Лекционное занятие по аналитической геометрии на тему «Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы»

Направление подготовки: 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль: Математика и информатика

Образовательная программа: бакалавриат

Квалификация: Академический бакалавр

Дисциплина «Аналитическая геометрия»

Содержательный модуль 3. Уравнения линий II порядка

Тема 5. Канонические уравнения линий II порядка

Всего часов на изучение темы: 62 ч.

Всего часов, отведенных на лекции: 8 ч.

Количество лекций – 4.

Темы лекций, отведенных на изучение данной темы:

В данной работе мы рассмотрим лекционное занятие по теме «Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы»

Изучение данной лекции направлено на формирование следующих компетенций:

а) общекультурные компетенции (ОК):

– способность использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве (ОК-3);

При формировании данной компетенции студент будет:

Уметь: анализировать естественнонаучную и математическую информацию, необходимую для ориентирования в современном информационном пространстве У (ОК-3) – I; использовать естественнонаучные и математические знания в различных жизненных ситуациях и разных сферах деятельности У (ОК-3) – II;

Знать: базовые естественнонаучные понятия, основы функционирования математических моделей З (ОК-3) – I; методы использования естественнонаучных и математических знаний для ориентирования в современном информационном пространстве З (ОК-3) – II.

– способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-6);

При формировании данной компетенции студент будет:

Уметь: планировать цели и устанавливать приоритеты при выборе способов принятия решений с учетом условий, средств, личностных возможностей и временной перспективы достижения; осуществления деятельности. У (ОК-6) – I; планировать цели и устанавливать приоритеты при выборе способов принятия решений с учетом условий, средств, личностных возможностей и временной перспективы достижения; осуществления деятельности. У (ОК-6) – II;

Знать: содержание процессов самоорганизации и самообразования, их особенностей и технологий реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности. З (ОК-6) – I; принципы и тенденции самоорганизации и самообразования, их особенности и технологии реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности. З (ОК-6) – II.

б) общепрофессиональные компетенции (ОПК):

– готовность сознавать социальную значимость своей будущей профессии, обладать мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);

При формировании данной компетенции студент будет:

Уметь: использовать теоретические знания для генерации новых идей в области развития образования У (ОПК-1) –II;

Знать: осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности З (ОПК-1) – I.

в) профессиональные компетенции (ПК):

научно-исследовательская деятельность:

– готовность использовать систематизированные теоретические и практические знания для постановки и решения исследовательских задач в области образования и науки (ПК-11):

При формировании данной компетенции студент будет:

Уметь: самостоятельно и в составе научного коллектива решать конкретные задачи профессиональной деятельности; самостоятельно и под научным руководством осуществлять сбор и обработку информации; анализировать образовательный процесс, собственную деятельность, выявляя проблемы, которые могут быть решены в рамках проектно-исследовательской деятельности; способен на основе выявленной проблемы сформулировать исследовательскую задачу;

Знать: основные научные понятия и особенности их использования, методы и приёмы изучения и анализа научной литературы в предметной области; принципы, методы, средства образовательной деятельности для научных исследований; основы организации исследовательской деятельности в сфере образования; основные информационные технологии поиска, сбора, анализа и обработки данных социально-педагогического исследования; функции и содержание научно-методической работы педагога.

в) специальных (СК):

– владение основными положениями классических разделов математических дисциплин, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом (СК-1);

– владение содержанием и методами элементарной математики, умение анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики (СК-2);

– владение культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способность понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать основные методы математических рассуждений, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания (СК-3);

– способность понимать роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики (СК-4).

В результате изучения данной лекции студент должен:

знать:

понятия эллипса, гиперболы, параболы, фокуса, директрисы, эксцентриситета, канонического уравнения, фокального параметра и фокального радиуса;

канонические уравнения кривых второго порядка;

свойства кривых второго порядка;

применения кривых второго порядка в различных областях, например, в оптике, механике, аэродинамике, геометрии и др.

уметь:

различать кривые второго порядка;

приводить уравнения к каноническому виду;

исследовать свойства кривых второго порядка;

применять знания о кривых второго порядка в практических задачах;

графически представлять кривые второго порядка и их свойства;

применять базовые математические методы для решения задач, связанных с кривыми второго порядка.

владеть:

каноническими уравнениями кривых второго порядка.

Тематический план лекции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОРБРАЗОВАНИЯ

«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра высшей математики и методики преподавания математики

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

(профиль: математика и информатика)

Разработка лекционного занятия

на тему: «Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы»

Донецк 2023

Аналитическая геометрия, 1 курс, 44.03.05 Педагогическое образование (профиль: математика и информатика)

Тема. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Цель занятия: сформировать представления о кривых второго порядка и их канонических уравнениях.

Задачи:

образовательные: формировать понятия кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола; рассмотреть основные свойства кривых второго порядка: фокусы, директрисы, эксцентриситет, длина осей, симметрия и другие; познакомить студентов с каноническим видом уравнений кривых второго порядка и методами приведения уравнений к каноническому виду; показать практическое применение кривых второго порядка в различных областях, например, в оптике, механике, аэродинамике и других.

развивающие: развивать навыки математического мышления и аналитической работы с уравнениями; развивать навыки работы с графиками и геометрическими конструкциями; развивать логическое мышление, внимательность и аналитические способности.

воспитывающие: формирование понимания значимости математики для научно-технического прогресса; воспитание активности, самостоятельности, ответственности, трудолюбия.

По результатам занятия студент должен:

Иметь понятие об эллипсе, гиперболе, параболе, фокусе, директрисе, эксцентриситете, каноническом уравнении, фокальном параметре и фокальном радиусе; канонических уравнениях кривых второго порядка; свойствах кривых второго порядка; применении кривых второго порядка в различных областях, например, в оптике, механике, аэродинамике, геометрии и др.

Уметь различать кривые второго порядка; приводить уравнения к каноническому виду; исследовать свойства кривых второго порядка; применять знания о кривых второго порядка в практических задачах; графически представлять кривые второго порядка и их свойства; применять базовые математические методы для решения задач, связанных с кривыми второго порядка.

Владеть знаниями о канонических уравнениях кривых второго порядка.

Норма времени: два академических часа.

Тип занятия: лекция.

Оборудование: мультимедийный проектор, демонстрационный материал.

Структура занятия

I. Вступительная часть

1) Приветствие. Постановка темы, цели, основных задач (5-8 минут).

II. Основная часть лекции

1) Формулирование проблемы; основные понятия и суть изучаемого вопроса (60-65 минут).

Закрепление полученной информации

Интерактивный тест (8-10 минут)

Подведение итогов

Сопоставление результатов лекции с установленной целью и намеченными задачами.

Оценивание работы студентов (5-8 минут).

Задания для самостоятельной работы, определение способа их выполнения.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Вступительная часть

- Добрый день, уважаемые студенты. Наше занятие я предлагаю начать с эпиграфа Норберта Винера «Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости».

- Для начала, я предлагаю вам определить тему нашего занятия. В этом нам поможет несколько исторических фактов.

- Еще в 17 веке было известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

- Итак, говоря о данных траекториях мы имеем в виду кривые второго порядка, например, такие кривые как эллипс в случае движения планет, парабола – в случае полета пушечного снаряда. Еще одной кривой второго порядка, которую мы рассмотрим на занятии является гипербола. Кривые нашли широкое применение и в современной технике. Например, кривые второго порядка применяются в создании спутниковых тарелок и прожекторов.

Кривые поверхности также широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований.

Например, поверхности второго порядка применяются в качестве примитивов компьютерной графики в силу своей схожести во многих случаях с поверхностями реальных объектов. Поверхности высших порядков используются при обнаружении и исследовании зон новейших движений земной коры.

Таким образом, сегодня на занятии мы рассмотрим кривые второго порядка, их свойства и канонические уравнения.

Задачами нашего занятия являются: формирование понятий кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола; рассмотрение основных свойств кривых второго порядка: фокусы, директрисы, эксцентриситет, длина осей, симметрия и другие; знакомство с каноническим видом уравнений кривых второго порядка и методами приведения уравнений к каноническому виду; рассмотрение практического применения кривых второго порядка в различных областях, например, в оптике, механике, аэродинамике и других.

II. Основная часть лекции

2.1. Эллипс и его свойства.

Напомним что, кривой второго порядка на евклидовой плоскости называется множество точек M, координаты (x, y) которых удовлетворяют уравнению . Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов a11, a12, a22 не равен нулю.

2.1.1. Фокальное определение эллипса и его свойство

Утверждение. Эллипсом называется геометрическое место точек М на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и обозначаемая 2а.

(1)

, где (2)

Доказательство. Пусть координаты точки M (x, y) удовлетворяют уравнению (2), покажем, что выполняется (1). Т.к. координаты F2 равны (c, 0), то

Итак, r2 = |ex − a|.

Так как, для эллипса |x| ≤ a и 0 ≤ e <1, то |ex| <a − a <ex <a ⇒ a – ex > 0. Следовательно, r2 = a − ex. Аналогично доказывается, что r1 = a + ex. Таким образом, r1 + r2 = 2a.

Обратно, пусть M (x, y) — такая точка плоскости, что сумма её расстояний до двух фиксированных точек F1, F2 равна 2a:

Отрезок, соединяющий точку M (x, y) эллипса c фокусом, называется фокальным радиусом этой точки. Имеется два фокальных радиуса — левый и правый .

Из данного определения вытека­ет следующий способ построения эллипса. Возьмём нерастяжимую нить и закрепим её концы в фоку­сах F1 и F2. Если оттянуть пить карандашом и провести линию, держа нить на тянутой, то получим эллипс (демонстрация видеофрагмента построения эллипса).

- Также построение эллипса можно выполнить с помощью циркуля (демонстрация интерактивного видео-ролика по построению эллипса с помощью циркуля).

2.1.2. Каноническое уравнение эллипса

Определение. Кривая второго порядка называется эллипсом, если существует прямоугольная система координат Оху, в которой уравнение этой кривой имеет вид:

, где (1)

Координаты, в которых уравнение эллипса имеет вид (1), называются каноническими (для этого эллипса), а само уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса.

Оси координат являются осями симметрии эллипса. Ось абсцисс называется большой (или фокальной) осью. Ось ординат — малой осью. Точка O (0, 0) — центр эллипса. Точки пересечения эллипса с его осями (± a, 0), (0, ± b) называются вершинами эллипса. Число a — большая полуось. Число b — малая полуось. Обозначим . Точки (± c, 0) называются фокусами.

Число называется эксцентриситетом.

Э ксцентриситет характеризует степень «вытянутости» эллипса — степень отличия от окружности. Эллипсы, получающиеся один из другого равномерным расширением (сжатием), имеют одинаковые эксцентриситеты.

Число называется фокальным параметром. При прямые называются директрисами.

2.1.3. Директориальное свойство эллипса

Фокус и директриса называются одноимёнными, если они расположены по одну сторону от малой оси.

Утверждение. Эллипс является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от фокуса до одноимённой директрисы равно эксцентриситету:

Доказательство. Рассмотрим случай, когда и фокус, и директриса правые. Расстояние от точки M (x, y) эллипса до правой директрисы равно

2.2. Гипербола и её свойства.

2.2.1. Определение гиперболы. Фокальное свойство гиперболы.

 

Определение. Кривая второго порядка называется гиперболой, если существует прямоугольная система координат Oxy, в которой уравнение этой кривой имеет вид: , где (3)

Координаты, в которых уравнение гиперболы имеет вид (3), называются каноническими (для этой гиперболы), а само уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы.

Ось абсцисс называется действительной (или фокальной) осью.

Ось ординат — мнимой осью.

Точка O (0, 0) — центр гиперболы.

Прямые и являются асимптотами гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с его действительной осью (± a, 0) называются вершинами гиперболы. Число a — действительная полуось. Число b — мнимая полуось. Число — линейный эксцентриситет. Точки (± c, 0) называются фокусами. Число называется эксцентриситетом (1 < e < ∞) . Число называется фокальным параметром. Прямые называются директрисами.

Л евые и правые фокусы, директрисы и фокальные радиусы для гиперболы определяются также как и для эллипса. Также определяются одноимённые фокусы и директрисы.

Эксцентриситет равнобочной гиперболы равен

Эксцентриси тет характеризует степень отличия гиперболы от равнобочной. Гиперболы, получающиеся одна из другой равномерным расширением (сжатием), имеют одинаковые эксцентриситеты.

Давайте рассмотрим анимацию, которая и демонстрирует фокальное свойство гиперболы и эллипса.

В данной анимации вы видите построение гиперболы и эллипса на основе фокального свойства.

(4) 

Утверждение. Гипербола (4) является геометрическим местом точек M:

Доказательство. Т.к. координаты F2 равны (c, 0), то

Аналогично доказывается, что

Итак, r1 = |ex + a|, r2 = |ex − a|. Т.к., для гиперболы e>1 и |x| ≥ a , то |ex| ≥a.

Обратно, пусть |r1 − r2| = 2a, т.е.,

После преобразований аналогичных тем, что были проделаны в случае эллипса, мы получим для x и y соотношение (4):

2.2.2. Директориальное определение гиперболы и его свойство

Утверждение. Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых от фокуса до одноимённой директрисы равно эксцентриситету:

Доказательство. Рассмотрим случай, когда и фокус, и директриса правые. Расстояние от точки M (x, y) гиперболы до правой директрисы

При доказательстве фокального свойства гиперболы было получено, что расстояние точки M (x, y) гиперболы до правого фокуса равно

Как и в случае эллипса следует доказать обратное

Замечание.

O — центр; A — вершина; F — фокус; D — пересечение директрисы с фокальной осью; e — эксцентриситет

2.3. Парабола и её свойства

2 .3.1. Определение параболы 

Определение. Кривая второго порядка называется параболой, если существует прямоугольная система координат Oxy, в которой уравнение этой кривой имеет вид: , где . (5)

К оординаты, в которых уравнение параболы имеет вид (5), называются каноническими координатами для данной параболы, а уравнение (5) — каноническим уравнением.

Ось абсцисс системы канонических координат является осью симметрии параболы, т.к., M (x, y) ∈ Π M (x, −y) ∈ Π.

На этом основании эта прямая называется осью параболы (или фокальной осью). Точка O (0, 0) – пересечения оси с параболой называется вершиной параболы.

точка F ( , 0) — фокус, |OF| = — фокусное расстояние, прямая x = − — директриса, число p — фокальный параметр.

Напомним, что эллипсы и гиперболы, преобразующиеся друг в друга равномерным расширением, имеют одинаковые эксцентриситеты. Поэтому все параболы должны иметь одинаковые эксцентриситеты.

Будем считать, что для параболы (для всех парабол) эксцентриситет равен единице: e = 1.

Отметим отличие ветви гиперболы от ветви параболы.

В случае гиперболы (s) → α при s → ∞. В случае параболы (s) → 0 при s → ∞. Показать.

Тоже самое другими словами (s) → 0 при s → −∞.

Ветвь любой параболы можно поместить в произвольно малый угол

Ветвь гиперболы нельзя поместить в угол меньший чем угол между асимптотами гиперболы.

У параболы нет асимптот

2.3.2. Директориальное свойство параболы

Рассмотрим директориальное свойство параболы на примере анимаций.

 

Утверждение. Парабола является геометрическим местом точек, у которых расстояния до фокуса и до директрисы равны: r = d.

Доказательство. Покажем, что для параболы y2 = 2px выполняется r = d .

Рассмотрим построение параболы на основе директориального свойства.

Инструмент для построения параболы на основе сформулированного свойства.

2.4. Закрепление учебного материала

Рассмотрим несколько прикладных задач, основанные на кривых второго порядка.

Задача 1.

Для спутников, движущихся вокруг Земли по эллиптическим орбитам, выразите длину большой оси эллипса через полную энергию спутника Е.

Решение:

Рассмотрим эллиптическую орбиту спутника. Пусть в одном из фокусов эллипса находиться Земля, тогда точка А (афелий) соответствует максимальному удалению спутника от Земли, а точа П (перигелий) является точкой минимального удаления.

ПF1=r1;

F1A=r2;

2a= r1+r2

Полная энергия спутника равна:

, где m – масса спутника, v1 – его скорость, МЗ – масса Земли;

По второму закону Кеплера:

L=mVr – момент импульса точки, тогда сократив на m, получим соотношение:

, выразим v1 через L, получим квадратное уравнение относительно r1:

Уравнение имеет два решения, которые соответствуют двум точкам А и П:

Отсюда находим большую полуось эллиптической орбиты спутника:

.

При фиксированном значении полной энергии спутник может двигаться по большому семейству эллиптических орбит, но все эти орбиты будут иметь одну и ту же большую ось. А если мы знаем величину большой оси эллипса орбиты спутника, то мы однозначно сможем вычислить полную энергию спутника. Естественно, что полученная связь имеет место не только для спутников орбит Земли, но и для орбит планет Солнечной системы, для спутников других планет – главное, чтобы это были спутники, т.е. тела масса которых много меньше массы тела, вокруг которого они вращаются.

Задача 2.

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h=760 км над поверхностью Земли. Его хотят перевести н6а эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли H=40000 км и минимальным расстоянием от поверхности h=760 км. На сколько для этого необходимо изменить скорость спутника? Решение: Минимальное расстояние от поверхности Земли до эллиптической орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, т.е. обе орбиты имеют одну общую точку, в которой и произошло изменение скорости. Пусть R – радиус Земли, V0 – первоначальная скорость, V1 новая скорость, M – масса Земли, m – масса спутника. Первоначально спутник имеет: ; => по второму закону Ньютона

отсюда найдем

По закону сохранения энергии и законам Кеплера:

; – на высоте h;

; - на высоте H;

По второму закону Кеплера площади, заметаемые радиус-вектором за равные промежутки времени, равны.

=> из равенств законов сохранения энергии и второго закона Кеплера

Подставив численные значения, получим изменение скорости:

.

- В завершении занятия я предлагаю закрепить пройденный материал с помощью интерактивного теста.

Подведение итогов

- Сегодня на занятии мы рассмотрели основные определения и свойства кривых второго порядка. Сегодня мы рассматривали построение гиперболы с помощью натянутой нити. В качестве самостоятельной исследовательской работы я предлагаю вам доказать данное построение.

Так же, в качестве заданий для самостоятельной работы я предлагаю выполнить следующие задачи:

Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси Ох и что точка пересечения прямых у = х и х + у − 2 = 0 лежит на параболе.

Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (0;10) к расстоянию до прямой x = −4 равно . Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Система понятий, формируемых в лекции

Основные понятия, вводимые в лекции

Кривая второго порядка на евклидовой плоскости – это множество точек M, координаты (x, y) которых удовлетворяют уравнению .

Эллипс — это геометрическое место точек М на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и обозначаемая 2а.

Кривая второго порядка называется эллипсом, если существует прямоугольная система координат Оху, в которой уравнение этой кривой имеет вид:

, где

Канонические координаты для эллипса - координаты, в которых уравнение эллипса имеет вид .

Каноническое уравнение эллипса — это уравнение вида , где

Эксцентриситет — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности.

Фокальный параметр — отрезок, перпендикулярный большой полуоси, а также выходящий за фокус эллипса.

Директриса — прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Кривая второго порядка называется гиперболой, если существует прямоугольная система координат Oxy, в которой уравнение этой кривой имеет вид: , где .

Канонические координаты для гиперболы - координаты, в которых уравнение эллипса имеет вид , где .

Каноническое уравнение гиперболы - это уравнение вида , где .

Кривая второго порядка называется параболой, если существует прямоугольная система координат Oxy, в которой уравнение этой кривой имеет вид: , где .

Канонические координаты для гиперболы - координаты, в которых уравнение эллипса имеет вид , где .

Каноническое уравнение гиперболы - это уравнение вида , где .

Презентация к лекцииPPTX / 19.72 Мб
Онлайн-лекция и система заданийZIP / 12.73 Мб

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Александров П. C. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П.С. Александров. – Санкт-Петербург : Лань, 2009. – 512 с.

Бортаковский, А.С. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие/ А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. – Москва : Высш. шк., 2005. – 496 с.

Гордиенко В.М. Лекции по аналитической геометрии. Семестр 1 / В.М. Гордиенко Новосибирск: НГУ, 2008-2009. — 348 с.

Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие/ Н.В. Ефимов. – 13-е изд., стереот. – Москва : Физматлит, 2005. – 240 с.

Ильин В. А. Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб. Для вузов. — 7-е изд., стер. — М.: ФИЗМ АТЛИТ 2009. — 224 с.

Примерная основная образовательная программа по учебной дисциплине «Аналитическая геометрия» / сост. Коваленко Н.В., Мазнев А.В.,. – ГОУ ВПО «ДонНу». – Донецк: Истоки, 2020. – 31 с.

Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии/ О.Н. Цубербиллер. – Москва : Наука, 2006. – 336 с.

Учебный план (donnu.ru)

Описание ООП на 2020 44.03.05 Пед. образование (Матем. и информ.).pdf (donnu.ru)