Ответы к первому варианту диагностической работы по математике (9 класс)

Ответы к варианту №1

1. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим  во вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­чим урав­не­ние от­но­си­тель­но . От­сю­да . Под­ста­вим  в урав­не­ние , по­лу­чим: 

Ответ: (3; −4).

2. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 80 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 2 часа вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот про­шел 22 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ис­ко­мую ско­рость (в км/ч) за  . Плот прошёл 22 км, зна­чит, он плыл 11 часов, а яхта 9 часов. Таким об­ра­зом, имеем:

,
от­ку­да на­хо­дим  .

Ответ: 18 км/ч.

3. По­строй­те гра­фик функ­ции   и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

Пря­мая  будет иметь с гра­фи­ком един­ствен­ную общую точку при 

Ответ: [0;1).

4. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла  , если   — бис­сек­три­са угла  ,   — бис­сек­три­са угла  .

Ре­ше­ние.

Имеем:   = 2 · 25° = 50°;   = 180° − 50° = 130°;   = 130° : 2 = 65°.

Ответ: 65°.

25. В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АВ и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. До­ка­жи­те, что ОК и OL равны.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки АОВ и СОD равны по двум сто­ро­нам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, ∠AOB = ∠COD по усло­вию). Сле­до­ва­тель­но, вы­со­ты OK и OL равны как со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков.

26. Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK.

Ре­ше­ние.

Про­ведём от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP. Тогда MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP, а KP — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP = BP. Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP через . Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше ос­но­ва­ние, равна . Зна­чит пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна  и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK, ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК. Итак,             Зна­чит, 

Ответ: 5:3.