Лекционное занятие по аналитической геометрии на тему «Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы»

Мультимедийное сопровождение к лекционному занятию по теме «Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы»

Дисциплина: аналитическая геометрия. Дисциплина: аналитическая геометрия. Курс: 1 курс. Направление подготовки: 44.03.05 Педагогическое образование (профиль: математика и информатика) Тема. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы Цель занятия: сформировать представления о кривых второго порядка и их канонических уравнениях. Задачи: образовательные: формировать понятия кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола; рассмотреть основные свойства кривых второго порядка: фокусы, директрисы, эксцентриситет, длина осей, симметрия и другие; познакомить студентов с каноническим видом уравнений кривых второго порядка и методами приведения уравнений к каноническому виду; показать практическое применение кривых второго порядка в различных областях, например, в оптике, механике, аэродинамике и других. развивающие: развивать навыки математического мышления и аналитической работы с уравнениями; развивать навыки работы с графиками и геометрическими конструкциями; развивать логическое мышление, внимательность и аналитические способности. воспитывающие: формирование понимания значимости математики для научно-технического прогресса; воспитание активности, самостоятельности, ответственности, трудолюбия. Норма времени: два академических часа. Тип занятия: лекция. Оборудование: мультимедийный проектор, демонстрационный материал. Основная информация по лекционному занятию

СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ 1 Вступительная часть 2 Основная часть лекции 2.1 Эллипс и его свойства. 2.2 Гипербола и её свойства. 2.2 Парабола и её свойства. 2 Подведение итогов

Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости Норберт Винер

Кривые второго порядка

Тема занятия «Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы»

Цель и задачи занятия: Цель занятия: сформировать представления о кривых второго порядка и их канонических уравнениях. Задачи занятия: формирование понятий кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола; рассмотрение основных свойств кривых второго порядка: фокусы, директрисы, эксцентриситет, длина осей, симметрия и другие; знакомство с каноническим видом уравнений кривых второго порядка и методами приведения уравнений к каноническому виду; рассмотрение практического применения кривых второго порядка в различных областях, например, в оптике, механике, аэродинамике и других.

Эллипс и его свойства Фокальное определение эллипса и его свойство

Кривая второго порядка Напомним что, кривой второго порядка на евклидовой плоскости называется множество точек M, координаты (x, y) которых удовлетворяют уравнению Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов a11, a12, a22 не равен нулю.

Фокальное определение эллипса и его свойство Утверждение. Эллипсом называется геометрическое место точек М на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и обозначаемая 2а. (1)   , где (2)  

Фокальное определение эллипса и его свойство Доказательство. Пусть координаты точки M (x, y) удовлетворяют уравнению (2), покажем, что выполняется (1). Т.к. координаты F2 равны (c, 0), то Итак, r2 = |ex − a|. Так как, для эллипса |x| ≤ a и 0 ≤ e <1, то |ex| <a − a <ex <a ⇒ a – ex > 0. Следовательно, r2 = a − ex. Аналогично доказывается, что r1 = a + ex. Таким образом, r1 + r2 = 2a.  

Фокальное определение эллипса и его свойство Обратно, пусть M (x, y) — такая точка плоскости, что сумма её расстояний до двух фиксированных точек F1, F2 равна 2a:

Фокальное определение эллипса и его свойство Отрезок, соединяющий точку M (x, y) эллипса c фокусом, называется фокальным радиусом этой точки. Имеется два фокальных радиуса — левый и правый .  

ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА

ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ

Каноническое уравнение эллипса Определение. Кривая второго порядка называется эллипсом, если существует прямоугольная система координат Оху, в которой уравнение этой кривой имеет вид: , где (1)   Координаты, в которых уравнение эллипса имеет вид (1), называются каноническими (для этого эллипса), а само уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса.

Оси координат являются осями симметрии эллипса. Ось абсцисс называется большой (или фокальной) осью. Ось ординат — малой осью. Точка O (0, 0) — центр эллипса. Точки пересечения эллипса с его осями (± a, 0), (0, ± b) называются вершинами эллипса. Число a — большая полуось. Число b — малая полуось. Обозначим . Точки (± c, 0) называются фокусами.   Число называется эксцентриситетом.  

Эксцентриситет характеризует степень «вытянутости» эллипса — степень отличия от окружности. Эллипсы, получающиеся один из другого равномерным расширением (сжатием), имеют одинаковые эксцентриситеты.

Число называется фокальным параметром. При прямые называются директрисами.  

Директориальное свойство эллипса

Гипербола и её свойства Определение гиперболы. Фокальное и директориальное свойство гиперболы.

Основные определения Определение. Кривая второго порядка называется гиперболой, если существует прямоугольная система координат Oxy, в которой уравнение этой кривой имеет вид: , где (3)   Координаты, в которых уравнение гиперболы имеет вид (3), называются каноническими (для этой гиперболы), а само уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы.

Основные определения Оси координат являются осями симметрии гиперболы. Ось абсцисс называется действительной (или фокальной) осью. Ось ординат — мнимой осью. Точка O (0, 0) — центр гиперболы. Прямые и являются асимптотами гиперболы.  

Основные определения Точки пересечения гиперболы с его действительной осью (± a, 0) называются вершинами гиперболы. Число a — действительная полуось. Число b — мнимая полуось. Число — линейный эксцентриситет. Точки (± c, 0) называются фокусами. Число называется эксцентриситетом (1 < e < ∞) . Число называется фокальным параметром. Прямые называются директрисами.  

Основные определения Левые и правые фокусы, директрисы и фокальные радиусы для гиперболы определяются также как и для эллипса. Также определяются одноимённые фокусы и директрисы

Эксцентриситет равнобочной гиперболы равен   Эксцентриситет характеризует степень отличия гиперболы от равнобочной. Гиперболы, получающиеся одна из другой равномерным расширением (сжатием), имеют одинаковые эксцентриситеты.

ДЕМОНСТРАЦИЯ ФОКАЛЬНОГО СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ

Фокальное свойство гиперболы Утверждение. Гипербола (4) является геометрическим местом точек M:  

Фокальное свойство гиперболы

Фокальное свойство гиперболы

Фокальное свойство гиперболы

Директориальное свойство гиперболы Утверждение. Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от фокуса до одноимённой директрисы равно эксцентриситету:   Доказательство. Рассмотрим случай, когда и фокус, и директриса правые. Расстояние от точки M (x, y) гиперболы до правой директрисы

Директориальное свойство гиперболы При доказательстве фокального свойства гиперболы было получено, что расстояние точки M (x, y) гиперболы до правого фокуса равно Как и в случае эллипса следует доказать обратное

Замечание.

Парабола и её свойства Определение параболы и основные свойства.

Основные определения Координаты, в которых уравнение параболы имеет вид (5), называются каноническими координатами для данной параболы, а уравнение (5) — каноническим уравнением. Определение. Кривая второго порядка называется параболой, если существует прямоугольная система координат Oxy, в которой уравнение этой кривой имеет вид: , где . (5)  

Основные определения Ось абсцисс системы канонических координат является осью симметрии параболы, т.к., M (x, y) ∈ Π M (x, −y) ∈ Π.   На этом основании эта прямая называется осью параболы (или фокальной осью). Точка O (0, 0) – пересечения оси с параболой называется вершиной параболы.

Основные определения Точка F (, 0) — фокус, |OF| = — фокусное расстояние, прямая x = − — директриса, число p — фокальный параметр.  

Некоторые свойства параболы Ветвь любой параболы можно поместить в произвольно малый угол У параболы нет асимптот

ДЕМОНСТРАЦИЯ ДИРЕКТОРИАЛЬНОГО СВОЙСТВА ПАРАБОЛЫ

Директориальное свойство гиперболы

Закрепление учебного материала Рассмотрение прикладных задач

Для спутников, движущихся вокруг Земли по эллиптическим орбитам, выразите длину большой оси эллипса через полную энергию спутника Е. 1

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h=760 км над поверхностью Земли. Его хотят перевести н6а эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли H=40000 км и минимальным расстоянием от поверхности h=760 км. На сколько для этого необходимо изменить скорость спутника? 2

Тест Щелкните кнопку Тест для редактирования этого теста

Подведение итогов

Задания для самостоятельной работы: Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси Ох и что точка пересечения прямых у = х и х + у − 2 = 0 лежит на параболе. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (0;10) к расстоянию до прямой x = −4 равно . Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.