Ромашкина Марина Ивановна

Моделирование динамики экономических явлений

Материал опубликован 6 September 2022

Оглавление

Глава 2. Моделирование динамики экономических явлений 2

2.1. Моделирование функций спроса и предложения 2

2.2. Динамичная модель рынка 6

2.3. Использования понятия эластичности при моделировании экономических явлений 7

2.4. Моделирование эффективности рекламы 10

2.5. Моделирование рекламной кампании 12

2.6. Моделирование выражения для нахождения объёма реализованной продукции 13

2.7. Модель Солоу экономического роста 15

2.8. Модель Харрода-Домара 17

2.9. Моделирование динамики банковского вклада 21

2.10. Моделирование паутинообразной модели рынка 24

2.11. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса 31

Глава 2. Моделирование динамики экономических явлений

2.1. Моделирование функций спроса и предложения

Прежде чем построить модель спроса и предложения, рассмотрим их определения. Как известно из экономики, спрос – это способность и желание покупателей приобрести определённый товар или услугу. Величина (объём) спроса – это количество товаров и услуг, которое готов приобрести покупатель по конкретной цене, в определенный промежуток времени. Различают индивидуальный спрос одного лица, рыночный спрос на данном рынке и совокупный спрос на всех рынках данного товара или на все производимые и продаваемые товары. Отдавая дань традиции, используем первую букву английского слова demand (спрос) для обозначения величины спроса , а также соответствующей функции.

Функция спроса устанавливает зависимость между объемом спроса и определяющими его факторами. К глобальным определяющим факторам, как правило, относят: усреднённые доходы потребителей, цену данного товара (от англ. price - цена) и цены конкурирующих с ним товаров. К факторам, влияющим на спрос отдельных потребителей, относят уровень дохода семьи и их предпочтения. Спрос изменяется со временем, и к факторам, определяющим спрос в то или иное время, относят, в частности, погодные условия, экономический климат, курсы валют, ожидания изменения цен.

Закон спроса. Величина спроса уменьшается по мере увеличения цены товара. Можем сказать, что зависимость спроса от цены является убывающей функцией, т.е. между величиной спроса и ценой существует обратная зависимость, когда повышение цены вызывает понижение величины спроса, а снижение цены вызывает повышение величины спроса.

Предложение – это способность и желание продавцов предложить определенное количество товара. Величина (объём) предложения – это то количество товара или услуг, которое продавцы способны и готовы продать по определенной цене в заданном месте и в заданное время. Для обозначения величины предложения и соответствующей функции используем первую букву английского слова supply (предложение). Функция предложения () устанавливает зависимость между количеством товара, которые продавцы хотят и могут продать, и определяющими его факторами. К факторам, влияющим на предложение, относят: цены на ресурсы, изменения в технологии производства, налоги и дотации, цены на другие товары, ожидания изменения цен.

Закон предложения. Зависимость объёма предложения от цены товара является возрастающей функцией: при прочих равных условиях изменение величины предложения товара или услуги находится в прямой зависимости от изменения цены этого товара или услуги. Другими словами, согласно закону предложения, с ростом цены товара величина предложения растет, а уменьшение его цены вызовет падение объема предложения.

Спрос и предложения связаны между собой. Введём определение равновесия на рынке. Равновесием на рынке называется такая ситуация, когда продавцы предлагают к продаже ровно такое количество товаров, которое покупатели решают приобрести. Другими словами, объем спроса равен объему предложения: .

Цена, вызывающая совпадение объемов спроса и предложения, называется равновесной ценой. (Цена уравнивает объемы спроса и предложения.)

В простейших моделях функции спроса и предложения зависят только от текущей цены на товар . Однако, как правило, в реальных ситуациях спрос и предложение зависят не только от текущей цены, но также от скорости изменения цены и темпа изменения цены; в некоторых случаях целесообразно учитывать также зависимость спроса и предложения от «ускорения» изменения цены. Время в моделях экономической динамики может рассматриваться либо как непрерывное, либо как дискретное (последний вариант означает, что величины цен, спроса и предложения отслеживаются в отдельные моменты времени с некоторым постоянным шагом, например, один раз в день или один раз в месяц).

В моделях с дискретным временем скорость изменения цены описывается (первой) конечной разностью последовательности цен () в рассматриваемые моменты времени:

а темп изменения цены – это отношение указанного приращения цены к её значению в момент времени t:

(вообще, темп роста – это отношение значения какого-либо экономического показателя за определенное время к его исходному значению, которое принято за основу отсчета).

Ускорение роста (вообще, изменения) цены описывается второй конечной разностью: .

Соответственно в моделях с непрерывным временем такие свойства описываются первой производной цены

логарифмической производной цены

и второй производной функции цены . Для решения таких задач используются дифференциальные уравнения, так как предполагается, что время имеет непрерывный характер. С другой стороны, в моделях с дискретным временем для описания динамики спроса и предложения используются разностные уравнения.

Рассмотрим различные подходы к моделированию рыночного равновесия в случае непрерывного времени.

1. Функции спроса и предложения в простейшем случае линейно зависят от цены товара :

, где ;

, где .

Равновесную цену в такой модели можно найти из условия равенства спроса и предложения:

2.Спрос и предложения зависят от цены и скорости изменения цены.

Предположим, что функция спроса и предложения имеют вид:

, ,

где – константы. Предположим, что требуется найти равновесную цену в зависимости от времени , если в начальный момент . Из условия равновесия спроса и предложения получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

3. Спрос и предложение зависят от цены, скорости изменения и темпа изменения цены.

Темп изменения цены стимулирует спрос. Если темп растет, при этом , то покупатели проявляют повышенный интерес к товару. Поэтому в функции спроса коэффициент при положителен. Предложение в большей мере усиливается темпом изменения цены. Поэтому в функции предложения коэффициент при также положителен, но он больше, чем в функции . Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому коэффициент при отрицательный. При этом предложение увеличивается, и в функции коэффициент при положителен. Таким образом, получаем модель рынка в виде дифференциального уравнения второго порядка

где , , .

Для нахождения динамики равновесной цены необходимо добавить к этому уравнению начальные условия:

2.2. Динамичная модель рынка

Пусть – величина спроса на товар при заданной цене , а – величина предложения товара при заданной цене .

Функции спроса и предложения в простейшем случае линейно зависят от цены товара :

, где ;

, где .

Рыночные цены образуются с учётом соотношения между спросом и предложением. Предполагая скорость изменения цены пропорциональной разности между спросом и предложением с некоторым постоянным коэффициентом , приходим к дифференциальному уравнению для рыночных цен: .

( принадлежит множеству действительных чисел)

Выражаем

При : .

Замечаем, что цена стремится к равновесной из п.1.

Результат, относящийся к устойчивости равновесной цены, можно получить также без решения дифференциального уравнения, методом качественного анализа уравнения. Действительно, если спрос превышает предложение:, то , так что цена растет, и наоборот. В результате положения равновесия – равновесная цена – устойчиво.

Также существует и другая модель формирования рыночных цен, в которой цены приближаются к равновесию не монотонно, а совершая колебания.

2.3. Использования понятия эластичности при моделировании экономических явлений

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности, в частности, при анализе функций спроса и потребления.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению независимой переменной при стремлении к нулю.

Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на .

Рассмотрим несколько видов эластичности.

1. Эластичность спроса по цене (ценовая эластичность спроса).

Пусть – цена некоторого товара в денежные единицах за единицу товара, а – спрос на этот товар в единицах товара за единицу времени. Ранее было отмечено, что функция спроса является функцией невозрастающей. Будем считать ее монотонно убывающей, то есть при повышении цены на товар спрос падает.

Тогда производная спроса по цене , следовательно, эластичность спроса по цене , определяемая как

явдяется величиной отрицательной, .

Поэтому в экономике часто под эластичностью понимают ее абсолютную величину и когда говорят о высокой эластичности, имеют в виду большое значение модуля .

Спрос называется эластичным, если , то есть если при повышении цены товара на спрос падает больше чем на , и неэластичным, если , то есть при повышении цены на спрос падает менее чем на .

Если , то спрос называют совершенно неэластичным.

Рассмотрим как себя ведет себя общий доход (выручка)

продавца в единицу времени при эластичном и неэластичном спросе. Выразим производную общего дохода продавца по цене через эластичность

Эта производная, так же как и производная дохода продавца по спросу , в экономике называется предельным доходом продавца.

В последнем равенстве записан модуль со знаком минус, так как эластичность спроса по цене всегда .

Основные выводы:

1. Если спрос эластичный, то есть , то и . Это означает, что общий доход продавца при повышении цены падает.

2. Если спрос неэластичный, то есть , то и , то есть общий доход продавца при повышении цены растет. Поэтому при эластичном спросе продавцы невыгодно повышать цену на товар, а при неэластичном спросе – выгодно.

3. Можно показать, что эластичность спроса по цене тем выше, чем выше замещаемость товара. Например, пусть на товар №1 цена повышается. Предположим, что существует аналогичный по назначению товар №2, на который цена не увеличивается. Тогда ценовая ценовая эластичность на товар №1 очень высока.

4. Эластичность спроса по цене тем выше, чем выше удельный вес расходов на данный товар в доходе потребителя. Ясно, что ценовая эластичность спроса на очень дешевый товар низкая, например, на спички (спрос на спички практически не изменится, даже если их цена увеличится, допустим, на ).

2. Эластичность спроса по доходу потребителя.

Обозначим доход потребителя буквой . Эластичность спроса по доходу потребителя , показывает на сколько процентов изменится спрос на товар при повышении дохода потребителя на при неизменной цене товара.

Если , то есть если при повышении дохода потребителя спрос на данный товар растет, то товар считается нормальным (качественным), а при – малоценным.

Данная оценка зависит от асолютного уровня дохода потребителя. Один и тот же товар (например, самая дешева колбаса) при низком уровне дохода потребителя может считаться нормальным, а при высоком уровне дохода – малоценным.

3. Перекресная эластичность спроса по цене.

Перекресная эластичность спроса по цене для двух товаров характеризует относительное изменение спроса на j-й товар при изменении цены на i-й товар, заменяющий или дополняющий его в потреблении, на .

Если , то это свидетельствует о взаимозаменяемости товаров, так как увеличение цены на один товар приводит к увеличению спроса на другой (например, чай и кофе).

Если , то это говорит об их взаимодополняемости (чай и сахар). В этом случае рост цены на один из этих товаров приводит к снижению спроса на другой.

Примеры задач на различные виды эластичности приведены в приложении №1.

2.4. Моделирование эффективности рекламы

В настоящее время реклама является очень важным и результативным способом продвижения товаров или услуг всех предприятий. Эффективность рекламы – это то, в какой степени достигнуты цели перед рекламой при минимальных затратах.

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция , о которой в определенный момент времени из числа потенциальных покупателей знает лишь покупателей. Напомним, что потенциальные покупатели – это покупатели, имеющие способность и возможность приобрести какие-либо товары или услуги. Для продвижения сбыта продукции в начальный момент времени была проведена рекламная кампания, в результате которой о новинке узнали покупателей. Здесь общее число потенциальных покупателей новинки, , то есть

Найдём, как будет изменяться число покупателей, знающих о новинке, в зависимости от времени, учитывая, что далее информация о нём распространяется путём общения покупателей друг с другом. Обозначим через – число покупателей, знающих о новинке в момент времени .

С большой степенью достоверности можно предположить, что после рекламной кампании скорость изменения числа знающих о продукции в момент времени прямо пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей , так и числу покупателей, о нём ещё не знающих , а также промежутку времени , за которое это изменение происходит.

Согласно механическому смыслу производной скорость изменения числа покупателей , знающих о продукции торгового учреждения, равна . Так как время в задаче имеет непрерывный характер, то для построения модели используем дифференциальное уравнение:

или

при этом , – это положительный коэффициент пропорциональности.

Интегрируя правую и левую части непосредственно находим

откуда

Полученная функция представляет собой уравнение логической кривой. Если использовать упомянутое дополнительное условие об отсчёте времени (так называемые начальные условия в теории дифференциальных уравнений), то можно найти, что произвольная постоянная . Таким образом, количество знающих о товаре не может расти до бесконечности, а имеет некоторый предел насыщения, выше которого это количество подняться не может, сколько не увеличивай количество рекламы.

2.5. Моделирование рекламной кампании

Рекламная кампания является одной из основных сил по продвижению инновационного товара на рынок. Многие предприниматели утверждают, что бизнес без рекламы не может существовать. Реклама помогает превращать товар, предложенный фирмой в реальные деньги. Попробуем смоделировать рекламную кампанию на примере одной фирмы.

Пусть некоторая кампания разработала новый продукт или услугу. Маркетинговая стратегия кампании предполагает агрессивное рекламирование. Для того чтобы перейти к простой математической модели, введём 2 переменные:

1) Величина представляет собой рекламную активность, которая описывается темпом расхода рекламного бюджета (например, суммой в рублях или в другой валюте), которую кампания тратит на рекламу за неделю.

2) Величина описывает осведомлённость целевой группы потенциальных покупателей нового товара или услуги.

Таким образом, мы рассматриваем рыночную нишу как черный ящик.

Рекламная активность здесь играет роль входного параметра, осведомлённость потребителей является выходной переменной (она измеряет отклик системы на воздействие рекламы).

Простая модель такого типа была предложена в 1962 году. Она назывется моделью Нерлова-Эррау. Данная модель связывает между собой две введенные переменные: рекламную активность и осведомленность потребителей и описывается следующим дифференциальным уравнением: , где – некоторая постоянная, описывающая эффективность рекламы; – константа, соответствующая скорости «забывания».

Данное дифференциальное уравнение содержит два члена в правой части. Уменьшаемое обеспечивает линейнй рост осведомленности потребителей в результате воздействия рекламы. Вычитаемое описывает обратный процесс – забывание о рекламируемом продукте.

Полученной дифференциальное уравнение является однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Запишем его в стандартном виде: .

Интегрирующий множитель представляет собой экспонициальную функцию: . Общее решение данного уравнения выражается формулой:

Постоянную интегрирования определяют из начального условия ( , ).

2.6. Моделирование выражения для нахождения объёма реализованной продукции

Пусть – объём продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени . Предположим, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене и при этом выполняется условие насыщаемости рынка. Из экономики нам известно, что насыщенность рынка – это степень обеспеченности потребителей товарами, определяемая экспертным путем или в результате проведения маркетингового исследования. Тогда доход к моменту времени составит .

Введём обозначение: – величина инвестиций, направляемых на расширение производства. (Инвестиции – это вложение средств в материальные и не в материальные активы на какой-то промежуток времени с целью получения прибыли). В моделях естественного роста предполагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, то есть

(1)

В данном случае мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и её реализации, то есть считаем, что инвестиционный лаг равен нулю. Инвестиционный лаг – это временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью.

Предположим, что величина инвестиций составляет фиксированную часть дохода, получаем:

, (2)
где – коэффициент пропорциональности или норма инвестиций. Данная величина является постоянной,

Подставляя последнее выражение (2) для в (1), приходим к уравнению:

где , где – норма инвестиций, – продажная цена, – коэффициент пропорциональности между величиной инвестиций и скоростью выпуска продукции.

Получили в результате дифференциальное уравнение с разделяющими переменными. Решая его, получаем функцию:

, где (3)

Уравнение (3) объясняет также рост народонаселения (демографический процесс), динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. Как правило, кривая спроса, то есть зависимость цены реализованной продукции от её объема является убывающей функцией . Исходя из этого, с увеличение объема произведенной продукции её цена падает в результате насыщения рынка. Вследствие чего модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

(4)

Поскольку все сомножители в правой части уравнения (4) положительны, то , и это уравнение описывает уравнение возрастающую функцию

При исследовании функции на выпуклость используется понятие эластичность функции. На самом деле, из (4) вытекает, что

Напомним, что эластичность спроса (относительно цены) определяется формулой:

В таком случае выражение для можно записать в следующем виде:

Заметим, что условие равносильно равенству .

Отсюда следует, что если спрос эластичен, то есть или
, то и функция выпукла вниз. В случае если спрос не эластичен, то есть , или , то и функция выпукла вверх.

2.7. Модель Солоу экономического роста

Данную модель опубликовал Роберт Солоу в 1956 году. Рассмотрим её на примере замкнутой односекторной экономики.

Пусть – величина капитала, – количество работников, – плотность выпуска продукции, – плотность потребления, – плотность инвестирования в момент времени .

Выпуск продукции за время составит . При этом часть выпуска потребляется, остальное инвестируется в соответствии с соотношением . В данном случае – управляемая величина.

Кроме того, пусть – коэффициент амортизации капитала, то есть доля капитала, требующая замены.

Изменение капитала за промежуток времени с учётом инвестиций и амортизации составит:

Полагая все функции под знаком интеграла непрерывными, найдём производную по обеих частей уравнения последнего неравенства при :

Обозначим через капиталовооружённость труда , через производительность труда , через среднюю норму потребления одного рабочего .

Предположим, что:

1) – производительность труда зависит только от капиталовооружённости труда. Обычно функция ведёт себя наподобие функции , где (функция Кобба- Дугласса);

2) , где – население размножается нормально с постоянным темпом роста ;

3) – средняя норма потребления не зависит от времени.

При выполнении этих предпосылок справедливо соотношение:

где .

Полученное уравнение близко к уравнению отлова с заданной квотой. Капиталовооружённость труда изменяется с учётом производства и потребления, причем потребление играет в этом случае роль «отлова» капитала.

Максимальный уровень потребления , при котором ещё возможно положение равновесия (на рисунке это ), иногда называют ещё уровнем потребления по золотому правилу. Как мы знаем, это очень опасный, практически недопустимый уровень: если случайно потребление превысит этот уровень или капиталовооурожённость опустится ниже , то за конечное время капиталы иссякнут. Следует устанавливать уровень потребления ниже с некоторым запасом надёжности или установить не абсолютный, а относительный уровень потребления , где . В этих случаях будет существовать устойчивое положение равновесия (точка ).

При выборе относительного уровня потребления можно установить оптимальную величину (золотое правило относительности потребления), соответствующую максимальному значению p)) на интервале .

2.8. Модель Харрода-Домара

Наиболее простой кейнсианской моделью роста является модель Харрода-Домара. Модель описывает динамику дохода , который является суммой потребления и инвестиций , то есть

Введём обозначение:

где – это норма накопления в момент времени .

Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не учитываются. Основной предпосылкой модели роста является формула взаимосвязи между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям:

где – коэффициент капиталоемкости прироста дохода. Обратная величина называется коэффициентом капиталоотдачи.

В модель включается ряд предпосылок.

1. Модель не учитывает выбытие основного капитала.

2. Инвестиционный лаг равен нулю, то есть инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала. Это означает, что инвестиции за бесконечный малый промежуток времени равны приросту капитала , то есть:

3. Подставив последнюю формулу в (2) найдём

Отсюда следует, что производственная функция модели линейна:

причем в этой функции или , то есть затраты труда постоянны во времени, либо выпуск не зависит от затрат труда, поскольку труд не является дефицитным ресурсом.

(Производственная функция n независимых переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых и используемых ресурсов, а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции.)

4. Модель не учитывает технического прогресса.

Подставив (2) в (1), получим дифференциальное уравнение модели:

Соотношение (3) есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Зачастую такие уравнения записывают в виде

Из главы 1 известно, что общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде квадратур

Подставив обозначения (4) в последнюю формулу, получим:

Пусть потребление в модели растет с постоянным темпом :

Подставив выражение для потребления в (5), получим:

Постоянную интегрирования найдем, подставив в (6) :

Отсюда получим

Подставив постоянную интегрирования в (6), найдем:

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Пусть , то есть темп прироста потребления превышает коэффициент капиталоотдачи. Тогда второе слагаемое в (7), отвечающее за потребление, становится отрицательным. Поскольку, функция растет быстрее функции , то через некоторое время оно превысит по модулю первое. Таким образом, потребление будет занимать все большую часть дохода и, в конце концов, сведет к нулю сначала инвестиции, а затем доход.

2. Положим , то есть темп прироста потребления ниже коэффициента капиталоотдачи. В этом случае результат заметно зависит от нормы накопления в начальный момент времени , соотношения и .

2.1. Пусть , тогда . Подставив это соотношение и (8) в формулу (7), получим

Отсюда следует, что темп прироста прямо пропорционален норме накопления в начальный момент времени и обратно пропорционален коэффициенту капиталоемкости.

2.2. Пусть , тогда коэффициент при первом слагаемом

Поскольку в соотношении (7) коэффициент при показателе степени в первом слагаемом больше, чем во втором, то рано или поздно первое слагаемое по модулю превысит второе, и доход будет отрицательным.

2.3. Пусть . В этом случае при выполнение условия коэффициент в (7)

Поскольку так же, как и в предыдущем случае, в соотношении (7) коэффициент при показателе степени в первом слагаемом больше, чем во втором, то рано или поздно первое слагаемое превысит второе. В дальнейшем первое слагаемое будет все более и более подавлять второе и процесс инвестирования будет вестись ради инвестирования, а не ради все большего удовлетворения потребностей людей.

2.9. Моделирование динамики банковского вклада

Исследуем динамику банковского вклада. Предположим, что инвестор положил в банк денежную сумму по годовой ставке . Значение наращенной суммы вклада через лет зависит от частоты начисления процентов.

Если проценты начисляются раз в год, то сумма будет вычисляться по рекуррентной формуле сложных процентов

Получили разностное уравнение первого порядка с шагом по времени, равному году, и с начальным условием . Заметим, что данное уравнение задаёт геометрическую прогрессию со знаменателем , и поэтому его решение мы можем легко найти. В конце года вклад составит:

Предположим теперь, что те же годовых процентов начисляются дважды в год ( – номинальная процентная ставка). Тогда новое разностное уравнение будет иметь вид:

причём шаг по времени становится равным полугоду, ( кратно ). Решение будет иметь вид:

где слева стоит наращенная сумма через лет.

Вообще, если проценты начисляются раз в год, то динамика будет описываться уравнением с шагом по времени :

где (кратно . Выражение наращенной суммы через лет – решение уравнения – представляет собой формулу сложных процентов при m-кратном начислении:

Допустим теперь, что банк, желая расшевелить вкладчиков, предлагает непрерывное начисление процентов. Тогда проценты добавляются к текущему вкладу в каждый момент времени и разностное уравнение не годится. Чтобы разобраться с ситуацией, имеются две возможности.

Во-первых, можно заметить, что непрерывное начисление соответствует и получить искомую сумму предельным переходом в известном решении для случая m-кратного начисления получаем:

Во-вторых, можно перейти к пределу в разностном уравнении:

Для этого обозначим через шаг дискретизации (тогда , когда ) и тогда перепишем уравнение в виде:

При , то есть при , левая часть стремится к производной , а правая часть остаётся неизменной, так как не зависит от . Поэтому предельный переход даёт равенство:

или

Получили дифференциальное уравнение, которое описывает динамику вклада при непрерывном начислении процентов.

По существу обе использованные возможности в данном случае совпадают, поскольку легко проверить, что функция , определенная формулой , является решением уравнения , причём естественное начальное условие выполнено.

Для наглядности приведём числовые данные (значения коэффициентов наращения ), которые показывают влияние кратности начисления процентов на динамику наращенной суммы при (то есть .

Годы ()	Коэффициент наращения

1	1,0824	1,0833	1,0833
2	1,1716	1,1735	1,1735
5	1,4859	1,4918	1,4918
10	2,2080	2,2253	2,2255
20	4,8754	4,9522	4,9530
30	10, 7652	11,0202	11,0232
40	23,7699	24,5238	24,5325

Таблица 1. Рост капитала при

Данные свидетельствуют, что способ начисления процентов оказывает незначительное влияние на рост суммы. Например, за 10 лет при наращенная сумма вклада при непрерывном начислении превзойдёт этот показатель всего на денежных единиц, то есть меньше, чем на 2 денежные единицы в год. Конечно, с ростом разница становится всё более ощутимой.

В рассмотренном примере содержались как разностное уравнение, так и дифференциальное, причём одно переходило в другое, когда шаг дискретизации стремился к нулю. Это довольно типичная ситуация, но всё же не правило: от дифференциального уравнения всегда можно перейти к разностному уравнению, но, как мы уже знаем, имеются разностные уравнения, которые не имеют дифференциальных аналогов.

2.10. Моделирование паутинообразной модели рынка

Рассмотрим простейшую динамическую модель процесса рыночного регулирования цены на рынке одного товара. В этой модели предполагается, что объём спроса в любой текущий момент времени зависит от уровня цены этого периода – , а предложение реагирует на изменение цены с некоторым запаздыванием и зависит от уровня цены в предыдущем периоде – . Возможны различные интерпретации этого запаздывания. Например, можно считать, что производителям необходим запас времени, чтобы перейти на новый уровень выпуска продукции после реагирования на изменение уровня рыночной цены. Другой вариант интерпретации – производители определяют в период объём предложения следующего периода, предполагая, что цена периода сохранится в период . Данная модель позволяет исследовать устойчивость цен и объёмов товаров на рынке, описываемых кривыми спроса и предложения при наличии запаздывания во времени (временного лага).

В параграфе 2.1 рассмотрены функция спроса и функция предложения , аргументом которых является цена . Зачастую эти функции представляют в виде обратных зависимостей и . По оси абсцисс откладывают количество товара, и , а по оси ординат – его цену . Функция является невозрастающей, а функция – неубывающей.

Исследуем паутинообразную модель, в которой функции спроса и предложения линейны. Отметим, что полученные при этом результаты могут быть трансформированы и на другие типы функций. Пусть функции предложения и спроса имеют соответственно следующий вид:

где – параметры. Заметим, что с экономической точки зрения естественно считать, что и , то есть прямые спроса и предложения имеют нормальный наклон: у спроса отрицательный и равный , а у предложения – положительный, равный .

Приравняв, эти функции друг к другу найдём равновесную цену:

Таким образом,

где и – положительные величины, поскольку – убывающая функция, а – возрастающая, причём . Заметим, что при , что вполне реалистично. В данной модели рынка имеется одна точка равновесия.

Разностные уравнения рассматриваемой модели найдём из равенств . Пусть временной лаг, равный одному периоду, присутствует в функции предложения. Это значит, что в первоначальный момент времени задаёмся значением функции предложения и изучаем состояние системы во второй момент времени и т.д. Таким образом,

Рассмотрим графическую интерпретацию этой задачи. Пусть в начальный момент времени предложение на рынке равно , тогда в соответствии с прямой спроса рыночная цена товара будет равна . При совершенной конкуренции для увеличения выручки производители товара будут увеличивать выпуск так, что к концу первого периода он будет равен . В течение этого периода по мере увеличения выпуска будет изменяться и цена на товар, которая в соответствии с кривой спроса к концу периода будет равна . Так как к концу второго периода предложение превышает спрос, то производители будут уменьшать выпуск до значения . Параллельно будет увеличиваться цена до значения и т. д.

Получили рисунок, напоминающий вид «паутины», подтверждающий название этого метода. Из рис. 4 следует, что при увеличении числа шагов система стремится к устойчивому состоянию:

а также, что устойчивое состояние имеет место в случае, когда кривая спроса наклонена к оси абсцисс круче, чем кривая предложения. Если бы мы рассматривали систему в обратной системе координат, то этот вывод изменился бы на противоположный, то есть в устойчивой системе кривая предложения наклонена к оси абсцисс круче, чем кривая спроса.

Если в рассматриваемой системе координат кривая предложения наклонена к оси абсцисс круче, чем кривая спроса, то система неустойчива (рис. 6).

Как следует из рис. 6, амплитуда колебаний стремится к бесконечности. Реальные модели в этом случае являются нелинейными. Поэтому в системе (на рынке) устанавливаются нелинейные колебания большой, но конечной амплитуды, которые являются прообразом экономических циклов подъёма и спада производства.

В обратной системе координат:

При равной крутизне кривых спроса и предложения (рис. 8) на рынке будут происходить регулярные колебания с постоянной амплитудой.

В обратной системе координат:

Рассмотрим аналитическое решение задачи. Разностное уравнение, описывающее динамику паутинообразной модели, получим из соотношений:

при условии:

или

Выражая через , получим

Последовательно применяя это соотношение, получим:

Для произвольного шага имеем:

Выражение в квадратных скобках является суммой геометрической прогрессии со знаменателем . Тогда

Эта формула и определяет траекторию изменения цены в данной модели. Из неё следует, что рыночная цена будет колебаться около равновесного уровня , так как множитель может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однако качественный характер этих колебаний и устойчивость равновесия зависят от отношений параметров и , которые задают наклоны прямых спроса и предложения.

Возможны три случая.

1. Затухающие колебания цены и устойчивость.

Если отношение или иначе , то при возрастании числа периодов система стремится к устойчивому равновесию . То есть состояние равновесия асимптотически устойчиво. Колебания относительно происходят с уменьшающей амплитудой и являются затухающими.

(Данное положение было сформулировано раннее: устойчивое состояние имеет место в случае, когда кривая спроса наклонена к оси абсцисс круче, чем кривая предложения).

2. Взрывные колебания цены и неустойчивость.

При , то есть когда имеем

В этом случае при получим , то есть процесс расходится. В этом случае траектория цены, колеблясь, будет всё больше удаляться от равновесной цены. Колебания с нарастающей амплитудой называются взрывными.

3. Циклические колебания и неустойчивость.

При , то есть когда найдём :

В данном случае процесс колеблется вокруг устойчивого состояния.

Цена поочерёдно принимает лишь два значения, отклоняясь от равновесной цены то в большую, то в меньшую сторону на одну и ту же величину. В этой ситуации говорят, что цена совершает регулярные или циклические колебания около устойчивого состояния.

В предложенной паутинообразной модели есть свои недостатки. Во-первых, расходящиеся и циклические колебания (случаи 2 и 3) на практике не встречаются, поскольку производители учатся на своих ошибках: рано или поздно они заметят, что их ожидания, основанные на сохранении цены прошлого периода, не оправдаются, и они изменят процедуру определения ожидаемой цены. Например, производители могут определять предложение товара, исходя из средневзвешенных цен нескольких предшествующих периодов.

Во-вторых, в модели не учтено воздействие совокупного поведения всех производителей. Представим себе, например, речь идёт о рынке картофеля, и пусть в какой-то год его предложение было сравнительно небольшим, а цена – высокой. Тогда можно предположить, что отдельный фермер в этой ситуации будет расширять посадки картофеля, ожидая, что его высокая цена сохранится и на следующий год. Однако, если все фермеры поступят таким образом, то на следующий год под влиянием возросшего предложения цена картофеля снизится.

В-третьих, совсем необязательно исходить из предложения гибкости цены данного товара и совпадения спроса с предложением в каждом периоде. Изменение цены может происходить и в неравновесной ситуации под влиянием избыточного спроса.

2.11. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса

Самой знаменитой дискретной моделью второго порядка является модель делового цикла, предложенная А.Хансеном и П.Самуэльном в 1939 году, и дополненная Дж.Хиксом в 1950 году. Впоследствии она получила название модели Самуэльсона-Хикса. Данная модель предназначена для описания волнообразного характера развития экономики – чередования подъёмов и спадов конъюнктуры. (Конъюнктура рынка – это экономическая ситуация, складывающаяся на рынке и характеризующаяся уровнями спроса и предложения, рыночной активностью, ценами, объёмами продаж, движением процентных ставок, валютного курса, заработной платы, а также динамикой производства и потребления).

Модель состоит из следующих допущений:

1) Непроизводственное потребление в текущем периоде линейно зависит от дохода предшествующего периода, то есть:

(1)

где – национальный доход, – предельная склонность к потреблению (), – его автономная (не зависящая от дохода) составляющая ().

Можем сказать, что величина потребления в любой период является линейной функцией национального дохода за предыдущий период.

2) Индуцированные инвестиции (зависящие от дохода) пропорциональны с некоторым коэффициентом приращению национального дохода за предыдущий период, то есть

(2)

где – параметр, характеризующий реакцию предпринимателей на изменение дохода (его ещё называют коэффициентом акселерации). Данное равенство (2) есть математическое выражение принципа акселерации.

3) Условие равновесия в каждом периоде:

(3)

где – автономные инвестиции в период .

Если подставить (1) и (2) в (3), то получим линейное однородное разностное уравнение 2-го порядка относительно :

(4)

где – экзогенная величина автономного спроса (со стороны потребителей и производителей), из-за наличия которой представленное выше разностное уравнение является неоднородным. Экзогенные переменные задаются извне, формируются вне модели. В модели они являются независимыми величинами, а их изменение называется автономным изменением.

При заданных начальных условиях , поведение решений уравнения (4) зависит главным образом от коэффициентов и . Величина национального дохода может:

а) совершать «взрывные» колебания с нарастающей амплитудой (например, при , , , при , , );

б) затухающие колебания около некоторого равновесного уровня (при , , , при , , );

в) равномерные колебания (, );

г) стабилизироваться после некоторого роста.

Исследуем на устойчивость уравнение Самуэльсона-Хикса.

Запишем уравнение (4) в следующем виде:

(перешли на 2 шага вперёд по времени и сделали замену ).

Данное уравнение имеет положение равновесия:

Исследуем его устойчивость по корням характеристического уравнения:

при . Соответствующая кривая делит горизонтальную полосу на координатной плоскости с осями и на области, где выше кривой и ниже кривой.

Произведение корней рассматриваемого квадратного уравнения равняется свободному слагаемому , причём это верно и для вещественных корней, и для комплексных сопряжённых корней. В последнем случае . Для исследования устойчивости положения равновесия надо разделить рассматриваемую вертикальную полосу на части вертикальной прямой с уравнением .

Рассмотрим поведение решений в каждом из случаев, соответствующих произведению ранее разбиению множества значений параметров уравнения и на части.

Случай 1. , .

При левая часть уравнения принимает положительное значение . Следовательно, вещественные корни уравнения находятся слева от единицы, так как вершина соответствующей параболы находится в точке с координатой . Из теоремы Виета следует, что оба корни положительные.