Занятие по математике на тему «Решение логарифмических уравнений»

План занятия

по учебной дисциплине «Математика»

Тема занятия: «Решение логарифмических уравнений» (2 часа)

Цели:

1. Актуализировать и систематизировать знания учащихся по теме «Логарифмы».

2. Изучить способы решения логарифмических уравнений.

3. Создать условия для развития для развития у обучаемых навыков самоконтроля, взаимоконтроля, самостоятельного выполнения заданий, умения теоретически обосновывать результат практической работы.

3. Создать условия для развития коммуникативных навыков в ходе работы в малых группах; развивать интерес к предмету.

 

Тип урока: изучение и первичное закрепление знаний и способов деятельности.

Вид урока: урок – практикум.

Форма организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Методы обучения: словесный, наглядно-демонстративный, практический, самостоятельная работа обучающихся.

 

Оснащение урока: мультимедийная презентация, учебник «Алгебра и начала анализа» 10-11класс под редакцией Колмагорова А.Н., раздаточный материал.

 

Ход урока

1. Организационный момент

2. Целеполагание

3. Устное сообщение обучающегося по теме урока

4. Актуализация и систематизация опорных знаний учащихся: Экспресс-опрос «Закончи фразу»

5. Объяснение нового материала, закрепление и первичный контроль

5.1. Объяснение нового материала

5.2. Решение логарифмических уравнений по определению логарифма числа

5.3 Тест по теме: «Логарифмы»

5.4. Способ потенцирования

5.5. Способ введения новых переменных

5.6. Способ логарифмирования

5.7. Применение основного логарифмического тождества

5.8. Самостоятельная работа по теме: «Решение логарифмических уравнений»

 

6. Подведение итогов

7. Домашнее задание

8. Рефлексия

 

 Конспект урока по теме «Решение логарифмических уравнений».

I. Организационный момент.

Приветствие, проверка явки обучающихся.

Тема урока «Решение логарифмических уравнений».

Слайд 1.

 

II. Формулирование цели, задач урока.

Эта тема вам знакома. Материал по теме мы изучали. Поэтому цели обозначить вам не составит труда. Какие цели урока ставит перед собой каждый из вас?

Возможные варианты ответов:

Повторить определение логарифма числа, его свойства.

Повторить свойства логарифмической функции.

Выяснить какое уравнение называется логарифмическим.

Рассмотреть способы решения логарифмических уравнений.

Закрепить знания, умения и навыки при решении заданий по теме.

Отработать полученные знания, умения и навыки при решении заданий по теме.

Проверить знания, умения и навыки.

Итак, цели нашего урока:

повторить свойства логарифма числа и его свойства;

изучить способы решения логарифмических уравнений;

отработать навыки и умения применения знаний по теме путем решения проверочных упражнений.

Слайд 2.

 

Для достижения целей обозначим основные этапы урока:

1) Экспресс – опрос «Закончи фразу».

2) Способы решения логарифмических уравнений.

3) Тест по теме: «Логарифмы».

4) Самостоятельная работа по теме: «Решение логарифмических уравнений».

Слайд 3.

III. Открыли рабочие тетради. Записали дату и тему урока «Решение логарифмических уравнений».

Слайд 4.

IV. Устное сообщение обучающегося по теме: «Логарифмы вокруг нас».

Для того чтобы заострить внимание на актуальности темы занятия и познакомиться ближе с логарифмами прослушайте сообщение «Логарифмы вокруг нас» подготовленное Анастасией Паульс.

Сообщение «Логарифмы вокруг нас». Презентация «Логарифмы вокруг нас».

(После выступления) Я думаю, что прослушанная информация пригодится при изучении других предметов.

 

V.

Экспресс-опрос «Закончи фразу»

Слайд 5

Отвечают по цепочке.

1)Повторить определение, свойства логарифмов. Слайд 6-8

2)Вычислить

Слайд 9.

 

3) График функции. Слайд 10

Решение логарифмических уравнений
PPTX / 1.2 Мб

Логарифмы вокруг нас
PPTX / 2.24 Мб

VI. Изучение нового материала (решение логарифмических уравнений).

Итак, тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений». Какая основная цель занятия? Научиться решать логарифмические уравнения.

Слайд 11

VI.1

Что значит решить уравнение?

Что такое корень уравнения?

Какие уравнения называют логарифмическими?

А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма, как его назвать?

(логарифмическое). Предложить обучающимся дать определение логарифмического уравнения.

Итак, определение логарифма (электронное приложение)

Определение: Уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма или в основании логарифма, называется логарифмическим уравнением.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение

 Logа x = b (где а>0, a ≠ 1).

Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение.

По определению логарифма x=ab.

 

VI.2

Какое преобразование называют логарифмированием? (Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).

Какое преобразование называют потенцированием? (Действие, которое заключается в нахождении числа по данному логарифму, называют потенцированием).

Помни!

При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования и свойства логарифмов. Следует иметь в виду, что указанные операции могут привести к уравнениям, не равносильным данным.

Логарифмирование – это опасная операция, т.к. при ней может произойти потеря корней.

Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.

При потенцировании потери корней не происходит, но могут получиться посторонние корни, которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение.

Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается отрицательное число или нуль, то этот корень надо отбросить как посторонний.

 

VI.3

Слайд 12

 

При решении логарифмических уравнений часто используют следующие способы:

1.Решение логарифмических уравнений по определению логарифма числа.

2. Способ потенцирования.

3. Способ введения новой переменной.

4. Способ логарифмирования.

5. Применение основного логарифмического тождества.

Запишите себе в тетрадь.

Некоторые из этих методов мы рассмотрим на занятии.

 

VI.4

Слайд 13

 

Рассмотрим способ решения логарифмических уравнений используя определение логарифма на конкретном примере. На партах находится раздаточный материал для решения уравнений. В раздаточном материале это уравнение №1. Решаю с комментариями.

№1.

Слайд 14

Далее работаем по учебникам.

Открыли учебник на стр. 193. Нашли № 549. Прочитали задание.

Решаем по рядам таким образом:

I ряд – а

II ряд – б

III ряд – в

К доске выходят по представителю от каждого ряда и решают уравнения.

Остались вопросы? Что еще вызывает трудность?

 

Слайд 15

Продолжим решать уравнения по определению логарифма.

В раздаточном материале это уравнение №2. У доски решает обучающийся с комментариями.

№2.

По вариантам решаем №3(1 вариант), №4(2 вариант). У доски представители от каждого варианта решают уравнения.

1 вариант №3 log13(x-4)=1

2 вариант №4 log2(x+1)=3

№3

log13(x-4)=1 ОДЗ: x-4>0

x-4=13 x>4

x=17 Є ОДЗ

Ответ: 17.

№4

log2(x+1)=3 ОДЗ: x+1>0

x+1=23 x>-1

x=8-1

x=7 Є ОДЗ

Ответ: 7

Остались вопросы? Что еще вызывает трудность?

 

VII.

Слайд 16

Работа в малых группах по типу ЕГЭ. (5 мин.)

На столах лежат проверочные работы. В парах решаем проверочную работу по типу ЕГЭ. Прочитай внимательно, к указанным логарифмам подбери верный номер ответа и заполните таблицу ответов.

Критерии оценки:

«5» - за 5 верно решенных задания;

«4» - за 4 верно решенных задания;

«3» - за 3 верно решенных задания;

«2» - за 0-2 верно решенных задания.

Задание: Прочитай внимательно, к указанным логарифмам подбери верный номер ответа и заполни таблицу ответов.

I) Вычислить log327.

Ответ: 1) 2; 2) -2; 3) 3; 4) -3. 

II) Вычислить log612+log63.

Ответ: 1) 2; 2) -2; 3) 3; 4) -3.

 III) Вычислить log215-log230.

Ответ: 1) 1; 2) -1; 3) 2; 4) -2.

 IV) Решите уравнение log4x = -1

Ответ: 1) 1/4; 2) -1/4; 3) 4; 4) -4.

 V) Решите уравнение lg(3x+4) = 2.

Ответ: 1) 52; 2) 342; 3) 35; 4) 32

Таблица ответов

 

Слайд 17

Эталон правильных ответов

 

Поставили оценку за проверочную работу.

 

Переходим к изучению других способов решения логарифмических уравнений.

 

Слайд 18

VIII. Способ потенцирования.

Какое преобразование называют потенцированием? (Действие, которое заключается в нахождении числа по данному логарифму, называют потенцированием).

Суть способа потенцирования заключается в том, что происходит переход от уравнения logaf(x)= logay(x) к следствию f(x)=y(x).

 

Решим уравнение №5 lg(x2-15)=lg(2x)

Обсуждаем группой, к доске выходит представитель группы и решает его с комментариями.

lg(x2-15)=lg(2x)

x2-15=2x

x2-2x-15=0

x1=5, x2=-3

Проверка

Если x=5 ,то lg(52-15)=lg(2·5)

lg10=lg10 верно, то корень

Если x=-3 ,то lg((-3)2-15)=lg(2·(-3))

lg(-6)=lg(-6) неверно, не корень

Ответ: 5

 

Решите уравнение (3 человека работают у доски)

№6 log3(2x+3)=log3(x+5) I ряд Ответ: 2

№7 log2(3x+4)=log2(x+6) II ряд Ответ: 1

№8 log5(4x+1)=log5(3x+7) III ряд Ответ: 6

 

Слайд 19

IX. Способ введения новой переменной.

Решали ли мы уравнения другого вида этим способом? (да) Какие это были уравнения? Биквадратные, иррациональные, показательные.

 

Суть метода заключается в том, чтобы одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные заменить на новую переменную.

 

Рассмотрим на примере: № 9.

log22x-3log2x+2=0. ОДЗ: x>0

Пусть log2x = y

y2 – 3y +2 = 0 Корни уравнения y1=1; y2=2.

log2x = 1 или log2x = 2

x=21 или x=22

x=2 Є ОДЗ или x=4 Є ОДЗ

Ответ: 2; 4.

 

IX. Итог занятия

Подведем итог занятия. Слайд 20.

 

Какие цели мы ставили в начале урока и достигли ли их?

Возможные варианты ответов:

 

На что обратили внимание на уроке?

Какие задания вызвали трудности при решении?

 

Подводя итог занятия, в подтверждение тому, что тема сегодняшнего занятия актуальная, нужная, обращаю вас к фрагменту фильма «Применение логарифмов в разных областях естествознания».

 

X. Домашнее задание: п. 39, № 549(ж, з), 561(а, б), 573(е).

 

 

XI. Рефлексия.

 

А, вот теперь отразили свое настроение на листах рефлексии. Время заполнения 1 минута. Слайд .

Прочитайте внимательно, выберите свой ответ на вопрос.

1. Удовлетворен ли ты своей работой на уроке?

а) да; б) частично; в) нет; г) затрудняюсь ответить.

2. Каким образом ты собираешься устранить пробелы?
а) спросить у преподавателя; б) спросить у товарища;
в) справлюсь сам; г) не знаю.

3. Смог бы объяснить процесс решения задачи своему товарищу?
а) да; б) частично; в) нет; г) затрудняюсь ответить;

4. Какую форму работы на уроке ты предпочитаешь?
а) индивидуальную; б) парную;
в) по подгруппам; г) всей группой.

Выбери картинку, соответствующую твоему настроению на уроке:

 

 

 

Приложение 1.

Раздаточный материал

 

Решить уравнение.

№1 log9(x-3)=1

№2 log11(2x+1)=2

№3 log13(x-4)=1

№4 log2(x+1)=3

№5 lg(x2-15)=lgx

№6 log3(2x+3)=log3(x+5)

№7 log2(3x+4)=log2(x+6)

№8 log5(4x+1)=log(3x+7)

№ 9. log22x-3log2x+2=0

 

Приложение 2.

Презентация Решение логарифмических уравнений

 

Приложение 3.

Презентация «Логарифмы вокруг нас»