Конспект занятия по учебной дисциплине «Финансовая математика»

Пояснительная записка

Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами. В финансовой математике любой финансовый инструмент рассматривается с точки зрения генерируемого этим инструментом некоторого (возможно случайного) денежного потока.

Финансовая математика – это наука, изучающая методы и методики определения стоимостных и временных параметров финансовых и инвестиционных операций, процессов и сделок, а также модели управления инвестициями, капиталом и его составляющими.

Объект финансовой математики – финансовые операции и сделки и их технико-экономическое обоснование, направленное на извлечение прибыли.

Поэтому важным первым конспектом при изучении дисциплины и дальнейшей подготовки к олимпиаде по финансовой математике необходимо знать теоретический материал по теме «Банковские проценты». Помимо того, что при подготовке к олимпиаде необходимо иметь теоретическую базу, то важным при выполнении заданий по олимпиаде является применение цифровой грамотности с помощью депозитных калькуляторов, различных образовательных ресурсов. При подготовке к олимпиаде используются такие способы подготовки как выполнения разно уровневых заданий на сервисе LearningApps - это конструктор интерактивных заданий для учебно-воспитательного процесса в разных режимах – «Пазлы», «Найди пару», «Найди соответствия», «Установи последовательность», «Викторина с выбором правильного ответа», «Кроссворд» и другие.

Конспект по дисциплине «Финансовая математика»

Тема «Банковские проценты»

План:

Сущность банковских процентов

Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам.

Дисконтирование по простым процентам

Сложные проценты

Сущность банковских процентов

Проценты (процентные деньги) - это абсолютная величина дохода от представления денег в долг в любой форме: получение кредита, продажа товаров в кредит, помещение денег на вклад (на депозит), покупка ценных бумаг (акции, облигации, вексель, сертификаты).

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (тот, кто дает - это кредитор, кто берет заемщик) стороны договариваются о размере процентной ставки.

Процентная ставка – это относительная величина дохода за фиксированный промежуток времени по отношению к сумме долга. Она измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби или в процентах. В практических расчетах обычно процентная ставка измеряется в десятичных дробях.

19%/100=0,19

При выполнении расчетов важную роль играет временной интервал, которому отнесена процентная ставка и это называется периодом начисления.

Период начисления может быть: год, полугодие, квартал, месяц или даже день, но на практике используют только год.

% согласно договоренности кредитора и заемщика выплачиваются по мере их зачисления или присоединяются к основной сумме долга. Присоединение к основной сумме долга % называется капитализация процентов. Процесс увеличения суммы денег во времени с присоединением процента называется наращением или ростом суммы.

Определение процентов возможно в двух направлениях:

от настоящего к будущему

от будущего к настоящему.

Если движение происходит от будущего к настоящему, то такое начисление процентов называется дисконтирование (сокращение). Дисконт – это сумма денег, относящаяся к будущему, которое уменьшается на сумму соответствующей скидки (дисконт).

Таким образом, из выше перечисленного можно сделать вывод, что процентная ставка является измерителем степени доходности любой финансовой, кредитной инвестиционной деятельности.

Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Способы начисления процентов зависят от условий контрактов.

Признаки процентных ставок, по которым они различаются:

для начисления процентов применяют постоянную базу начисления – в этом случае будут использоваться простые ставки.

последовательно-изменяющаяся база. За базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращение или дисконтирование. В этом случае применяются сложные проценты, при применении которых % начисляются на проценты.

Если происходит движение от настоящего к будущему, то ставки называются дисконтными или наращенными.

От будущего к настоящему ставки будут называться учетными. Процентные ставки могут быть фиксированными или плавающими. Плавающая ставка изменяется во времени и указывается, что к базовой ставке в контракте будет дополняться надбавка (маржа).

Важное место в системе процентных ставок занимает ставка рефинансирования центрального банка России – это ставка, по которой центральный банк России выдает кредиты коммерческим банком.

Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам.

Наращенная сумма–это первоначальная ее стоимость с начисленными процентами к концу срока начисления.

Множитель наращения – это показатель во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

К наращению по простым процентам обычно прибегают в случаях выдачи краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.

Для записи формулы наращения простых процентов примем обозначения:

I-проценты за весь срок ссуды

P-первоначальная сумма долга

S-наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока

i –ставка наращения процентов (десятичная дробь)

n - срок ссуды

Начисленные за весь срок проценты составят:

I=Pni

Формула простых процентов:

S=P+I=P+Pni=P(1+ni)

Множитель наращения простых процентов:

(1+ni)

Срок ссуды:

n=t/k,

где t- это число дней ссуды; k- число дней в году или временная база начисления процентов.

При расчете процентов применяют две временные базы:

К=360 дней (12 месяцев по 30 дней) или

К=365 дней

Если К=360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты.

S=P(1+n1 i1+ n2 i2 +…+nm im)=P(1+∑ nt it)

it- ставка простых процентов в периоде t

nt- продолжительность периода с постоянной ставкой

n=∑ nt

Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется по формуле. S=P+I=P+Pni=P(1+ni)

В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение процентных ставок во времени. Так как ставки простые, то на конец срока наращенная сумма определяется по формуле:

S=P*(1+n1i1+n2i2+…+nmim)

по

S=P*(1+∑ itnt)

Дисконтирование по простым процентам

Дисконтирование в широком смысле понимается как средство определения любой стоимостной величины относящийся к будущему на более ранний момент времени. Такой прием называют привидением стоимостного показателя к начальному моменту времени. Таким образом, дисконтирование-это обратная задача наращения процентов. Расчет P по известной S необходим, когда проценты удерживаются вперед, т.е. проценты выплачиваются при выдаче кредита. В этих случаях сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты дисконтом

Дисконтирование по простым процентам это значит, что вам известна наращенная сумма S, кредита P.

P=S/1+ni

Порядок определения процентной ставки.

I=(S-P/P*n)*365дней

Порядок определения срока ссуды.

Срок ссуды может быть определен в днях или в годах при определении срока ссуды или вкладе в днях используется обозначение t.

T=(S-P/P*i)*K

K-временная база, сколько дней в календарном году.

Если срок ссуды нужно найти в годах, то мы будем искать n.

N=(S:P)-1/i

Сложные проценты

1. Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово – кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу по их начислению, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисленных процентов взрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Сложная ставка - применяется при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.

S = P(1 + i)n

I = S – P = P[(1 + i)n – 1]

Ip = Р[(1 + i)n – (1 + ni)]

P –первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала)

S –наращенная сумма на конец срока ссуды

n –срок, число лет наращения

i –уровень годовой ставки процентов

Ip -часть, которая получена за счет начисления процентов на проценты.

Величину (1 + i)n - множитель наращения по сложным процентам.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель - (1 + i)n . последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

3. Начисление процентов в смежных календарных периодах.

I = I1 + I2

I1 = P[(1 + i)n1 – 1]

I2 = P(1 + i)n1[(1 +i)n2 – 1] = P[(1 + i)n – (1 + i)n1]

4. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно – денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему, например, с помощью применения плавающих ставок. Изменение размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

S = P(1 + i1)n1(1 + i2)n2… (1 + ik)nk

где i1, i2, …, ik – последовательные значения ставок

n1, n2, …, nk – периоды, в течении которых работают соответствующие ставки.

5. Часто в срок в годах для начисления процентов не является целым числом. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются два метода:

- общий, расчет ведется непосредственно по формуле (3,1)

- смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов.

S = P(1 + i)a (1 + bi) где

n = a + b – срок ссуды, a – целое число лет, b – дробная часть года.

Аналитический метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц.

S = P(1 + j/m)N

N - общее количество периодов начисления.

i = (1 + j/m)m – 1

j –номинальная ставка

i – эффективная ставка

обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.