Муниципальный этап областной олимпиады школьников
по математике
6 класс
Максимальный балл - 35
1. Решите задачу (7 баллов)
Существует ли число, кратное 2011, сумма цифр которого делится на 2012?
2. Решите задачу (7 баллов)
У четырех братьев 450 рублей. Если деньги первого увеличить на 20 рублей, деньги второго уменьшить на 20 рублей, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько денег было у каждого брата.
3. Решите задачу (7 баллов)
Существует ли шестиугольник, который одним прямолинейным разрезом разбивается на четыре равных треугольника?
4. Решите задачу (7 баллов)
На окружности расположены 10 белых точек и одна красная. Рассмотрим всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше и на сколько: с красной вершиной или без неё?
5. Решите задачу (7 баллов)
Два шестиклассника называют поочередно произвольные числа, не превышающие 10. Эти числа складываются одно за другим, и выигрывает тот, кто первый достигнет числа 100. Как сделать так, чтобы наверняка первым сказать «сто»?
Примерные варианты решений и оценка задач
Муниципального этапа областной олимпиады школьников по математике
6 класс
Задача №1
Существует ли число, кратное 2011, сумма цифр которого делится на 2012?
Решение. Числом, кратным 2011 может быть, например, число 201120112011…2011. в этом числе 2012 раз повторяется набор цифр 2011.
Ответ: Существует.
Замечание по оцениванию
-Если приведен пример числа кратного 2011 и показано что сумма цифр делится на 2012, то задание оценивается в 7 баллов.
-Все остальное решение оценивается-0 баллов.
Задача № 2
У четырех братьев 450 рублей. Если деньги первого увеличить на 20 рублей, деньги второго уменьшить на 20 рублей, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько денег было у каждого брата.
Решение.
у четырех братьев 450 рублей | х1+х2+х3+х4=450 |
х1+20 | |
деньги второго уменьшить на 20 рублей | х2-20 |
деньги третьего увеличить вдвое | 2х3 |
деньги четвертого уменьшить вдвое | 0,5 х4 |
то у всех окажется поровну | х1+20= х2-20=2х3=0,5 х4 |
Запишем три уравнения:
х1+20= х2-20,
х1+20=2х3,
х1+20=0,5 х4. Выразим х2, х3, х4 через х1.
х2= х1+40,
х3=0,5(х1+20),
х4=2х1+40. Найдем сумму х1, х2, х3, х4 .
х1+ х1+40+0,5(х1+20)+ 2х1+40=450. Корень уравнения х1=80.
Далее находим х2, х3, х4.
Ответ: 80 руб.,120 руб.,50руб., 200 руб.
Замечание по оцениванию
-Правильный ответ и верные рассуждения оцениваются – 7 баллов.
-Верно составлено уравнение – 4 балла.
Задача №3
Существует ли шестиугольник, который одним прямолинейным разрезом разбивается на четыре равных треугольника?
Решение. Пример – на рисунке.
Ответ: да. 
Замечание по оцениванию
-Дан правильный ответ, без доказательств и рассуждений-7 баллов.
-За все остальные решения -0 баллов.
Задача №4
На окружности расположены 10 белых точек и одна красная. Рассмотрим всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше и на сколько: с красной вершиной или без неё?
Решение. Многоугольники, в которых все вершины белые, назовём белыми, а многоугольники с красной вершиной – красными. К каждому белому многоугольнику можно добавить красную вершину и получить красный многоугольник. С другой стороны, есть красные многоугольники, которые не получаются указанным образом – это красные треугольники. Их столько же, сколько есть пар белых точек, а именно 10*9/2=45.
Ответ: многоугольников с красной вершиной на 45 больше.
Замечание по оцениванию
-Правильный ответ с пояснением оценивается -7 баллов.
-Правильный ответ, но нет обоснования-1 балл.
-За все остальное решение -0 баллов.
Задача №5
Два шестиклассника называют поочередно произвольные числа, не превышающие 10. Эти числа складываются одно за другим, и выигрывает тот, кто первый достигнет числа 100. как сделать так, чтобы наверняка первым сказать «сто»?
Решение. По условию игры школьники поочередно называют числа, не превышающие 10. Поэтому, если первый игрок назвал число 1, то второй должен назвать число не больше 11. Построим ряд чисел, полученных вычитанием числа 11 от ста. Получим: 89,78,67,56,45,34,23,12,1. Теперь ясно, что какое бы число не назвал первый игрок (не превышающие 10), он не помешает второму игроку назвать числа из полученного ряда, например 12, 23, …78, 89 и 100. Поэтому выигрыш будет за ним. Если же первый игрок называет число 1, тогда второй игрок уже не сможет назвать 12 и право «верного хода» (назвать число 12) переходит к первому игроку. В этом случая выигрывает всегда тот, кто начинает игру.
Замечание по оцениванию
-Приведен правильный пример и верно выстроен алгоритм игры победителя – 7 баллов.
-Рассмотрена одна возможная ситуация в виде примера, отражающая алгоритм игры победителя – 4 балла.
-За все остальное - 0 баллов.
