Применяя закон поглощения: (┐AD+BD) ( ┐D+ B+C)= ┐AD┐D + ┐ADB +┐ADC+ BD┐D + BDD+ BDC= ┐ADB + ┐ADC+BD+ BDC= BD+ ┐ADC

Известно, что трезвый Франсуа никогда не лжет, значит ┐ADC=0

Итак, BD=1

Ответ: Этьен убийца и убийство произошло после полуночи

IV. Домашнее задание №7 Кто разбил стекло? -1 мин

В школе кто-то разбил стекло. Подозреваются Леня, Дима, Толя и Миша. Каждый из них дал показания. Леня: Я не виновен. Я даже не подходил к окну. Миша знает, кто это сделал. Дима: Я не разбивал. С Мишей я не был знаком до школы. Это сделал Толя. Толя: Я не виновен. Это сделал Миша. Дима врет, что я разбил. Миша: Я не виновен. Стекло разбил Леня. Дима может поручиться за меня, т.к. знает меня очень давно. Потом каждый из них признался, что дал два верных и одно ложное показание При решении нужно учесть, что виновным был только один мальчик.

V. Итог урока Итоги совещания - 2 мин

Решение логических задач средствами алгебры логики

Алгебра высказываний позволяет научиться моделировать простейшие мыслительные процессы.

«Методы эти позволяют Вам обрести ясность мысли, способность находить собственное оригинальное решение трудных задач, вырабатывают у Вас привычку к систематическому мышлению и, что особенно ценно, умение обнаруживать логические ошибки, изъяны и пробелы тех, кто не пытался овладеть привлекательным искусством логики. Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вас», – Льюис Кэрролл (псевдоним Чарльза Лютвиджа Доджсона (1832–1898)) – известный английский математик и литератор

Тема 2. Задачи – шутки.

Цели: Способствовать привитию познавательного интереса к математике.

Развивать логическое мышление, память, внимание, воображение. Работать над развитием творческих способностей учащихся.

Задачи: Научить решать задачи логического содержания. Научить решать задачи нестандартного характера. Содействовать общему развитию учащихся, формированию умения сравнивать, обобщать, делать выводы. Задача 1. Снесли вместе 7 стожков сена и 11 стожков. Сколько стожков получилось? Ответ Получился один стог. Задача 2 .У мальчика сестер столько же, сколько и братьев. Но у каждой сестры братьев в 2 раза больше, чем сестер. Сколько всего детей в семье? Сколько из них мальчиков и сколько девочек? Ответ: 7 детей: 4 мальчика и 3 девочки. Задача 3. Электропоезд едет с востока на запад. Набрав скорость, поезд делает 60 км/ч. В том же направлении – с востока на запад – дует ветер, но со скоростью 50 км/ч. В какую сторону относит дым поезда? Ответ Ни в какую. Электропоезд не дает дыма. Задача 4. Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице? Ответ Две ноги мельника, ибо у кошек и котят не ноги, а лапы. Задача 5. Как можно одним мешком пшеницы, смоловши ее, наполнить два мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница? Ответ Надо один из пустых мешков вложить в другой такой же, а затем в него насыпать смолотую пшеницу. Задача 6. Летели утки: одна впреди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток? Ответ Всего летело 3 утки, одна за другой. Задача7. Два отца и два сына поймали 3 зайцев, а досталось каждому по 1 зайцу. Спрашивается, как это могло случиться? Ответ Это были дед, его сын и внук. Задача 8. Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги схватили три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну? Ответ Повар сидел на стуле, имеющем 3 ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу. Задача 9. Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а при ходьбе только четыре? Ответ Всадник на лошади. Задача 10. На столе лежат две монеты, в сумме они дают 3 рубля. Одна из них - не 1 рубль. Какие это монеты? Ответ: 2 рубля и 1 рубль. Одна то не 1 рубль, а вот другая - 1 рубль.

Задача 11. Один оборот вокруг Земли спутник делает за 1 ч 40 минут, а другой - за 100 минут. Как это может быть?

Ответ: 1 ч 40 мин = 100 мин

Задача 12. Химик обнаружил, что некоторая реакция протекает в течение 80 минут, если он в пиджаке. Если же он без пиджака, то та же самая реакция протекает за 1 час 20 минут. Как вы это объясните?

Ответ: 80 минут равны 1 часу 20 минутам.

Задача13. Если пять кошек ловят пять мышей за пять минут, то сколько времени нужно одной кошке, чтобы поймать одну мышку?

Ответ: Пять.

Задача 14. Сколько месяцев в году имеют 28 дней?

Ответ: Все 12, т.к. если в месяце 30 дней, то и 28 дней среди них есть.

Задача 15. Как может брошенное яйцо пролететь три метра и не разбиться?

Ответ: Главное бросать его так, чтобы оно летело больше 3 метров, тогда оно разобьется не когда пролетит 3м, а когда упадет.

Задача 16. Что становится больше, если его поставить вверх ногами?

Ответ: Уровень песка в песочных часах.

Задача 17. На столе лежат три карандаша разной длины. Как удалить из середины самый длинный карандаш, не трогая его?

Ответ: Переложить один из тех, что короче.

Задача 18. Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 ч. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

Ответ: 2 землекопа.

Задача 19.Будем условно считать, что если человек не будет семь суток есть или семь суток спать, то он умрет. Пусть человек неделю не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток: поесть или поспать, чтобы остаться в живых?

Ответ: Человек не может одновременно и спать и есть. Поэтому срок в семь суток после сна и после еды наступает в разное время. Человек должен сделать то, что неделю назад делал раньше: спал или ел.

Задача 20. Два человека играли в шашки. Каждый сыграл по пять партий и выграл по пять раз. Это возможно?

Ответ: Да, т.к. и проиграл тоже 5. Вничью они играли. Также возможно, что они играли не друг с другом.

Практическое задание: Составить задачи-шутки.

Тема 3. Задачи на логику счета

Цель урока: познакомить учащихся с методом решения задач на логику счета

Задачи урока: знакомство учащихся с понятием решения логических задач на счет; развитие логического мышления учащихся, памяти, внимания, работа над повышением знаний основных понятий и законов математики, достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике.

Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов.

Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнем палеолите.

С распространением счёта на крупные количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Принцип именования или изображения числа («нумерация») может быть:

аддитивным (один+на+дцать, XXX = 30)

субтрактивным (IX, девя-но-сто)

мультипликативным (пять*десят, три*ста)

Счётное устройство инков

Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. д. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.

Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до десяти, а также десятков и числа 100 в индоевропейских языках сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения: 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки), а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление восходит к счёту по пальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками.

Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятеричную систему. А туземцы островов Торресова пролива — двоичную:

Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3); Окоза-Окоза (4) Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-Окоза(6)

Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число — это идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). Для счёта нужно иметь математические модели таких важных событий, как объединение нескольких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно.

Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление. Делить на 10 частей сложно, поэтому десятичные дроби, удобные в сложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартной дробью была унция (1/12). Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем: 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда и т. д.

Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они обычно получали названия схожих с ними реальных предметов: например, у греков «ромбос» означает волчок, «трапедсион» — столик (трапеция), «сфера» — мяч.

Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержала ошибки: характерным примером является ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Это неудивительно: измерительным инструментом служила мерная верёвка с узлами или пометками, так что измерить периметр можно было без труда, а для определения площади в общем случае ни инструментов, ни математических методов не было. Измерения служили важнейшим применением дробных чисел и источником развития их теории.(приложение4)

Задача 1. Это число 2 раза меньше, чем наименьшее трёхзначное число. От полученного числа вычисли самое маленькое двузначное число. Найдите это число.

Ответ: Наименьшее трёхзначное число - это 100. 2 раза меньше от 100 - это 50 (100:2=50). С этого числа вычитаем самое маленькое двузначное число. 10. Решение: 50-10=49.

Задача 2. Бабушке Ани 70 лет, мама в 2 раза моложе бабушки, а Аня на 26 лет моложе мамы. Сколько лет Ани?

Ответ: Бабушке Ани 70 лет. Мама в 2 раза моложе её. Решение: 70:2=35. Аня на 26 лет моложе мамы. Для того чтобы узнать, сколько лет Ани, от количества возраста матери отнимаем разницу в возрасте. Решение: 35-26=9(лет).

Задача 3. Найдите наименьшее число, которое делится на 41, а при делении на 39 дает в остатке 24.

Решение: Пусть n – некоторое число, делящееся на 41, тогда:

n=41m=39m+2m

Отсюда видно, что наименьшее число n, удовлетворяющее заданным условиям, получается при m=12. Итак, искомое число равно 492.

Задача 4. К числу 319572 приписать справа три цифры, которые не входят в данное число, и зачеркнуть две цифры так, чтобы получилось наибольшее число.

Решение: Независимо от приписанных цифр и их порядка, для того, чтобы полученное в результате число было наибольшим, зачеркнуть надо первые две цифры. Из цифр 0; 4; 6; 8, не входящих в данное число, надо взять 8; 6; 4 и приписать их в указанном порядке. Таким образом, в результате получится наибольшее возможное число 9572864.

Задача 5. Найдите четырехзначное число а43в кратное 45.

Решение: Если число кратно 45, то оно кратно 5 и 9. Значит в=5 или в=0, по признаку делимости на 5, следовательно, числа могут иметь вид: а430 или а435. По признаку делимости на 9имеем числа 6435 и 2430.

Задача 6. Барон Мюнхгаузен утверждал, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Докажите, что он, как всегда, сказал неправду.

Решение: Чтобы проверить утверждение, разложим число 6552 на простые множители. Получим:

Так как число 13 простое, то его нельзя представить в виде произведения однозначных множителей, и само оно не цифра. Значит Мюнхгаузен как всегда врал.

Задача 7. М.В.Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%.

Решение:

До повышения цен: денежка = хлеб + квас.

После повышения цен: денежка = (0,5 хлеба +квас) ·1,2

Из этих уравнений: 2хлеба = квас

Выразим денежку через квас: денежка = 1,5 кваса.

После второго повышения цен: квас ·1,2·1,2=1,44 кваса.

Значит, денежки хвати на квас.

Задача 8. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 мин., мама – за 2 мин., малыш – за 5 мин., бабушка – за 10 мин. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 мин.? (Двигаться по мосту без фонарика, светить издали, бросать фонарик или носить друг друга на руках нельзя.)

Решение:

Задача 9. К числу 60 припишите две цифры справа и слева так, чтобы полученное число делилось на 1977.

Решение:

166068:1977=84

336090:1977=170

686019:1977=347

856041:1977=433

Задача 10. Петя перемножил числа от одного до пятидесяти. Сколькими нулями оканчивается полученное произведение.

Ответ: 12 нулей

Тема 4. Игра «Головоломки»(приложение 5)

Тема 7. Старинные занимательные задачи

Из первых известных письменных источников узнаем мы о том, что математические знания на Руси были распространены уже в X-XI веках.

Они были связаны, естественно, с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости стада, определением прибыли от сбора урожая и т. д.

"А полбы немолоченые 15 копен, а на то прибытка на одно лето 7 копен, а на всю 12 лет в той полбе прибытка 1000, 700 и 50 копен".

Эти строки взяты из статьи "О полбе немолоченой" одного из ранних рукописных исторических документов - "Русской Правды" - первого из дошедших до нашего времени сборника русских законов.

Судя по всему, подсчет "прибытка" в этой статье основан на предположении, что каждый год в течение 12 лет вся собранная в предыдущий год полба высевается, что каждый раз полученный урожай составляет несколько меньше, чем 3/2 посеянной полбы, и что все вычисления ведутся в целых числах.

Другое дошедшее до нас наиболее древнее русское математическое произведение "Учение им же ведати человеку числа всех лет" принадлежит новгородскому монаху Кирику и посвящено календарным расчетам. Как известно, даты ряда церковных праздников непостоянны. От года к году они определяются по довольно сложным правилам, связанным с движениями солнца и луны. Вычисление дня пасхи (с этим церковным праздником жестко связаны даты других праздников церковного календаря) представляет поэтому непростую математическую задачу. В начале "учения" указывается, что написано оно в 6644 г. от "сотворения мира" (в 1136 г. по принятому сейчас у нас летоисчислению) и что от "сотворения мира" прошло 79 728 месяцев или 346673-недели или 2426721 день или 29120652 дневных часа и столько же ночных. После этого сообщается, как вычислить так называемые "солнечный", "лунный" и "великий" круги и, наконец, указывается, на какой из дней приходится праздник пасхи в текущем году.

В XVI-XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература (этого требуют межевание и измерение земель, система податного обложения, градостроительство и военное дело, развивающиеся торговые отношения внутри страны и торговля с другими государствами). В настоящее время известно значительное количество математических рукописей XVII века. В основном они предназначались для купцов, торговцев, чиновников, ремесленников, землемеров и носили сугубо практический характер. Материал их распределялся по "статьям", содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись разнообразными примерами и задачами. Некоторые из этих задач интересны либо своей формулировкой, либо способом решения. Многие из них перешли в учебники по арифметике и алгебре XVIII века, некоторые сохранились и до нашего времени.

Рукописи XVI- XVII веков сыграли большую роль в распространении математических и практических знаний. Они явились той основой, на которой создавалась учебная литература XVIII века.

Задача 1. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел овцу в три часа. Узнай, за сколько они все вместе ту овцу съедят?

Ответ: за 6/11 часа

Задача 2. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет ту же кадь?

Ответ: за 35 дней.

Задача 3. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?

Ответ: за 15 минут

Задача 4. Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев и я буду в 5 раз богаче тебя». Другой отвечает: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько у каждого?

Ответ: У первого 7 динариев, у второго 9динариев.

Задача 5.

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты подскажешь,

Обезьян там было в роще?

Ответ: 16 или 48 обезьян

Задача 6. Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров». Вторая ответила: «А будь у меня твои яйца, я выручила бы за них 6 2/3 крейцера». Сколько яиц было у каждой?

Ответ: 40 и 60

Задача 7. Вдова обязана оставшееся после мужа наследство в 3500 рублей разделить с ребенком, который должен родиться. Если это будет сын, то мать по римским законам получает половину сыновней доли. Если родится дочь, то мать получит двойную долю дочери. Но случилось так, что родились близнецы – сын и дочь. Как следует разделить наследство, чтобы были выполнены все требования закона?

Ответ: Матери – 1000 руб., сыну 2000 руб., дочери – 500 руб.

Задача 8. Четыре плотника у некоего купца нанялись двор ставить. И говорит первый плотник так: «только бы мне одному тот двор ставить, я бы его в один год поставил». А другой молвил: «А я бы его в одиночку-то в два года поставил». А третий признался, что сделал бы его в три года. Ну а четвертый вздохнул и сказал «Я бы, пожалуй, в 4 года с этим справился». Сколь долго они вчетвером тот двор ставили?

Ответ: за 12/25 года

Задача 9. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий больше второго, четвертый больше третьего, пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз больше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Ответ: первому – 1 меру, второму – 10 мер, третьему – 20 мер, четвертому – 29 мер, пятому – 38 мер.

Задача 10.

Есть кадамба цветок. На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Всё летала то взад то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови мне теперь, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Ответ: 15 пчел

Тема 8. Задачи-загадки

К серой цапле на урок

Прилетело семь сорок,

А из них лишь три сороки

Приготовили уроки.

Сколько лодырей-сорок

Прилетело на урок?

(Четыре)

Если Грушам дать по груше,

То одна в избытке груша,

Если дать по паре груш,

То не хватит пары груш.

Сколько Груш и сколько груш?

(3 Груши, 4 груши.)

К двум зайчатам в час обеда

Прискакали три соседа.

В огороде зайцы сели

И по три морковки съели.

Кто считать, ребята, ловок?

Сколько съедено морковок?

(15)

Я, Сережа, Коля, Ванда -

Волейбольная команда.

Женя с Игорем пока -

Запасных два игрока.

А когда подучатся -

Сколько нас получится?

(6)

Задали детям

В школе урок:

Прыгало в поле

40 сорок,

10 взлетели,

Сели на ели.

Сколько осталось

В поле сорок?

(30)

Сидят рыбаки,

Стерегут поплавки.

Рыбак Корней поймал 13 окуней,

Рыбак Евсей - четырех карасей,

А рыбак Михаил

Двух сомов изловил.

Сколько рыб рыбаки

Натаскали из реки?

(19)

Шесть веселых медвежат

За малиной в лес спешат.

Но один малыш устал:

От товарищей отстал.

А теперь ответ найди :

Сколько мишек впереди?

(5)

Ежик по лесу шел,

На обед грибы нашел:

Два - под березой,

Один - у осины,

Сколько их будет

В плетеной корзине?

(3)

В нашем классе два Ивана,

Две Татьяны, два Степана,

Три Катюши, три Галины,

Пять Андреев, три Полины,

Восемь Львов, четыре Саши,

Пять Ирин и две Наташи

И всего один Виталий.

Сколько всех вы насчитали?

(40 человек)

Вот отметки по контрольной:

Получили "пять" все Саши,

Иры, Кати и Наташи.

По "четверке" Тани, Гали,

Левы, Поли и Виталий.

Остальные все Иваны,

Все Андреи и Степаны

Получили только "тройки".

А кому достались "двойки"?

(Никому)

У утенка день рожденья,

Игры, танцы, угощенья.

В гости все друзья пришли

И подарки принесли.

Мячик подарил баран.

Ослик - звонкий барабан.

А подарок от зайчишки?

Не морковка, а две книжки.

Все подарки хороши,

Рад утенок от души.

Стал подарки он считать

И решил: их ровно пять.

Посчитай и дай ответ,

Он ошибся или нет?

(Ошибся, 4 подарка.)

Решила старушка ватрушки испечь.

Поставила тесто да печь затопила.

Решила старушка ватрушки испечь,

А сколько их надо — совсем позабыла.

Две штучки — для внучки,

Две штучки — для деда,

Две штучки — для Тани,

Дочурки соседа...

Считала, считала, да сбилась,

А печь-то совсем протопилась!

Помоги старушке сосчитать ватрушки.

(6 ватрушек)

Зарыл пират под пальмой клад.

Теперь пират совсем не рад.

Очень долго вспоминал,

Где же клад он закопал:

Слишком много пальм вокруг

Насчитал аж десять штук.

Он не мог ни есть, ни спать,

Лишь копать, копать, копать.

Лопата валится из рук,

Как избавиться от мук?

Вырыл целых восемь ям

И свалился в яму сам.

И заплакал: "Что за жалость!

Сколько ж ям копать осталось?"

(2 ямы)

Прилетели галки,

Сели на палки.

Если на каждой палке

Сядет по одной галке,

То для одной галки

Не хватит палки.

Если же на каждой палке

Сядет по две галки,

То одна из палок

Будет без галок.

Сколько было галок?

Сколько было палок?

(4 галки и 3 палки)

Для потехи детворы,

Для веселья, для игры

Клоун надувал шары.

Красный - будто бы фонарик,

Цвета неба синий шарик,

А зеленый - как лужок,

Желтый - солнышка кружок,

Белый - свеженький снежок.

Всем хватило ли, дружок?

Очень скоро детвора

Потеряла два шара:

Поиграли полчаса

И пустили в небеса.

Веселятся малыши,

Ты ж подумай и реши:

Сколько шариков осталось,

Сколько в небо не умчалось?

(3 шарика)

Три кошки купили сапожки

По паре на каждую кошку.

Сколько у кошек ножек

И сколько у них сапожек?

(12 ножек и 6 сапожек)

Лебеди у нас в пруду,

Я поближе подойду:

9 чёрных, белых 5.

Кто успел их сосчитать?

Говорите поскорей:

Сколько пар лебедей?

(7 пар)

Белка, ёжик и енот,

Волк, лиса, малышка крот

Были дружные соседи.

На пирог пришли к медведю.

Вы, ребята, не зевайте:

Сколько всех зверей, считайте.

(7)

Белочка грибы сушила,

Только посчитать забыла.

Белых было 25,

Да ещё масляток 5,

7 груздей и 2 лисички,

Очень рыженьких сестрички.

У кого ответ готов?

Сколько было всех грибов?

(39)

Принесла коза для деток

Со двора 16 веток,

Положила на пол их.

Как делить на четверых?

(По 4 ветки)

В зоопарке я бывала,

Обезьянок там видала:

Три сидели на песке,

Две качались на доске,

А ещё три спинки грели.

Сосчитать вы всех успели?

Сколько насекомых в воздухе кружат?

Сколько насекомых в ухо мне жужжат?

Два жука и две пчелы,

Мухи две, две стрекозы,

Две осы, два комара.

Называть ответ пора.

(12)

Именины у синицы, гости собрались.

Сосчитай-ка их скорее да не ошибись.

Птичек дружная семья:

Три весёлых воробья,

Три вороны, три сороки –

Чёрно-белых белобоки,

Три стрижа и дятлов три.

Сколько всех их, назови?

(15)

Литература.

1.Бахтина Т.П. «Готовимся к олимпиадам, турнирам и математическим боям», Минск, 2003г

2.Гаврилова Т.Д. «Занимательная математика», Волгоград, 2005г

4.Заболотнева Н.В. «Олимпиадные задания по математике», Волгоград, 2006г

5.Игнатьева Е.И. «В царстве смекалки»- М. 1982 г.

6.Кармакова Т.С., Сташко О.В. «Логические задачи», М. 2001 г.

7.Курбатов В.И. « Как развить свое логическое мышление.»- М. «Зевс», 1997 г.

8.Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. «Старинные занимательные задачи» - М. 1988 г.

9.Ремчукова И.Б. Игровые технологии на уроках математики», Волгоград, 2006г

10.Смаллиана Р. «Принцесса или тигр» - М. 1985 г.

11. Фарков А.В. «Математические олимпиады», М.2004г

12. Штейнгауз Г. «Сто задач» - М. 1982 г