Решение химических задач математическими методами

«Решение текстовых задач с химическим содержанием» Руководитель: Баирова Татьяна Васильевна, учитель математики Смоленск, 2023

Введение В нашем мире значение такой науки, как математика безмерно. Люди ежедневно сталкиваются с ситуациями, в которых применяют свои математические навыки. Без математики не могло бы существовать ни физики, ни химии, ни других точных наук. Как утверждал Николай Иванович Лобачевский: «Математика - это язык, на котором говорят все точные науки».

Взаимосвязь математики и химии Фармацевтическая промышленность; Пищевая промышленность; Тяжёлая промышленность; Медицина; Экзаменационные работы.

Понятие текстовых задач и история их возникновения Текстовая задача - описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации. Первые известные записи математических задач были найдены в папирусе Ахмеса (1650 год до н. э.), созданном египтянами. Все задачи из папируса Ахмеса имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства. Папирус Ахмеса

Виды текстовых задач 1) на движение 2) на работу 3) на части 4) на прогрессии 5) на доли и проценты 6) на смеси и сплавы 7) старинные задачи

Текстовые задачи с химическим содержанием Текстовые задачи на смеси, растворы и сплавы - важный тип задач, которые используются ежедневно для расчёта необходимого количества какого-либо вещества, исходя из предложенных данных. Эти задачи ярко отражают взаимосвязь математики и химии.

Из истории появления химических задач Впервые способы решения задач на смеси, растворы и сплавы были описаны русским математиком и педагогом Леонтием Филипповичем Магницким около 300 лет назад. Леонтий Филиппович Магницкий Он описал способ решения задач в учебнике по математике «Арифметика» в 1703 году. Из-за простоты решения этот способ применялся купцами при решении практических задач, поэтому и получил одноимённое название «способ купцов». Учебник «Арифметика» Л. Ф. Магницкого

Типы задач на смеси, растворы и сплавы Задачи на понижение концентрации. Пример. Сколько граммов 35%-ого раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10 %?  Задачи на повышение концентрации. Пример. Сплав меди и цинка содержал меди на 640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили 0,5 содержащейся в нём меди и 60 % цинка, масса сплава оказалась равной 200 г. Какова была масса исходного сплава?  Задачи на "высушивание". Пример. Свежие яблоки содержат 80 % воды, а сушёные - 10 %. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 6 кг сушёных?  Задачи на смешивание растворов разных концентраций. Пример. При смешивании 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140 г 30%-го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято?  Задачи на переливание. Пример. В первой кастрюле был 1 л кофе, а во второй - 1 л молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13 л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13 л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Различные способы решения «химических» задач 1. Старинный способ Магницкого или способ «купцов». M₁ - масса раствора с меньшей концентрацией; a₁ - меньшая концентрация раствора; M₂ - масса раствора с большей концентрацией; a₂ - большая концентрация раствора; a₃ - концентрация конечного раствора. Формула для расчёта: =  

2. Алгебраический способ решения задач с помощью таблицы. Наименование смеси (сплава, раствора) Концентрация вещества, % Масса смеси (сплава, раствора), г Масса вещества, г 3. «Метод прямоугольников» или решение задач с помощью математической модели. m(р-ра) г г г % % % % % % % + =

4. Арифметический способ решения. Алгоритм решения задачи: 1) Найти массу чистого вещества. 2) Найти массу нового раствора в соответствии  с концентрацией в нём вещества. 3) Найти разность масс нового и старого растворов. 4) Записать ответ в задаче. 5. Решение задач с помощью пропорции.

6. Правило креста или квадрат Пирсона. Этот метод назван именем английского математика и статистика - Карла Пирсона, ведь именно этот ученый придумал такой способ решения задач с химическим содержанием. Замечание: метод применим только для взаимодействия с двумя компонентами. Карл Пирсон

Изучив структуру основного государственного экзамена по математике, можно сделать вывод, что текстовые задачи с химическим содержанием встречаются достаточно часто в заданиях второй части  ОГЭ и в ЕГЭ. Поэтому, рассмотрев теорию, необходимую для решения таких задач, можно приступать непосредственно к самой практике. В данном разделе нам необходимо прорешать «химические» задачи разными способами для подготовки к ГИА по математике.

1. Решение задач с химическим содержанием 1.1. Решение задач с помощью старинного способа Магницкого или способа «купцов». Пример. Несколько литров 8-процентного раствора соли смешали с тем же объёмом 1-процентного раствора. Определите концентрацию получившейся смеси. Решение: I. x % 1 % (y л) 8 % (y л) (8 - x) % (x - 1) % Пусть x % - концентрация получившейся смеси; y л - объём 1-ого раствора и 2-ого раствора солей; y₁ = y₂. II. Составим и решим уравнение:   ОДЗ: x ≠ 1 x - 1 = 8 - x; 2x = 9; x = 4,5; 4,5 % - концентрация получившейся смеси. III. Ответ: 4,5 %.

1.2. Решение задач с помощью алгебраического способа с использованием таблицы. Пример. Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором растворе? Решение: I. Наименование раствора Концентрация вещества, % Масса раствора, кг Масса вещества, кг 1. x 12 0,12x 2. y 8 0,08y Пусть x % - концентрация 1-ого раствора; y % - концентрация 2-ого раствора. II. Составим и решим систему уравнений:     - 4x = 340; x = 85; 85 % - концентрация 1-ого раствора. Если x = 85, то y = 35; 35 % - концентрация 2-ого раствора. III. Ответ: 35 %.

1.3. Решение задач «методом прямоугольников». Пример. Имеется два раствора, в первом из которых содержится 14 % некоторого вещества, а во втором - 8 %. Сколько литров первого раствора необходимо долить к 40 л второго раствора, чтобы получить раствор, содержащий 10 % данного вещества? Решение: I. 14 8 10 % V(р-ра) x л 40 л (x + 40) л + = Пусть x л - объём 1-ого раствора. II. Составим и решим уравнение: 0,14x + 0,08 ∙ 40 = 0,1(x + 40); 0,14x + 3,2 = 0,1x + 4; 0,04x = 0,8; x = 20; 20 (л) - объём 1-ого раствора. III. Ответ: 20 л.

1.4. Решение задач арифметическим способом. Пример. В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение: 1) 7 ∙ 0,26 = 1,82 (л) - объём вещества. 2) Т. к. добавили 6 л воды (по условию) → объём получившегося раствора: 6 + 7 = 13 (л); вода - растворитель → объём самого вещества в новом растворе остаётся неизменным. 3) 1,82 : 13 ∙ 100 % = 14 % - концентрация получившегося раствора. Ответ: 14 %.

1.5. Решение задач с помощью пропорции. Пример. Свежие фрукты содержат 72 % воды, а высушенные - 26 %. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов? Решение: 1) 100 % - 72 % = 28 % - содержание сухого вещества в свежих фруктах. 2) 100 % - 26 % = 74 % - содержание сухого вещества в высушенных фруктах. I. Пусть x кг - масса сухих фруктов. x кг 74 % 222 кг 28 % II. Составим и решим уравнение: 74x = 222 ∙ 28; 74x = 6216; x = 84; 84 (кг) - масса сухих фруктов. III. Ответ: 84 кг.

1.6. Решение задач правилом креста. Пример. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение: I. 6 л (25 %) (x - 15) % 4 л (15 %) (25 - x) % 10 л (x %) Пусть x % - концентрация получившегося раствора. II. Составим и решим уравнение: 6(25 - x) = 4(x - 15); / : 2 75 - 3x = 2x - 30; -5x = -105; x = 21; 21 % - концентрация получившегося раствора. III. Ответ: 21 %.

Вычисление вероятности события А с какой же вероятностью задачи с химическим содержанием встречаются на ОГЭ по математике. Классическая вероятностная схема: P(A) =   N(A) - число благоприятных исходов; N - число всех исходов. Задачи из сборника для подготовки к ОГЭ-2023 по математике под редакцией И. В. Ященко. Задачи на движение - 16 шт. Задачи с химическим содержанием - 6 шт. Задачи на движение по реке - 8 шт. Задачи на работу - 4 шт. Задачи на проценты - 2 шт. Всего: 36 задач. N(A) = 6; N = 36. P(A) = = (≈ 17 %).   Задачи с химическим содержанием могут встретиться в 21-ом задании ОГЭ по математике с 17%-ой вероятностью.

Виды текстовых задач в 21-ом задании ОГЭ по математике

Буклет с теоретическим материалом

Источники 1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций / [А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. 2. Математика. 5 класс : учеб. Для учащихся общеобразовательных учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд.  3. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. / Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. 4. Задачи на смеси и сплавы / Н. И. Прокопенко. – М. : Чистые пруды, 2010. 5. ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. 6. Математика. ОГЭ-2022. 9-й класс. Тематический тренинг: учебно-методическое пособие / под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. 8. https://ru.wikipedia.org/wiki 7. https://fipi.ru/