Задания для проведения второго этапа конкурса «Геометрический марафон», 9-10 класс (2 тур)

Задания для проведения второго этапа конкурса “Геометрический марафон” 9-10 класс

Большее основание прямоугольной трапеции вдвое больше её меньшего основания, а боковые стороны равны 4 и 5. Найдите диагонали трапеции.

На прямой выбраны четыре точки A, B, C и D, причём  AB = 1,  BC = 2,  CD = 4.  Чему может быть равно AD? (найдите все возможные значения)

В треугольнике основание равно 3; один из углов при нём равен 120o; сторона против этого угла равна 7. Найдите третью сторону.

Определите величину угла между часовой и минутной стрелками часов, показывающими 4 часа 10 минут при условии, что обе стрелки движутся с постоянными скоростями.

Из внешней точки проведены к окружности секущая, длина которой равна 4, и касательная, равная 2/3 внутреннего отрезка секущей.
Найдите длину отрезка касательной.

Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.

Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен 60o. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма.

Две равные касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O.
Найдите периметр треугольника OO1O2.

Отрезок BD является медианой равнобедренного треугольника ABC ( AB= BC) . Окружность радиуса 4 проходит через точки B , A , D и пересекает сторону BC в точке E так, что BE:BC=7:8 . Найдите периметр треугольника ABC .

Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма оснований равна 14. Найдите площадь трапеции.

Сторона треугольника равна   (корень из2),   углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°. Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

На стороне правильного восьмиугольника во внешнюю сторону построен квадрат. В восьмиугольнике проведены две диагонали, пересекающиеся в точке B (см. рисунок). Найдите величину угла ABC. (Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.)