| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
 | Ирина Шелепова228 Преподаватель математики и информатики, начальник сектора ИиИТ Россия, Иркутская обл., Иркутск |
Методическое пособие Дисциплина «Математика» «Дифференциальные уравнения» (для студентов и преподавателей)
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения»
Медицинский колледж железнодорожного транспорта
И.В. Шелепова
Методическое пособие
Дисциплина «Математика»
«Дифференциальные
уравнения»
(для студентов и преподавателей)
Иркутск, 2018
ББК 22.1Матем
Ш42
Шелепова И.В.
Исследование функций и построение графиков с помощью производной
: методическое пособие / И.В. Шелепова – Иркутск : ИрГУПС МК ЖТ, 2018. – 11 с.
В пособии имеется как теоретический, так и практический материалы.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по образовательной программе среднего общего образования в образовательных учреждениях среднего профессионального образования и основным профессиональным образовательным программам .
Также может использоваться преподавателями, как раздаточный материал при изучении какой-либо из тем представленной в пособии.
ББК 22.1Матем
| © ФГБОУ ВО «Иркутский государственный университет путей сообщения МК ЖТ, 2013 © Шелепова И.В. 2018 |
Пояснительная записка
В пособии рассмотрен раздел: Основы математического анализа (дифференциальные уравнения), раздел представлен следующими темами:
Тема 1:Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделенными переменными.
Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.
Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения
1-го порядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.
Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.
В пособии имеется как теоретический материал, так и примеры для самостоятельного решения, так же представлены алгоритмы решения примеров.
Данное методическое пособие разработано с целью использования ее студентами 2 курса всех специальностей, для самостоятельного изучения темы, например для студентов пропустивших занятие по болезни или по другой причине. Может использоваться и при подготовке к интернет-экзамену.
Также может использоваться преподавателями, как раздаточный материал, при изучении какой-либо из тем представленной в пособии.
Раздел: Основы математического анализа
Дифференциальные уравнения.
Тема 1:Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения. Уравнения с разделенными переменными.
Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.
Определение: дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы.
#1 
, 
, 
- дифференциальные уравнения, так как содержат производные или дифференциалы функции и аргумента.
#2 установить, какие из указанных ниже уравнений являются дифференциальными:
а) y,+3x=0; b) y2+x2=5; c) y=ex ; d) y,y-x=0; e) y=ln|x|+C; f) 2dy+3xdx=0.
Решение: уравнения b),c),e) не являются дифференциальными, так как не содержат производной искомой функции или дифференциалов аргумента и искомой функции; уравнения a), d), f) являются дифференциальными.
Определение: решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Определение: общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
# общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.
Определение: частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.
Определение: дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
# xy,-y=4 – ДУ первого порядка, так как наивысший порядок производной, входящей в него, - первый.
Уравнения с разделенными переменными.
Определение: уравнение вида f(x)dx+g(y)dy=0 (1), где f(x) и g(y) – данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.
Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.
# Решить уравнение xdx+ydy=0/
Решение: Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим
.
Так как С произвольна, то можно обозначить 2С через С2, учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид x2+y2=C2. Это и есть общее решение.
# Решить уравнение 2ydy=3x2dx.
Решение: Здесь g(y)=2y, f(x)=3x2. Интегрируя обе части уравнения, имеем
. Получили общее решение ДУ. Это решение можно записать в явной форме: 
.
# Найти частное решение ДУ 
, если y=4 при x=1.
Решение: Имеем 
, откуда 
. Итак, получаем ответ: 
.
Задания для решения
Даны уравнения:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
; e) 
; f) 
.
Какие из них являются дифференциальными?
2. Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
3. Найти частное решение ДУ:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
Домашнее задание
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
ydy=xdx; y=4 при x=-2;
xdx=ydy; y=6 при x=2.
Тема 2: Уравнения с разделяющимися переменными, общее и частное решения.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Определение: Уравнение вида 
(2), где 
- заданные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
# 
- ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.
Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку. Разделяют переменные. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение. Если заданы начальные условия, то находят частное решение. |
# Решить ДУ 
.
Решение: заменим 
, получим 
, перемножим крест на крест 
,
разделим переменные 
, проинтегрируем обе части 
, вычисляя интеграл, получаем решение
. Выразим из этого выражения переменную y 
.
Общее и частное решения уравнений с разделяющимися переменными.
# Найти частное решение уравнения 
, если y=4 при x=1.
Решение: Разделяем переменные:
Интегрируя, получим
(здесь С заменено на lnC). Потенцируя, находим 
- общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Найдем теперь частное решение данного уравнения по заданным начальным условиям. Полагая в общем решении x=1, y=4, имеем 22=4С, откуда С=1. Следовательно, y=(1+x)2.
Задания для решения
Решить уравнение с разделяющимися переменными:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8)
9) 
10) 
11) 
12)
13) 
14)
15)
16)
17) 
18)
19)
3.а) Найти общее решение уравнений;
б) и частные решения по начальным условиям 
при 
:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Домашнее задание
Найти частные решения уравнения 
по начальным условиям 
при 
Тема 3: Линейные ДУ первого порядка. Линейные однородные уравнения
1-го порядка. Линейные неоднородные уравнения 1-гопорядка.
Определение: уравнение вида 
(1), где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Определение: если 
, то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением. Если 
, то уравнение (1) называется линейным неоднородным уравнением.
Замечание: линейные однородные ДУ решаются как ДУ с разделяющимися переменными (см тему 2). Линейные неоднородные ДУ решаются методом Бернулли.
Метод Бернулли Приводят уравнение к виду Используя подстановку Группируют члены уравнения, выносят одну из функций u или v за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение. |
и 
в равенство # Решить уравнение
.
Решение: это линейное уравнение, так как оно имеет вид , где 
, 
. Положим 
; тогда 
.
Подставив выражения 
в исходное уравнение, получим
или
(1)
приравняем выражение в скобках в уравнении (1)к нулю:
.
Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем
(произвольную постоянную С приравняли к нулю).
Найденное значение v подставляем в уравнение (1):
(здесь С писать обязательно, иначе получится не общее решение, а частное решение).
Тогда окончательно получим 
.
Задания для решения
Решить уравнение:
1) 
(
);
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
20) 
21) 
;
22) 
.
Домашнее задание
Решить уравнение:
1) 
; 2) 
.
Тема 4: Задача Коши для линейного ДУ первого порядка.
Задания для решения
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
; 
Домашнее задание
Литература
Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.
Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие- 2-е изд., перераб и допол. – М.: Наука, 1990. -576 с.
Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2006. – 552с.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1991.- 480с.
Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.
Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.
Комментарии (2)