Олимпиада по математике для 8 класса

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников

по математике

8 класс

Максимальный балл - 35

1. Решите задачу (7 баллов)

Свежие подосиновики содержат 93% воды (по массе), а в сушёных подосиновиках доля воды 2/9. Какая масса сушёных подосиновиков получится из 20 кг свежих?

2. Решите задачу (7 баллов)

В параллелограмме ABCD из вершины C опущен перпендикуляр CE на сторону AD. Точка M – середина стороны AB. Найдите угол BME, если известно, что CD = 2AD и

3. Решите задачу (7 баллов)

Таблица 5 х 5 заполнена числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что найдётся столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.

4. Решите задачу (7 баллов)

Докажите, что для положительных чисел a, b и c

5. Решите задачу (7 баллов)

Можно ли равносторонний треугольник разрезать на равносторонние треугольники и раскрасить их в синий и красный цвет так, чтобы тех и других треугольников было поровну, причём треугольники одинакового цвета были одинакового размера, а треугольники разного цвета – разного размера?

Примерные варианты решений и оценка задач

Муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

8 класс

Эвнин А.Ю.

1. Свежие подосиновики содержат 93% воды (по массе), а в сушёных подосиновиках доля воды 2/9. Какая масса сушёных подосиновиков получится из 20 кг свежих?

Решение. В 20 кг свежих грибов содержится 0,07 • 20 = 1,4 кг сухого вещества, что составляет 7/9 от массы сушёных грибов. Отсюда получаем Ответ: 1,8 кг.

Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов.

Эвнин А.Ю.

2. В параллелограмме ABCD из вершины C опущен перпендикуляр CE на сторону AD. Точка M – середина стороны AB. Найдите угол BME, если известно, что CD = 2AD и

Ответ: 150°.

Решение. Из точки M опустим перпендикуляр на отрезок CE. Имеем

AE || MN || BC, AM = MB.

Отсюда по теореме Фалеса EN = NC. Значит, в треугольнике EMC отрезок MN является одновременно высотой и медианой. Поэтому этот треугольник равнобедренный и МN – его биссектриса

Имеем равенство углов . Кроме того, (две пары накрест лежащих углов). Из условия задачи следует, что треугольник MBC равнобедренный и MCB = CMB. Из всех записанных равенств углов получаем

EMB = EMN + NMC + CMB = 3AEM = 150°.

Замечание по оцениванию. Полное решение – 7 баллов.

Эвнин А.Ю.

3. Таблица 5 х 5 заполнена числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что найдётся столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.

Решение. Произведение всех чисел таблицы можно найти, перемножив произведения чисел по всем строчкам. Из условия следует, что оно отрицательно.

Однако это же число можно получить, перемножив произведения чисел по столбцам. Если ни одно из них не будет отрицательным, то и их произведение больше либо равно нулю, что противоречит установленному факту.

Замечание по оцениванию. Полное решение – 7 баллов.

Эвнин А.Ю.

4. Докажите, что для положительных чисел a, b и c

Доказательство. Воспользуемся следующим фактом: сумма положительных взаимно обратных чисел не меньше 2. Отсюда

Аналогично

Осталось сложить три неравенства, а затем разделить полученное неравенство на 2.

Замечание по оцениванию. Полное решение — 7 баллов

Эвнин А.Ю.

5. Можно ли равносторонний треугольник разрезать на равносторонние треугольники и раскрасить их в синий и красный цвет так, чтобы тех и других треугольников было поровну, причём треугольники одинакового цвета были одинакового размера, а треугольники разного цвета – разного размера?

Ответ: можно.

Решение. Пример нужного разрезания показан на рисунке. Покажем, как можно было до него догадаться. Если каждую сторону правильного треугольника разделить на n равных частей, после чего точки деления соединить отрезками, параллельными сторонам треугольника, то треугольник будет разбит на n2 треугольников. Разобьём k из них на 4 маленьких треугольника. Приравняв количества треугольников двух видов, получим уравнение 4k = n2 – k, или n2 = 5k. Можно взять n = k = 5.

Замечание по оцениванию. Полное решение – 7 баллов.