Олимпиада по математике для 5 класса

Муниципальный этап областной олимпиады школьников

по математике

5 класс

Максимальный балл - 35

1. Решите задачу (7 баллов)

Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 60 так, чтобы разность любых двух соседних чисел была не меньше 30?

2. Решите задачу (7 баллов)

На каждые две девочки в классе приходится один мальчик. Если всего в классе двадцать семь учеников, то сколько из них девочек?

3. Решите задачу (7 баллов)

Внутри круга отметили точку. Можно ли разрезать круг на три части так, чтобы из них можно было сложить новый круг, у которого эта точка окажется в его центре?

4. Решите задачу (7 баллов)

Деревянный куб покрасили снаружи белой краской. Каждое ребро куба разделили на пять равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в пять раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось неокрашенных кубиков.

5. Решите задачу (7 баллов)

До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим богатырям явиться ко двору. И молвили они:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».

Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша Попович».

Алеша Попович: «Я убил змея».

При этом оказалось, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил змея?

Примерные варианты решений и оценка задач

Муниципального этапа областной олимпиады школьников по математике

5 класс

Задача №1 Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 60 так, чтобы разность любых двух соседних чисел этого ряда была не меньше 30?

Решение: Заметим, что последнее число 60, тогда перед ним может быть число 30, 29, 28, 27, … 3, 2, 1. Числа, которые будут отличаться от этих чисел не меньше, чем на 30 образуют последовательность: 31, 32, 33, …57, 58, 59, 60.

Ответ: можно, например: 30, 60, 29, 59, 28, 58, …, 3, 33, 2, 32, 1, 31.

Замечание по оцениванию

-Если указан весь ряд натуральные числа от 1 до 60 такой, что разность любых двух соседних чисел не меньше 30, то задание оценивается в 7 баллов

-Если указана только часть ряда, то задание оценивается в 4 балла.

Задача №2 На каждые две девочки в классе приходится один мальчик. Если всего в классе двадцать семь учеников, то сколько из них девочек?

Решение: На каждые две девочки приходится один мальчик, значит детская группа состоит из трех человек. В классе 27 учеников. Следовательно, детских групп будет 9, и в каждой такой группе по две девочки. Значит девочек 18.

Ответ: в классе 18 девочек.

Замечание по оцениванию

-Верное решение оценивается -7 баллов.

-Если идея решения верна, но допущена вычислительная ошибка - 0 баллов.

Задача №3 Внутри круга отметили точку. Можно ли разрезать круг на три части так, чтобы из них можно было сложить новый круг, у которого эта точка окажется в его центре?

Решение: Из большого круга вырежем два одинаковых кружка радиуса r – один с центром в отмеченной точке A, а другой – с центром в точке O (центре круга). Радиус r нужно взять таким, чтобы кружки не перекрывались и не выходили за пределы исходного круга. Эти кружки поменяем местами.

Ответ: да, можно.

Замечание по оцениванию

-Если представлено полное решение с рисунком -7 баллов.

-Если представлен верный рисунок без объяснения, то -5 баллов.

Задача №4 Деревянный куб покрасили снаружи белой краской. Каждое ребро куба разделили на пять равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в пять раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось неокрашенных кубиков.

Решение. После распиливания получилось 125 кубиков. Окрашенные грани имеют 98 кубиков. Значит, неокрашенных кубиков 27.

Ответ: 27.

Замечание по оцениванию

-Если решение верное, с указанием, как можно вычислить количество неокрашенных граней, то -7 баллов.

-Если решение не доведено до конца или содержит вычислительную ошибку, то - 0 баллов.

Задача №5 До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим богатырям явиться ко двору. И молвили они:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».

Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша Попович».

Алеша Попович: «Я убил змея».

При этом оказалось, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил змея?

Решение. Рассмотрим все возможные варианты.

1)Если Алеша Попович сказал правду, тогда Добрыня Никитич и Илья Муромец слукавили. Из этого следует противоречие: «Алеша Попович убил змея» одновременно является истинным и ложным высказыванием.

2)Если Добрыня Никитич сказал правду, то Алеша Попович и Илья Муромец слукавили. В этом случае тоже получим противоречие.

3)Остается случай, когда правду сказал Илья Муромец. В этом случае утверждение «Змея убил Добрыня Никитич» истинно, а утверждения «Змея убил Алеша Попович» и «Я убил змея» - ложны. Этот случай удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Змея убил Добрыня Никитич.

Замечание по оцениванию

-Правильный ответ и верные рассуждения оцениваются в 7 баллов.

-Перебор возможных случаев до первого удовлетворяющего оценивается в 4 балла. (Так как не доказано, что других случаев нет).

-Если указан ответ и доказано что он удовлетворяет условиям задачи, то- 3 балла.

-Если дан один ответ без рассуждений. То такое решение оценивается-2 балла.

-За все остальные решения- 0 баллов.