Ирина Шелепова

Методическое пособие по математике «Дифференциальные уравнения» (для студентов и преподавателей)

Материал опубликован 30 October 2019

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Медицинский колледж железнодорожного транспорта

И.В. Шелепова

Методическое пособие

Дисциплина «Математика»

«Дифференциальные

уравнения»

(для студентов и преподавателей)

Иркутск, 2018

ББК 22.1Матем

Ш42

Шелепова И.В.

Исследование функций и построение графиков с помощью производной

: методическое пособие / И.В. Шелепова – Иркутск : ИрГУПС МК ЖТ, 2018. – 11 с.

В пособии имеется как теоретический, так и практический материалы.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по образовательной программе среднего общего образования в образовательных учреждениях среднего профессионального образования и основным профессиональным образовательным программам .

Также может использоваться преподавателями, как раздаточный материал при изучении какой-либо из тем представленной в пособии.

ББК 22.1Матем

Пояснительная записка

В пособии рассмотрен раздел: Основы математического анализа (дифференциальные уравнения), раздел представлен следующими темами:

Тема 1:Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделенными переменными.

Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.

Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения

1-го порядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.

Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.

В пособии имеется как теоретический материал, так и примеры для самостоятельного решения, так же представлены алгоритмы решения примеров.

Данное методическое пособие разработано с целью использования ее студентами 2 курса всех специальностей, для самостоятельного изучения темы, например для студентов пропустивших занятие по болезни или по другой причине. Может использоваться и при подготовке к интернет-экзамену.

Также может использоваться преподавателями, как раздаточный материал, при изучении какой-либо из тем представленной в пособии.

Раздел: Основы математического анализа

Дифференциальные уравнения.

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.

Определение: дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.

#1 , , - дифференциальные уравнения, так как содержат производные или дифференциалы функции и аргумента.

#2 установить, какие из указанных ниже уравнений являются дифференциальными:

а) y,+3x=0; b) y2+x2=5; c) y=ex ; d) y,y-x=0; e) y=ln|x|+C; f) 2dy+3xdx=0.

Решение: уравнения b),c),e) не являются дифференциальными, так как не содержат производной искомой функции или дифференциалов аргумента и искомой функции; уравнения a), d), f) являются дифференциальными.

Определение: решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение: общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

# общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Определение: частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Определение: дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

# xy,-y=4 – ДУ первого порядка, так как наивысший порядок производной, входящей в него, - первый.

Уравнения с разделенными переменными.

Определение: уравнение вида f(x)dx+g(y)dy=0 (1), где f(x) и g(y) – данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

# Решить уравнение xdx+ydy=0/

Решение: Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим

Так как С произвольна, то можно обозначить 2С через С2, учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид x2+y2=C2. Это и есть общее решение.

# Решить уравнение 2ydy=3x2dx.

Решение: Здесь g(y)=2y, f(x)=3x2. Интегрируя обе части уравнения, имеем

. Получили общее решение ДУ. Это решение можно записать в явной форме: .

# Найти частное решение ДУ , если y=4 при x=1.

Решение: Имеем , откуда . Итак, получаем ответ: .

Задания для решения

Даны уравнения:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

Какие из них являются дифференциальными?

2. Решить уравнения:

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

3. Найти частное решение ДУ:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Домашнее задание

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

ydy=xdx; y=4 при x=-2;

xdx=ydy; y=6 при x=2.

Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение: Уравнение вида (2), где - заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

# - ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными

Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.

Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.

Разделяют переменные.

Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

# Решить ДУ .

Решение: заменим , получим , перемножим крест на крест ,

разделим переменные , проинтегрируем обе части , вычисляя интеграл, получаем решение . Выразим из этого выражения переменную y .

Общее и частное решения уравнений с разделяющимися переменными.

# Найти частное решение уравнения , если y=4 при x=1.

Решение: Разделяем переменные:

Интегрируя, получим

(здесь С заменено на lnC). Потенцируя, находим - общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Найдем теперь частное решение данного уравнения по заданным начальным условиям. Полагая в общем решении x=1, y=4, имеем 22=4С, откуда С=1. Следовательно, y=(1+x)2.

Задания для решения

Решить уравнение с разделяющимися переменными:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

3.а) Найти общее решение уравнений;

б) и частные решения по начальным условиям при :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Домашнее задание

Найти частные решения уравнения по начальным условиям при

Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения

1-го порядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.

Определение: уравнение вида (1), где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Определение: если , то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением. Если , то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.

Замечание: линейные однородные ДУ решаются как ДУ с разделяющимися переменными (см тему 2). Линейные неоднородные ДУ решаются методом Бернулли.

Метод Бернулли

Приводят уравнение к виду .

Используя подстановку , находят и подставляют эти выражения в уравнение.

Группируют члены уравнения, выносят одну из функций u или v за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство .

Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

# Решить уравнение .

Решение: это линейное уравнение, так как оно имеет вид , где , . Положим ; тогда .

Подставив выражения в исходное уравнение, получим

или

(1)

приравняем выражение в скобках в уравнении (1)к нулю:

Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем

(произвольную постоянную С приравняли к нулю).

Найденное значение v подставляем в уравнение (1):

(здесь С писать обязательно, иначе получится не общее решение, а частное решение).

Тогда окончательно получим .

Задания для решения

Решить уравнение:

1) ( );

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19)

20)

21) ;

22) .

Домашнее задание

Решить уравнение:

1) ; 2) .

Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.

Задания для решения

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

;

Домашнее задание

Литература

Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.

Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие- 2-е изд., перераб и допол. – М.: Наука, 1990. -576 с.

Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.

Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.

Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.