Физический (механический) смысл производной ‒ мгновенная скорость в момент времени t:v=S^1 (t)

Практическое занятие № 8

«Физический (механический) смысл производной ‒ мгновенная скорость в момент времени »

Цель урока: развивать у обучающихся умение ставить цель и планировать свою деятельность; развить навыков решения задач по теме «Физический смысл производной»; развить дисциплинированность, способности к саморегуляции.

Обучающийся должен знать и уметь: решать задачи прикладного характера использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, для решения прикладных задач на нахождение скорости и ускорения.

Оборудование: методические указания к практическому занятию, доска

Теоретическая часть

Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x):

- если это движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной получается зависимость скорости от времени;

- если же рассмотреть в качестве функции мгновенную скорость автомобиля, то производная задает изменение его ускорения; 
- если рассмотреть функцию, задающую зависимость объема произведенной продукции от времени, то производная позволит узнать, как изменялась со временем производительность труда на этом предприятии;
- если рассматриваются электромагнитные волны, то могут потребоваться функции, характеризующие изменение со временем электрического и магнитного полей, а также их производные - скорости изменения этих полей, ведь величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля и т.п.
Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная y, заданная функцией f(x) измеряется в некоторых единицах [y], а её аргумент в единицах [x], то производная (скорость) измеряется в единицах [y/x].

Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t:

v(t) = S’(t),

а ускорение – производная скорости по времени:

a(t) = v’(t) = S’’(t).

Если функция y = f (x) описывает какой-либо физический процесс, то производная y’ есть скорость протекания этого процесса. В этом заключается механический смысл производной.

Примеры:

1. Закон движения тела задан формулой S(t)=0,5t2 + 3t + 2 (S - в метрах, t – в секундах). Какой путь пройден телом за 4 секунды? Какова скорость движения в этот момент времени?

Решение:

S(4)=0,5·42 + 3·4 + 2 = 8+12+2=22 (м)

v(t)=(0,5t2 + 3t + 2)ꞌ=t+3(м/с)

v(4)=4+3=7 (м/с)

Ответ:7 м/с

2. Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию, задаётся зависимостью p(t) = t2/2 + 3t -3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды.

Решение:

v(t) = p’(t) = t + 3 (моль/с)

v(3) = 3 + 3 = 6 (моль/с)

Ответ: 6моль/с

Ход работы

Перерисуйте в тетрадь и заполните кластер-схему (данные возьмите из теоретической части):

Выполните предложенные задания.