Физическая (механическая) интерпретация производной

Сегодня наиболее перспективным и соответствующим социально-экономическим, психологическим условиям является проблемное обучение.

Под проблемным обучением обычно понимается такая организация учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению.

Урок по теме «Физический (механический) смысл производной»

Технология проблемного обучения. (слайд 1)

Предмет «Математика».

Класс 10.

Цели: (слайд 2)

образовательные:

формирование понятий механического смысла производной;

рассмотреть использование механического смысла производной для решения физических задач,

установить связи физических величин с понятием производной,

ознакомление учащихся с некоторыми историческими сведениями;

развивающие:

развитие мышления учащихся, развитие математической речи;

развитие мотивационной сферы личности;

развитие исследовательских способностей.

воспитательные:

воспитание настойчивости при решение проблемы;

способствование формированию сотруднических отношений в классе при решение проблемы.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы: проблемный, объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, исследовательский.

Формы познавательной деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная.

Структура урока:

Организационный этап. (1мин)

Актуализация опорных знаний и их коррекция. (3мин)

Заслушивание выступления докладчика. (3мин)

Изучение новых знаний и способов деятельности. (24мин)

Первичная проверка понимания изученного. (8мин)

Подведение итогов занятия. (3мин)

Информация о домашнем задании. (1мин)

Рефлексия.(2мин)Ход урока:

Здравствуйте, садитесь. Тема нашего урока: «Механический смысл производной».

Записав тему урока, ученики вместе с учителем повторяют основные правила дифференцирования функций: (слайд 3)

и ;

, где С-число;

и ;

;

;

.

Далее, учащимся в парах (можно вместе сидящим за одной партой) предлагается решить один из примеров, записанных на доске ( учитель заранее готовит доску ).

Под каждым номером примера находится соответствующая буква. Решив его, ученики заполняют ячейку таблицы, нарисованной на доске учителем. И в результате они получают имя и фамилию известного французского математика Огюстена Луи Коши, доказавшего теоремы, которыми мы пользуемся при вычислении производной.

Получается ответ:

3этап. После выполнения вышеуказанного задания, к доске выходит ученик с докладом на заданную ему заранее учителем тему «Огюстен Луи Коши – великий французский математик». (слайд 4)

4 этап. Оглашаются цели урока:

Ввести понятие механического смысла производной;

рассмотреть использование механического смысла производной для решения физических задач,

установить связи физических величин с понятием производной.

Учитель разъясняет механический(физический смысл) производной.

1. При равномерном прямолинейном движении , ; при неравномерном движении: , .

2. При равномерном движении по окружности , при неравномерном движении: .

3. При постоянном токе , при переменном токе .

4. Рассмотрим формулу , Q – количество теплоты, m – масса, Δt – разность температур, c – удельная теплоемкость. Для , . Для изменяющейся температуры .

После объяснения материала учителем, ученикам предоставляется самостоятельная работа «Проверь себя».

Эта работа состоит из трех частей: часть А – не сложное задание, часть В – задание средней сложности, часть С – задание повышенной трудности.

Часть А – это тестовое задание, в котором нужно выбрать правильный ответ.

Часть А:

1. В чем сущность физического смысла ?

А) скорость;

Б) ускорение;

В) время;

Г) свободное падение.

2. Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени ?

А) 15; Б) 12; В) 9; Г) 3.

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой . Назовите формулу ускорения.

А) ; Б) ; В) ; Г) .

4. Тело движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени t ее скорость будет равна нулю?

А) 1 и 3; Б) 1 и 4; В) 2; Г) 2 и 0.

5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле . Чему равно ускорение тела в момент времени ?

А) 17; Б) 32; В) 16; Г) 30.

Ответы: (учитель открывает доску, на которой заранее заготовлена таблица с ответами для части А)

Часть В – это задача, связанная с механическим смыслом производной. Ученикам нужно решить данную задачу в тетрадях. Потом у доски один из учеников записывает ее решение и ответ, а остальные обучающиеся сравнивают со своими результатами.

Часть В:

Задача: Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол . Найдите: а) угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени ; б) такой момент времени, когда маховик остановится. (φ(t) – угол в радианах, t – время в секундах.)

Ответ:

а) (рад/сек),

(рад/сек).

б) ,

,

(сек).

Проконтролируйте верность своего решения у соседа по парте.

Учащимся предлагается следующее задание – задание части С:

Часть С – это задача повышенной трудности.

Учитель: Предлагаю вам устно проанализировать решение этой задачи. Попытайтесь объяснить, по какому принципу можно провести решение.

Можно ли описать движение верхнего конца лестницы по формуле квадратичной функции, так как так как движение равноускоренное?

Можно ли найти время t, когда верхний конец будет находиться на высоте 2м?

Можно ли привести геометрическое решение для выражения катета прямоугольного треугольника?

Можно ли найти скорость удаления от стены нижнего конца лестницы, используя механический смысл производной?

Итак, у нас возникла проблема: Как решить задание части С? (слайд 5)

Ваши предложения.

Возникает предположение у учащихся (гипотеза): если можно задачу подобного типа путем преобразований привести к задаче типа В, которое уже является простейшим, и которое мы умеем решать, то решение очевидное. (формулируется учащимися, или учителем и учащимися, при затруднении последних). (слайд 6)

(Замечание: эта гипотеза может возникнуть в результате решения задания В).

Далее, решается задание части С с использованием гипотезы, что и является в некотором роде ее практическим доказательством.

Задание части С.

Лестница длиной L=5 м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?

Решение:

Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте , а нижний на расстоянии от стенки.

Высота описывается формулой: , так как движение равноускоренное.

В момент времени t: , т.е. , из которого .

В этот момент по теореме Пифагора, т.е.

.

Скорость его изменения получается:

Ответ: .

Ученики решают данную задачу у себя в тетрадях. После истечения некоторого времени один из учеников записывает ее решение и ответ на доске. Остальные обучающиеся сравнивают свои результаты.

Закончить решение можно общим выводом: решение любого сложного задания сводится к алгоритму решения простейшего. (слайд 7)

5 этап. Предлагается решить уравнение: №210 (6).

Далее предлагается решить уравнение №211(2) самостоятельно, предварительно побеседовав с учащимися о способе решения. Через пять минут учитель просит одного из учащихся сказать получившийся у него ответ, другие учащиеся проверяют правильность своего ответа.

6этап. Итак, итоги урока: мы должны были понять, что физический смысл производной есть скорость изменения функции; использовали механический смысл производной для решения физических задач; научились устанавливать связи физических величин с понятием производной; слаженней работать в коллективе, а также индивидуально, что в дальнейшем поможет вам саморазвиваться и самообучаться.

7этап. Запишите домашнее задание: §12, №209(1,2), №210(3), 211(1,4). (слайд 8)

Учитель комментирует домашнее задание.

8этап. Рефлексия. (слайд 9)

Учитель: Подумайте, все ли вы сегодня поняли на уроке и почему?

Если что-то было не понятно, то почему?

Все ли вы усилия приложили, чтобы понять новый материал?

Доволен ли каждый из вас своей работой на уроке?

На данные вопросы можно побеседовать с учащимися.

Приложение 1. Историческая справка.

Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж — 23 мая 1857, Со, Франция) — великий французский математик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.

Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики. Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

Биография

Родился в семье чиновника, глубоко верующего монархиста. Учился в Политехнической школе (1805), затем перешёл в парижскую Школу мостов и дорог (1807). По окончании школы стал инженером путей сообщения в Шербуре. Здесь он начал самостоятельные математические исследования.

В 1811—1812 годах Коши представил Парижской академии несколько работ. В 1813 году возвращается в Париж, продолжает математические исследования.

С 1816 года Коши специальным королевским указом назначен членом Академии (вместо изгнанного Монжа). Мемуар Коши по теории волн на поверхности тяжёлой жидкости получает первую премию на математическом конкурсе, и Коши приглашён преподавать в Политехническую школу.

1818: женился на Алоизе де Бюр. У них родились две дочери.

1821: опубликован труд «Алгебраический анализ» по основаниям анализа.

1830: после июльской революции Коши был вынужден в силу своих клерикально-роялистских настроений отправиться вместе с Бурбонами в эмиграцию. Он жил преимущественно в Турине и Праге, будучи некоторое время воспитателем герцога Бордосского, внука Карла X, за что был произведён изгнанным королём в бароны.

1836: умер Карл X, и присяга ему потеряла силу. В 1838 году Коши вернулся в Париж, но не пожелал из-за своей неприязни к новому режиму занять никаких государственных должностей. Он ограничился преподаванием в иезуитском колледже. Только после новой революции (1848) он получил место в Сорбонне, хотя и не принёс присяги; Наполеон III оставил его в этой должности в 1852 году.

Научная деятельность

Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов. Его работы относятся к различным областям математики (преимущественно к математическому анализу) и математической физики.

Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа —пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда и т. д. Ввёл понятие радиуса сходимости ряда. Курсы анализа Коши, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени.

Коши много работал в области комплексного анализа, в частности, создал теорию интегральных вычетов. В математической физике глубоко изучил краевую задачу с начальными условиями, которая с тех пор называется «задача Коши».

Коши заложил основы математической теории упругости. Он рассматривал тело как сплошную среду и вывел систему уравнений для напряжений и деформаций в каждой точке. В работах по оптике Коши дал математическую разработку волновой теории света и теории дисперсии. Ему принадлежат также исследования по геометрии (о многогранниках), по теории чисел, алгебре, астрономии и во многих других областях науки.