12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
Материал опубликовала
*****37
преподаватель математики Самарский колледж железнодорожного транспорта им. А. А. Буянова - структурное подразделение СамГУПС
Россия, Самарская обл., Самара
1

Занятие по математике для студентов I курса «Методы решения тригонометрических уравнений»

Андреева Алена Вячеславовна

преподаватель математики,

I квалификационная категория

Самарский колледж железнодорожного

транспорта им. А. А. Буянова-

структурное подразделение СамГУПС

г. Самара

Занятие по математике для студентов I курса «Методы решения тригонометрических уравнений».

 

Тема учебного занятия: Методы решения тригонометрических уравнений.

Тип занятия: урок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепления умений.

Вид занятия: повторительно-обобщающий урок.

Цели занятия:

образовательные: выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих занятиях по теме: «Методы решения тригонометрических уравнений», обобщить материал как систему знаний.

развивающие: развивать пространственное мышление, умение классифицировать, выявлять связи, формулировать выводы; развивать коммуникативные навыки при работе в группах, развивать познавательный интерес; развивать умение объяснять особенности, закономерности, анализировать, сопоставлять, сравнивать.

воспитательные: воспитать общую культуру, эстетическое восприятие окружающего; создать условия для реальной самооценки обучающихся, реализации его как личности.

 

Планируемые результаты:

а) предметные:

знание свойств тригонометрических функций;

знание формул преобразования тригонометрических выражений;

знание методов решения тригонометрических уравнений;

знание значений тригонометрических функций основных аргументов;

владение умением решать тригонометрические уравнения;

б) метапредметные:

регулятивные:

умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

познавательные:

умение сравнивать и анализировать;

умение структурировать полученную информацию;

умение обобщать информацию;

коммуникативные:

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью;

в) личностные:

готовность и способность к самостоятельной, творческой деятельности.

Образовательные технологии: Технология групповой работы, сингапурская технология обучения, здоровьесберегающие технологии, информационные технологии.

Формы организации обучения: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля: объяснительно-иллюстративные(беседа); частично-поисковые или эвристические, репродуктивные, наглядные, практические, самоконтроль, самооценка, работа в малых группах.

 

Приёмы активизации познавательной деятельности: создание комфортных условий для успешной учебной деятельности; сочетание фронтальной работы, работы в парах, в группах и индивидуальной форм самостоятельной работы обучающихся; использование Сингапурской технологии, как обучающая структура («МЭНЭДЖ МЭТ», «КЛОК БАДДИС», КУИЗ-КУИЗ-ТРЭЙД», «СИМАЛТИНИУС РАУНД ТЭЙБЛ», «ТЭЙК ОФ - ТАЧ ДАУН», «КОНЭРС», «МИКС ФРИЗ ГРУП», «ТАЙМД ПЭА ШЭА», «СИНГЛ-РАУНД РОБИН»).

Продолжительность занятия. 90 минут.

Образовательные ресурсы:

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2016.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2015.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2016.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (в двух частях).- М.: Мнемозина, 2016.

Мордкович. Сборник задач по алгебре и началам анализа. 10 (11) кл. – М., Мнемозина 2016.

Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2015.

Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2015.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2015.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2015.

Презентация «Методы решения тригонометрических уравнений.

Раздаточный материал для студентов: тестовые задания по теме, тригонометрические формулы, таблицы значений тригонометрических функций.


 

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

 

Содержание учебного материала:

Организационный этап.

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция знаний, навыков и умений обучающихся, необходимых для творческого решения поставленных задач.

Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

Актуализация опорных знаний и умений.

Обобщение и систематизация знаний.

Применение знаний и умений в новой ситуации.

Физкультминутка.

Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия

 

Ход занятия.

 

Организационный этап. (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

Применяется структура «МЭНЭДЖ МЭТ».

Студенты рассаживаются по 4 человека за столы, образуя команды, каждая команда оснащена всем рабочим материалом, который потребуется на занятии. Команды, работая над заданиями могут обмениваться информацией, помогать друг другу, по сигналу преподавателя менять состав команды.

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция знаний, навыков и умений обучающихся, необходимых для творческого решения поставленных задач. (3 мин)

Проводится «ТЭЙК ОФ - ТАЧ ДАУН» (если ответ верный надо встать, если неверный, то остаться сидеть на месте.)

Если обучающиеся считают утверждение верным, то они встают, в противном случае они остаются на местах.


1.Я справилась(ся) с домашним заданием.
2. Домашнее задание было трудным.
3.Мне родители оказывали помощь при приготовлении домашнего задания.
4.Я в хорошем настроении.
5.Я готов к уроку.

Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся. (2 мин)

Формулирование темы и целей учебного занятия.

Преподаватель: Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные методы и приемы решений тригонометрических уравнений. Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

Актуализация опорных знаний и умений. (15 мин)

1) Фронтальный опрос теории по теме «Тригонометрические уравнения». Применяется обучающая структура «КЛОК БАДДИС» - «друзья по часам (времени)», где обучающиеся встречаются со своими одногруппниками в «отведенное время преподавателем» для эффективного взаимодействия. Студенты (заранее) на перемене назначают встречу в 3, 6, 9, 12 часов своим друзьям и записывают на листочке.

Преподаватель:

1). Встречаются друзья в 9 часов. Первый отвечает тот, кто выше ростом. Вопрос 1. Сформулировать определение тригонометрического уравнения. Приведите пример. Вопрос 2.Формулы решения уравнений вида sin x=a, cos x=a, tg x=a? Как решать эти уравнения? Приведите пример. 2). Встречаются друзья в 12 часов. Первый отвечает тот, у которого короче волосы. Вопрос 1. Какое уравнение называют однородным уравнением? Как решаются эти уравнения? Приведите пример.

Вопрос 2. Какие основные тригонометрические формулы вы знаете? 3). Встречаются друзья в 3 часа. Первый отвечает тот, у кого количество букв больше в фамилии.

Вопрос 1.Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Вопрос 2.Частные случаи решений простейших тригонометрических уравнений?

4). Встречаются друзья в 6 часов. Первый отвечает тот, у кого день рождение ближе к новому году. Вопрос 1.Основные тригонометрические тождества?

Вопрос 2. Перечислите методы решения тригонометрических уравнений?

 

2) Устная работа в парах. Обучающая структура «КУИЗ-КУИЗ-ТРЭЙД» - «опроси-опроси- обменяйся карточками», где обучающиеся проверяют и обучают друг друга по пройденному материалу, используя карточки с заданиями (на одной стороне) и ответами по теме (с другой стороны).

Обучающиеся под номером 2 выполняют карточки у доски, в случае ошибки, им помогают представители команды.

Карточки № 1:

1.Дайте определение арксинуса числа.

2.Запишите формулу корней уравнения sin t = a, приведите пример такого уравнения с решением.

3.Решите уравнение t1597139568aa.gif

Карточки №2:

1.Дайте определение арккосинуса числа.

2.Запишите формулу корней уравнения cos t = a, приведите пример такого уравнения с решением.

3.Решите уравнение t1597139568ab.gif

Обобщение и систематизация знаний. (20 мин)

1) Я предлагаю вам посетить семейство «Тригонометрические уравнения», применяя структуру «КОНЭРС» «углы» - структура, в которой обучающиеся распределяются по разным углам в зависимости от выбранного ими варианта.
 

Углы:

1. Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи.

Решение простейших тригонометрических уравнений вида sin x = а, cos x = а, tg х = а.

 

sin x

х =(-1)k arcsin а + π k, k t1597139568ac.gif Z

 

cos x = а

х = ± arccos а + 2 π k, k t1597139568ac.gif Z

 

tg х = а

х = arctg а + πk, k t1597139568ac.gifZ.

 

t1597139568ad.png

 

2.Уравнения, приводимые к квадратным.

 

Уравнения вида: A sin2 х + В sin х + С =0 и A sin2 х + В cos х + С =0, решается методом замены переменной.

3. Однородные тригонометрические уравнения.

 

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

A sin x+ B cos x = 0,

метод решения: разделить обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим и решим простейшее тригонометрическое уравнение вида: tg x = а.

 

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0,

метод решения: разделить обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим и решим уравнение вида: А tg 2x + В tg x + С = 0 — это уравнение, приводимое к квадратным.

 

4. Уравнения, решаемые методом разложения на множители; неоднородные тригонометрические уравнения.

 

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Неоднородные тригонометрические уравнения-уравнения вида: asinx + bcosx = c, где abc – коэффициенты; x – неизвестное.

 

Вы должны выбрать один из углов, подойти к ним и объяснить, почему вы выбрали этот угол. Это позволит вам, обсудив с партнерами не из своей команды, вспомнить данные методы тригонометрических уравнений, а затем с вашими партнерами по группе обсудить весь пройденный материал по данной теме.

 

2). Применятся обучающая структура «ТАЙМД ПЭА ШЭА» – структура, в которой два участника обмениваются развернутыми ответами в течение определенного времени.

Из каждой команды студенты под номером 3 по очереди делятся решением заданий.

Индивидуальные задания:

1. Решите уравнение: t1597139568ae.gif

2.Решите уравнение: t1597139568af.gif

1) Решение:t1597139568ae.gif

 

Заметим, что t1597139568ag.gif

Поэтому, еслиt1597139568ah.gif , то t1597139568ai.gif

Тогда исходное уравнение примет вид:

t1597139568aj.gif,

t1597139568ak.gif,

t1597139568al.gif,

t1597139568am.gif, t1597139568an.gif .

1) Еслиt1597139568ao.gif , то t1597139568ap.gif

t1597139568aq.gif,

t1597139568ar.gif,

t1597139568as.gif, t1597139568at.gif .

2) Еслиt1597139568au.gif , тоt1597139568av.gif .

t1597139568aw.gif, аналогично:

t1597139568ax.gif,

t1597139568ay.gif

t1597139568az.gif, k t1597139568ac.gifZ.

Ответ: t1597139568ba.gif ; t1597139568az.gif , k t1597139568ac.gifZ.

2)Решение:t1597139568af.gif

1) По основной тригонометрической формуле

t1597139568bb.gif, получаем t1597139568bc.gif

t1597139568bd.gif

Раскрываем скобки и приводим подобные:

t1597139568be.gif

2)Пусть t1597139568bf.gif , гдеt1597139568bg.gift1597139568bh.gif

3)t1597139568bi.gif

t1597139568bj.gif

t1597139568bk.gif

t1597139568bl.gif, не удовлетворяет условию t1597139568bh.gif

4)t1597139568bm.gif

5) t1597139568bn.gif ,

x=-π+4πk, t1597139568bg.gift1597139568bo.gif

Ответ: x=-π+4πk ,t1597139568bo.gif

 

Применение знаний и умений в новой ситуации. (20 мин)

 

Применяется структура «СИНГЛ-РАУНД РОБИН» - обучающая структура, в которой обучающиеся проговаривают ответы на данный вопрос по кругу один раз.

Студенты по цепочке решают задания из карточки, проговаривая решение данного задания.

 

Карточка №1.

 

Задание:
метод замены переменной

Алгоритм решения
 

Конкретные шаги решения
 

Базовые знания
 

Аналогичный пример
 

сos2x – sin2x – cos x= 0

Привести к одной функции.

Привести подобные слагаемые.

Ввести новую переменную и решить квадратное уравнение.

Решить простейшее уравнение.

1. cos 2x-(1-cos2x)-cos x = 0

2. cos2 x -1+cos2x-cos x =0

2 cos2x-cos x – 1 =0

3. Пусть cos x = z, 2z2-z-1=0, отсюда z1=1, z2=-1/2

4. cos x = 1, отсюда x=2пn, n є Z или cos x = -1/2, x=±2п/3+2пn, n є Z

1. Основное тригонометрическое тождество

sinx +cos 2x = 1

2. При приведении подобных слагаемых складываем коэффициенты.

3. Решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0

D=b2-4ac

x=(-b±√D)/2

3. Решение простейших уравнений.

cоs x =a

x=±arccos+2пn, n є Z

(sin x = a, x=(-1)n arcsin a + пn, n є Z) и

tg x = a, x=arctg a + пn, n є Z).

2сos2x + 2sin x = 2,5

Карточка № 2

Задание:
метод разложения на множители

Алгоритм решения

Конкретные шаги решения

Базовые знания

Аналогичный пример

2sin x cos 5 x-cos 5 x=0

 

 

 

 

Карточка №3

Задание:
однородные тригонометрические уравнения

Алгоритм решения

Конкретные шаги решения

Базовые знания

Аналогичный пример

sin2x+cos2x=0

 

 

 

 

Карточка №4

Задание: 
уравнения, которые решаются с помощью формул суммы разности

Алгоритм решения

Конкретные шаги решения

Базовые знания

Аналогичный пример

sin x+ sin 3x=sin 5x-sinx

 

 

 

 

Карточка № 5

Задание:
понижение порядка

Алгоритм решения

Конкретные шаги решения

Базовые знания

Аналогичный пример

sin x + cos x =2

 

 

 

 

После заполнения карточек, обучающиеся защищают свои способы решения у доски.

Физкультминутка. (3 мин)

Используется структура «МИКС ФРИЗ ГРУП» (структура, в которой участники смешиваются под музыку, замирают, когда музыка прекращается, и объединяются в группы, количество участников в которых зависит от ответа на какой-либо вопрос).

Включается музыка, обучающиеся начинают передвигаться по кабинету. Когда музыка остановится, замирают и слушают вопрос. Ответом на вопрос будет, какое-то число. Ребята собираются в группу столько человек, каким будет ответ.

Условие: никто из ребят не должен озвучивать ответ.

 

Какая цифра записана в разряде десятков у числа 13230? (3)

Сколько будет 49 – 20 х 2? (9)

Сколько будет, если 540 делить 270? (2)

Найдите 4,5% от числа 50? (9)

Во сколько раз нужно увеличить число 20, чтобы получить число 100? (5)

Периметр квадрата 24 м. Найдите его сторону? (6)

VIII.Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. (20 мин)

Применяется структура «СИМАЛТИНИУС РАУНД ТЭЙБЛ» (одновременно все 4 студента в команде выполняют письменную работу на отдельных листочках и по окончанию одновременно передают друг другу по кругу, выполняют взаимопроверку, то есть меняются листочками).

Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

1. sin2 х + 5 sin х - 6 =0

2. 2 sin x+ 3 cos x = 0

3. 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

4. 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0

5. t1597139568bp.gif

 

Решить уравнение: sin2 х + 5 sin х - 6 =0:

Решение:

- вводим замену sin х = z,

- решаем квадратное уравнение

z2 + 5 z - 6 = 0,

- находим z1 =1; z2 = -6,

- решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, kt1597139568ac.gif Z,

- уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е (sin х), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1].

Ответ:t1597139568bq.gif, kt1597139568ac.gif Z.

Решите уравнение: 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Решение: 2 sin x+ 3 cos x = 0 |: cos x ≠ 0,

2 tg x + 3 =0,

tg x = -1,5.

Ответ: х= arctg (-1,5) + πk, k t1597139568ac.gifZ или

х = - arctg 1,5 + πk, k t1597139568ac.gif Z

3) Решите уравнение: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0.

Решение: 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0,

- разделим обе части уравнения на cos2 x ≠ 0

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 |: cos2х ≠ 0,

2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0,

- вводим замену tg x = t

- решаем квадратного уравнения 2 t2 – 3 t – 5 =0

- находим: t1 = -1; t2 =2,5,

- решением уравнения tg х = -1 являются числа вида:t1597139568br.gif ,k t1597139568ac.gif Z.

- решением уравнения tg х = 2,5 являются числа вида: х = arctg 2,5+ πn, n t1597139568ac.gifZ.

Ответ:t1597139568br.gif , k t1597139568ac.gif Z, х = arctg 2,5+ πn, n t1597139568ac.gif Z.

4) Решите уравнение: 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0

Решение:

-сгруппируем первый член с третьим, применив формулу косинуса двойного угла, получим

cos2x = cos2 x - sin2 x.

- уравнение примет вид: (2sin3 x – sin x) – (cos2 x - sin2 x) = 0,

-вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, применив основное тригонометрическое тождество получим cos2 x = 1 - sin2 x.

- уравнение примет вид: sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,

(2sin2 x - 1) • (sin x + 1) = 0

2 sin2 x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0

sin2 x = 1/2, sin x = - 1

t1597139568bs.gif,

t1597139568bt.gif, n t1597139568ac.gif Z; t1597139568bu.gif, n t1597139568ac.gif Z; t1597139568bv.gif, nt1597139568ac.gif Z.

Ответ: t1597139568bt.gif, n t1597139568ac.gif Z; t1597139568bu.gif, n t1597139568ac.gif Z; t1597139568bv.gif, nt1597139568ac.gif Z.

5) Решите уравнение:

t1597139568bp.gif;

t1597139568bw.gif;

ctg (x) =√3,

 

t1597139568bx.gif, n t1597139568ac.gif Z;

Ответ:t1597139568bx.gif , n t1597139568ac.gif Z

Проверка и обсуждение результатов.

 

IX. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.(2 мин)

Обучающимся предлагаются задания по уровню сложности.

Студенты выбирают задания в соответствии с их знаниями и уровнем подготовки.

Решите уравнения:

На оценку «3»:

t1597139568by.gif

t1597139568bz.gif

t1597139568ca.gif

t1597139568cb.gif

t1597139568cc.gif

t1597139568cd.gif

На оценку «4»:

t1597139568ce.gif

t1597139568cf.gif

t1597139568cg.gif

t1597139568ch.gif

t1597139568ci.gif

t1597139568cj.gif

На оценку «5»:

sin x – sin2x + sin3x – sin4x = 0;

sin2x - t1597139568ck.gifcos2x = 0;

2t1597139568cl.gifx – 5 sin x + 1 = 0;

sin5x cos3x = sin3x cos5x;

6t1597139568cl.gifx + 4sinx cos x = 1;

sin x - t1597139568ck.gif cos x = - 1;

 

X.Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (3 мин)

Беседа с обучающимися по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

Какая была тема сегодняшнего занятия?

Что нового вы узнали?

Какая была цель занятия?

Что получилось у вас сегодня?

Что не получилось?

Достигли ли мы поставленной цели?

 

Оценки за занятие выставляются следующим образом:

Обучающиеся пишут свои ответы в начале работы по структуре, на одном из последующих этапов они записывают информацию, услышанную от партнера, в конце занятия, обучающиеся ставят себе оценку за работу, преподаватель собирает письменные работы и сравнивает самооценку с правильностью выполненных заданий. Обучающиеся внимательно слушали друг друга, особенно ответы, где были допущены ошибки.

 

Лист самооценки

Ф.И. обучающегося

 

от

1 до 5 баллов

«ТЭЙК ОФ - ТАЧ ДАУН»

«КЛОК БАДДИС»

«КУИЗ-КУИЗ-ТРЭЙД»

«КОНЭРС»

«ТАЙМД ПЭА ШЭА»

«СИНГЛ-РАУНД РОБИН»

«СИМАЛТИНИУС РАУНД ТЭЙБЛ»

Итоговая оценка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опубликовано


Комментарии (0)

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.