Проектная работа «Математическое моделирование физических явлений»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Зубово-Полянская средняя общеобразовательная школа №1»

 

Исследовательская работа на тему

«Математическое моделирование физических явлений»

 

Руководитель: Беглова Татьяна Александровна,

учитель математики

 

Выполнили: Максимова Екатерина Сергеевна,
Трунькина Ирина Дмитриевна,

ученицы 8К класса

Зубова Поляна - 2018г.

Оглавление

1.Введение…………………………………………………………………………………3

2.Основное содержание………………………………………………………………….4-11

2.1.Что такое математическая модель и математическое моделирование?.....................................................................................................................4

2.2.Где используется математическое моделирование?..................................................5-6

2.3. Использование математического моделирования физиками…………………………………………………………………………………....7

2.4. Типы математического моделирования………………………………………………8

2.5.Этапы математического моделирования………………………………………………9

2.6.Классификация математического моделирования…………………………………...10

2.7.Применение математического моделирования на практике………………………...11

3. Вывод……………………………………………………………………………………..12

4.Список литературы………………………………………………………………………13

5.Приложения…………………………………………………………………………...14-19

 

 

2

Тема: Математическое моделирование физических явлений.
Цель: На примере физических задач показать возможности математического моделирования в физике.
Задачи:
1.Ввести понятие «Математическая модель», «Математическое моделирование».
2.Узнать, какие существуют типы и этапы математического моделирования.
3. Узнать, как математическое моделирование применяется в физике.
4. Научиться реализовывать модели на практике с целью проверки их эффективности.

Гипотеза: Математическое моделирование – третий путь познания.

Объектом исследования являются физические явления.

Предметом исследования является математическое моделирование физических явлений при решении задач.

Актуальность: Необходимыми становятся не сами знания, а знание о том, где и как их применять. Но еще важнее – знание о том, как информацию добывать или создавать.
 

 

3

Математическая модель - математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе, это формулы, системы, неравенства.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием. Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов. В настоящее время математическое моделирование это один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного исследования. Фактически все современные разделы физики посвящены построению и исследованию математических моделей различных физических объектов и явлений.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. «Математическое моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель), находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его в определённых отношениях и дающая при её исследовании, в конечном счёте, информацию о самом моделируемом объекте.» (Алексей Андреевич Ляпунов)

«Математическая модель — это «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства —законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.» (Самарский Александр Андреевич и Михайлов Александр Петрович)

«Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе». (Севостьянов Алексей Григорьевич)

 

 

4

Все современные разделы физики посвящены построению и исследованию математических моделей различных физических объектов и явлений.

Так физики - «ядерщики» до проведения экспериментов выполняют серьезные исследования с применением математических моделей.

Идут активные работы по созданию математических моделей в экологии. (Приложение 1)

Предвидеть ответные реакции системы на действие конкретных факторов можно лишь через сложный анализ существующих в ней количественных взаимоотношений и закономерностей. В экологии поэтому широкое распространение получил метод  математического моделирования  как средство изучения и прогнозирования природных процессов.

Суть метода заключается в том, что с помощью математических символов строится абстрактное упрощенное подобие изучаемой системы. Затем, меняя значение отдельных параметров, исследуют, как поведет себя данная искусственная система, т. е. как изменится конечный результат.

Огромную роль играет использование математических моделей в медицине.

Медицинская кибернетика - научное направление, связанное с проникновением идей, методов и технических средств кибернетики в медицину. Развитие идей и методов кибернетики в медицине осуществляется в основном в направлениях создания диагностических систем для различных классов заболеваний с использованием универсальных или специализированных ЭВМ; создания автоматизированного электронного медицинского архива; разработки математических методов анализа данных обследования больного; разработки метода математического моделирования на ЭВМ деятельности различных функциональных систем; использования математических машин для оценки состояния больного.

 

 

5
 

Диагностика онкологических заболеваний

Ключевое значение для медицины имеет диагностика. Диагностика онкологических заболеваний осуществляется с применением математических методов описания и анализа сложных явлений при помощи вычислительных систем с применением современных методов магнитно-резонансной спектроскопии и фундаментальными знаниями о метаболизме (его регуляции).

Магнитно-резонансная томография (МРТ) - это метод отображения, используемый для получения высококачественных изображений органов человеческого тела. МРТ основана на принципах ядерно-магнитного резонанса (ЯМР), методе спектроскопии, используемом учеными для получения данных о химических и физических свойствах молекул. МРТ находит все более широкое применение в медицинской практике и отличается от других методов высоким контрастом мягких тканей и безопасностью воздействия на организм человека.

(Приложение 2)

 

6

Алекса́ндр Андре́евич Сама́рский  — советский и российский математик, 

Александр Андреевич Самарский — известный специалист в области вычислительной математики, математической физики, теории математического моделирования. Создатель теории операторно-разностных схем, общей теории устойчивости разностных схем.

С 1948 года совместно с академиком А. Н. Тихоновым разрабатывал численные методы и вёл первые в СССР прямые расчёты мощности взрыва атомной, а позже — водородной бомбы, хорошо совпавшие с испытаниями. В этих работах были заложены основы математического моделирования и созданы важнейшие принципы конструирования и обоснования разностных схем и параллельных вычислений. (Приложение 3)

 

Андре́й Никола́евич Ти́хонов — советский математик и геофизик, академик Академии наук СССР, Основатель факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Автор широко применяемого вычислительного метода, получившего название «регуляризация Тихонова». Получил фундаментальные результаты в области математической физики, теоретической геофизики, моделирования физико-химических процессов. Доказал теоремы единственности для уравнения теплопроводности. В 1948 году по распоряжению правительства организовал вычислительную лабораторию для расчёта процесса взрыва атомной бомбы. Выполнил фундаментальные исследования по разработке теории и методике применения электромагнитных полей для изучения внутреннего строения земной коры. Под руководством Тихонова созданы алгоритмы решения многих прикладных задач.

(Приложение 4) 

 

 

7

Процесс математического моделирования можно подразделить на четыре типа:

Первый тип:

Формулирование законов, связывающих основные объекты модели, результат - запись в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели;

Второй тип:

Исследование математических задач, к которым приводят математические модели, основной вопрос – решение прямой задачи – получение в результате анализа модели выходных данных для сопоставления их с результатами наблюдений изучаемых явлений;

Третий тип:

Выяснение того соответствует ли принятая модель критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуется ли результат наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений

Четвертый тип:

Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели.

 

 

8

Основные этапы математического моделирования

1. Построение модели.

На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель.

2.Решение математической задачи, к которой приводит модель.

На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3.Интерпретация полученных следствий из математической модели.

Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4.Проверка адекватности модели.

На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5.Модификация модели.

На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

 

9

Классификация математического моделирования

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими.

Детерменированные модели - это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления. Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов.

Стахостические модели - это модели, в которых параметры, условия функционирования и характеристики  состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны случайными зависимостями. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стохастическую модель.

 

10

Применение математического моделирования на практике

Исследуя нашу тему, мы решили применить математическое моделирование на практике и решить несколько задач на эту тему. Поискав задачи, оказалось, что все задания решаются через интеграл, а мы с этой темой ещё не знакомы. Но мы решили не останавливаться и поискали задачи в нашем учебнике физики. Выбрав несколько задач, принялись за решение. В итоге у нас получились задачи, которые мы решили с помощью математического моделирования. Вот некоторые из них..... (Приложение 5,6)

 

 

11

Вывод: Изучение математических моделей физики математическими методами не только позволяет получить количественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и дает возможность глубокого проникновения в самую суть физических явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Моделирование — не только одно из средств отображения явлений и процессов реального мира, но и объективный практический критерий проверки истинности наших знаний, осуществляемой непосредственно или с помощью установления их отношения с другой теорией, выступающей в качестве модели, адекватность которой считается практически обоснованной.

 

 

12

Список литературы:
1.Википедия.
2. http://www.myshared.ru/slide/967683/
3. https://pp.userapi.com/c847121/v847121376/14fbc/gnBP9Nmgua0.jpg
4. https://cyberpedia.su/9x9f9e.html
5. http://testdoc.ru/raznoe/test-s-otvetami-na-temu-matematicheskoe-modelirovanie.html
3. https://pptcloud.ru/informatika/modelirovanie-fizicheskih-processov
4. https://www.ronl.ru/prezentatsii/matematika/293399/
5. http://math.phys.msu.ru/data/530/VMM1._Glava_1.pdf
6. http://www.myshared.ru/slide/967683/
7. https://kopilkaurokov.ru/fizika/presentacii/priezientatsiia-na-tiemu-modielirovaniie-fizichieskikh-protsiessov
8. https://ppt4web.ru/informatika/matematicheskoe-modelirovanie-chislennye-metody-i-ispolzovanie-ehvm-v-reshenii-prikladnykh-zadach.html

 

 

13

 

(Приложение 1)

 

 

14
 

(Приложение 2)

 

 

15

 

(Приложение 3)

 

16

 

(Приложение 4)

 

 

17

(Приложение 5)

 

 

18

(Приложение 6)

19