Презентация к уроку геометрии «Педальный треугольник» (10–11 класс)

Педальный треугольник

Содержание Определение Свойства педального треугольника Теоремы о педальном треугольнике Задачи

Теорема 1 Теорема 1 Теорема 2

Треугольник A1B1C1, называется педальным треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P. Треугольник A1B1C1, называется педальным треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P. P A B C A1 B1 C1

Теорема 1 Если расстояние от педальной точки до вершин треугольника ABC равны x, y, z, то длины сторон треугольника равны ax/2R, by/2R, cz/2R, где R – радиус описанной окружности. Рисунок

P A B C A1 B1 C1 x y z

Теорема 2 Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности. Рисунок

Теорема 1 Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3 Теорема 4. Точка Брокара

Теорема 1 Если из точки L внутри треугольника ABC опущены перпендикуляры la, lb, lc соответственно на стороны a, b, c треугольника, то + + = 1 Рисунок

Теорема 2 Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трех других. Рисунок

Теорема 3 Третий педальный треугольник подобен исходному Рисунок

A B C L c b a lc la lb ha hb hc A B L c b a lc la lb ha hb hc Sa Sb Sc

A B C O L N M

A B C C1 B1 A1 A2 B2 C2 C3 A3 B3

Теорема 4. Точка Брокара Педальный треугольник точки Брокара подобен исходному Рисунок

A N C B Q φ

P C A C1 B A1 B1

A B C J A1 B1 C1 c a b 1)

O A B C M L N 2)