Исследовательская работа «Красота и последовательность задачи ЕГЭ по математике»

Красота и последовательность задачи ЕГЭ по математике

Руководитель: учитель математики высшей категории

Харковенко Лидия Евгеньевна.

Введение.

“Математик, так же как художник или поэт,

создает узоры, и если его узоры более устойчивы,

то лишь потому, что они составлены из идей”

Герман Вейль

Математика-это одна из самых древнейших наук, изучающая величины, количественные и процентные отношения, плоскостные и пространственные формы. Математика – это наука, которая завораживает нас красотой тригонометрических выражений, стройностью корней и логарифмов. Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных степеней, дробей и формул. Сегодня жизнь нас заставляет всё чаще рассматривать практические и прикладные задачи математики, которые имеют более прямое отношение к нашей сырьевой российской экономике. Нам приходится решать задачи про вклады и кредиты, про курсы долларов и евро, про повышение кредитной ставки на коммунальные услуги, плату за телефон и электричество. Задачи, которые недавно добавлены в профильный экзамен ЕГЭ по математике, отражают тесную взаимосвязь между математикой и жизненной реальностью, заставила меня задуматься над проблемой: можно ли систематизировать и классифицировать все типы задачи №17, описать алгоритм их решения, выделить основной теоретический материал и главные формулы. Оказалось, что на такой, вроде бы простой вопрос, не так просто можно было найти ответ. Это послужило толчком, чтобы провести самостоятельное исследование.

Актуальность данного исследования состоит в том, что решение данной проблемы может вызвать интерес у учащихся к предмету математика, повысить первичный балл результата экзамена, поможет найти правильное решение в жизненных ситуациях.

Новизна данной работы заключается в том, что выделены основные типы задач, разработан алгоритм для их решения.

Цель работы: Почувствовать красоту, практическую значимость, увидеть последовательность и закономерность задачи №17 ЕГЭ по математике.

Задачи: - найти, изучить и обработать информацию о задачи №17 ЕГЭ по математике;

- провести классификацию всех задач;

- разработать алгоритм решения задач на вклады и кредиты;

- создать дидактическое пособие по математике по теме «Прототипы задачи №17 ЕГЭ по математике и их решения» для учащихся МОУ СОШ п. Арчаглы - Аят.

Методологической и теоретической основой исследования послужили материалы Интернета, демо-версии ЕГЭ по математике 2015, 2016 года, материалы КИМов, разнообразные печатные источники. В качестве исходной информации при проведении исследования использовались материалы специалистов, результаты собственных исследований автора. В ходе исследования была выдвинута гипотеза: решение задачи №17 ЕГЭ по математике – это решение задач на простые и сложные проценты. Методы исследования: обзор литературы по данной теме; метод графических изображений; анализ и сравнение полученных результатов и другие методы.

Практическая значимость работы: результаты данного исследования могут использовать учителя математики в работе по повышению интереса учащихся к предмету, учащиеся при коррекции своих знаний и подготовки к ЕГЭ и ГИА.

Апробация работы. Основные положения исследования докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на научно – практической конференции «Юный исследователь» в МОУ СОШ п. Арчаглы – Аят Варненского района Челябинской области (п. Арчаглы – Аят, 2015 год).

Понятие «проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками в средней школе и с проведением сложных научно-исследовательских работ, не только с выпечкой кулинарных изделий и приготовлением лакомств, солений и варений, оно буквально атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, кредитов, инфляций, девальваций. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Вот и в новой версии ЕГЭ по математике в 2015 году появилась интересная текстовая задача №19 (в 2016 году – это задача №17). Мне интересна математика, мне нужна математика, я планирую сдавать профильный экзамен по математике, мне хотелось бы более чем успешно его сдать. Поэтому, уже сейчас, мне интересно разобраться в подходах к решению задачи №17, тем более, что сведения об этой задачи очень противоречивы и нет полной подборки материала для решения этой задачи.

2. Задачи на кредиты.

Наша жизнь сегодня состоит из постоянных затрат. Финансовая зависимость поглощает человечество с невероятной скоростью. Мало кто может себе позволить жить без финансовых средств и поэтому все большую роль начинают играть кредиты.

Деньги попадают в руки человеку и так же успешно их покидают. В зависимости от уровня затрат и жизни мы тратим и пытаемся еще больше обеспечить себя финансовыми средствами. Деньги нам нужны каждый день, потому что большая часть проживает в больших городах, пригородах, где все продукты питания, коммунальные услуги, техника и услуги получают только с помощью денег.

Если человек вынужден повысить свои затраты по той или иной причине, тогда становится вопрос о том, где и как получить быстро определенную сумму. Кредиты приходят на помощь, но тем не менее позволяют человеку оказаться в роли зависимого от обязательств. Кредиты могут существенно ударить по кошельку любого гражданина любой страны. Каждый из нас сегодня может оформить кредит онлайн и наслаждаться тем, кто у него есть средства для реализации своих целей. Несмотря на то, что вы получаете эти деньги, вам нужно будет их вернуть. И здесь решается очень важный момент, готовы ли вы к тому, чтобы выплачивать те проценты, которые будут указаны в договоре при оформлении кредита? Готовы ли вы нести это бремя и смотреть смело в будущее без риска остаться ни с чем? Это нужно решить заранее и быть готовыми отдавать больше, чем вы получили.

В словаре экономических терминов даётся определение:

Кредит — (лат. credit — он верит)

1) часть счета бухгалтерского учета. На активных счетах по кредиту записывается уменьшение объекта учета, а на пассивных — увеличение;

2) предоставление в долг денег или товаров на условиях возвратности и, как правило, с уплатой процентов.

Кредит — это определенная сумма денег (или товаров), которая ссужается под определенный процент одним лицом другому. Лицо, получающее кредит, называется заемщик, лицо, дающее кредит - кредитор. Кредит выдается на оговоренный в договоре срок, по истечении которого заемщик обязан вернуть полную сумму кредита с начисленными процентами.

Согласно определению Джона Милля, кредит «есть разрешение одному лицу пользоваться капиталом другого лица»

Другие определения кредита:

кредит - взаимоотношения между кредитором и заёмщиком;

кредит - возвратное движение стоимости;

кредит - движение платёжных средств на началах возвратности;

кредит - движение ссуженной стоимости;

кредит - движение ссудного капитала;

кредит - размещение и использование ресурсов на началах возвратности;

кредит - предоставление настоящих денег взамен будущих денег и др.

Кредиты могут не только помогать, но и разрушать нашу жизнь. Это случается, когда человек не осознает весь риск получения финансов от других лиц. Кредиты – это часть современной жизни.

2.1. Нахождение количества лет выплаты кредит.

Задача: 1 января 2015 года фермер Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит для покупки КРС. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение.

Ясно, что чем больше месячные выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты составляют 220 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.

Заметим, что в последний месяц выплата составит менее 220 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 месяцев.

Ответ: 6 месяцев – срок выплаты кредита.

2.2. Нахождение процентной ставки по кредиту.

Задача: 31 июля 2014 года для проведения уборочной страды фермер Пётр Иванович взял в банке 1 000 000 рублей в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр Иванович переводит очередной транш. Петр Иванович выплатит кредит за два транша, т.е. за два года. В первый год он перевёл в банк 660 000 рублей, во второй год – 484 000 рублей. Под какой процент Пётр Иванович взял деньги в банке?

Решение.

Пусть а – процентная ставка по кредиту.

В конце первого года долг составит: 1 000 000 * (1+0,01*а) –660 000 = 340 000 + 0 000*а;

В конце второго года долг составит: (340 000+10 000*а) * (1+0,01*а) – 484 000;

По условию задачи кредит был погашен за два года.

Составим уравнение: (340 000+10 000*а) * (1+0,01*а) – 484 000 = 0;

Выполняя преобразования приходим к квадратному уравнению а2 + 134*а -1440 = 0;

Решая уравнение, получаем а = 10.

Ответ: 10% - процентная ставка по кредиту.

2. Нахождение суммы кредита

Задача: Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 рублей?

Решение.

Предположим, что семье Ивановых банк может предоставить кредит в размере х рублей. 1). В течение первого года после получения кредита семья не переводит денег в банк.

2). По истечении первого отчетного года банк увеличивает долг на 20%. Долг становится 1,2х р. В течение второго отчетного года Ивановы вносят в банк 810 000 р.

3). К началу третьего отчетного года долг семьи становится 1,2х − 810000 р, а с учетом очередной процентной ставки:

1,2(1,2х − 810000) = 1,22х − 1,2*810000 = 1,22х − 972000(руб)

В течение этого отчетного года семья вносит в банк 810 000 р. Долг уменьшается до

1,22х − 972000- 810000 = 1,22х − 1782000(руб);

4). Очередное применение процентной ставки приводит к тому, что на начало четвертого отчетного года долг Ивановых банку становится 1,2(1,22х − 1782000) = 1,23х − 1,2*1782000 = 1,23х − 2138400(руб).

Молодая семья вновь вносит 810 000 р. Теперь уже долг Ивановых уменьшается до

1,23х − 2138400 – 810000 = 1,23х − 2948400(руб);

5). Начинается пятый, финишный год. Банк вновь увеличивает долг Ивановых на 20%. В результате он (долг) становится равным

1,2(1,23х − 2948400) = 1,24х − 1,2*2948400 = 1,24х -3538080(руб);

В течение финишного года Ивановы вновь вносят 810 000 р. В результате этого же погашения долга молодая семья уже свободна от дальнейших выплат.

Решим уравнение: 1,24х -3538080 – 810000 = 0;

Ответ: 2096875 рублей предоставил банк семьи Ивановых в кредит.

2. Нахождение ежегодного транша.

Задача: 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ:

Пусть х — один из трёх разовых платежей.

1). Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит: 9 930 000*1,1–х=10923000 - х; 2). После внесения второго платежа сумма долга станет равной

(10923000– х)*1,1 – х = 12015300 – 2,1х(руб);

3). Сумма долга после третьего платежа: (12015300 – 2,1х)*1,1– х = 13216830 – 3,31х(руб) 4). Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным нулю:

Составим уравнение: 13216830 – 3,31х = 0;

Ответ: 3 993 000 рублей сумма ежегодного транша.

2 способ:

Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k.

1). После первой выплаты сумма долга составит: a1 = am − x.

2). После второй выплаты сумма долга составит:

a2 = a1m − x = (am − x)* m – х = am2 – mх – х = am2 - (1+ х)m;

3). После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

a3 = am3 – (1 + m – m2)х = am3 – *х. т.к. выражение в скобках – это сумма n- первых членов геометрической прогрессии, где первый член равен 1, знаменатель геометрической прогрессии равен m.

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому

Составим уравнение: am3 – * х = 0,

откуда при a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и х = 3 993 000 рублей.

Ответ: 3 993 000 рублей сумма ежегодного транша.

Мы видим, что задачу можно решать:

последовательно, по действиям, используя алгоритм вычислений;

рациональным способом, по формуле: 0 = amn – * х, где

х - сумма ежегодного транша;

a - общая сумма кредита;

m – процентная ставка, коэффициент m = 1 + 0,01k;

n – количества равных платежей;

3. Другие типы задач, новые подходы к решению задачи №17.

3.1. Задачи, решаемые несколькими способами.

Задача: По прогнозу экспертов, цены на квартиры в Москве через год упадут: в рублях на 20%, в евро на 40%. А в Сочи цены в рублях упадут на 10%. На сколько процентов упадут цены в Сочи в евро?

Решение.

Подход 1.

Если в текущем году квартиры в Москве стоили m рублей, или n евро, то через год эти цены станут 0,8m рублей и 0,6n евро соответственно. Отношение будет равно

Полученное отношение характеризует изменение курса евро по отношению к рублю как в Москве, так и в Сочи — одинаково.

Если в текущем году цены на квартиры в Сочи были p рублей, или q евро, то через год они станут: в рублях 0,9p, в евро q (1 – 0,01х), где х (процентов) — падение цен в евро. Отношение характеризует курс евро по отношению к рублю, и будет оно равно отношению Итак, ;

Решим пропорцию ; х = 32,5.

Подход 2.

Эксперты прогнозируют:

Через год цены на квартиры в Москве составят в рублях 0,8 части той, которая есть в текущем году, в евро — 0,6 части.

Соответствующие цены в Сочи: 0,9 части в рублях и (1 – 0,01х) части в евро, где x — падение цены в процентах.

Поскольку курс евро по отношению к рублю на всей территории России неизменный, то верна пропорция:

Решим эту пропорцию х = 32,5%.

Ответ: 32,5% - упадут цены в Сочи в евро.

3.2. Задачи решения бытовых ситуаций.

Задача: Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?

Решение.

1. Алгебраический подход.

Пусть плата за коммунальные услуги и электричество составляет х руб. в месяц, а за телефон — у руб.

Если плата и за коммунальные услуги, и за электричество подорожают на 50%, эта часть оплаты составит 1,5x руб, что повлечет увеличение общей суммы платежа на 45%. Тогда будет иметь место уравнение: 1,5х + у =1,45(х + у), х + у = 10у, откуда

Итак, на телефон приходится 1/10 часть от общей суммы платежа, а это составляет 10%.

2. Арифметика помогает алгебре.

Если все три вида предоставляемых услуг подорожает на 50%, то общая сумма платежа увеличится на 50%. Но из-за того, что платеж за услуги телефонии останется неизменным, общая сумма платежа после подорожания по остальным двум видам услуг будет на 5% меньше (50 − 35 − 10). И эти (5%) — доля телефонии в числе 50% оплаты за все услуги.

Итак, доля телефона составляет 1/10 часть (5 : 50) общей суммы платежа, т. е. 10% от общей суммы.

Ответ: 10% общей оплаты приходится на телефон.

4. Заключение.

В заключении можно сказать: несмотря на то, что сведения о задачи №17 очень противоречивы и нет полной подборки материала для решения этой задачи, мне удалось сделать для себя некоторые выводы:

Задача №17 – в основном это задача на проценты;

Можно отдельно выделить группу задач на кредиты и вклады, подходы к решению которых можно классифицировать как задачи на:

- Нахождение количества лет выплаты кредита;

- Нахождение процентной ставки по кредиту;

- Нахождение суммы кредита;

- Нахождение ежегодного транша;

Задачи на вычисления вклада и процентной ставки по кредиту можно решать пошагово, а можно рационально: по формулам;

Для решения этой задачи надо обязательно знать:

- процент – это 0,01 часть числа;

- 100% - это величина та, с чем мы сравниваем;

- формулы для вычисления простых и сложных процентов:

Если величина х однократно увеличивается на р%, то новая величина у = х(1 + ),

Если величина х однократно уменьшается на р%, то новая величина у = х(1 - ),

Если величина х дважды увеличивается на р%, то новая величина у = х(1 + )2,

Если величина х дважды уменьшается на р%, то новая величина у = х(1 - )2 и т.д.

Лично для себя я сделал ещё один немаловажный вывод:

Прежде, чем идти в банк для оформления какого-либо кредита, необходимо:

- всё очень хорошо обдумать;

- провести математические расчёты;

- взвесить все аргументы «за» и «против»;

- и только потом принять решение;

Литература.

http://gweak.ru/showthread.php?t=2088

http://www.itmathrepetitor.ru/egeh-demonstracionnyjj-variant-po-mate/

http://решуегэ.рф/register