Площади поверхностей и объёмы тел.

Перед началом занятия я предлагаю сложить из бумаги оригами, журавлика (прил1.) Здравствуйте ребята! Сегодня я проведу с вами урок наглядной геометрии по теме « Площади поверхностeй и объёмы геометрических тел». Занятие практическое.

Цели занятия:

1.Научиться правильно и математически грамотно выводить формулы для площадей и объёмов тел.

2.Развивать практические навыки при проведении опытов.

3.Воспитывать аккуратность и скрупулезность при проведении урока.

4.Наглядно продемонстрировать практический вывод формул для площадей и объёмов геометрических тел.

Давайте вспомним: 1.Чему равна площадь круга? 2.Чему равен объем куба с ребром «а»? 3.Чему равен объем призмы? 4.Чему равен объем конуса? Как вы думаете, откуда взялись эти формулы? Привожу пример со строителями (3*4*5) Рассказываю о московском папирусе (прил.2). Довожу об основных теоремах Архимеда. Говорю о звёздах их хаотичном расположении.

Давайте и мы примем результаты наших опытов за хаос и будем двигаться к порядку путём математического вывода формул. «От хаоса к порядку» Разбиваю класс на 4 группы, прошу выбрать старших групп, записываю их фамилии. Объясняю, что старший группы оценивает работу своей группы по 3-х бальной системе, а я, оцениваю работу старших групп. Показываю на проекторе. Провожу опыты, помогаю ребятам. Старшие групп выходят к доске и пишут результаты вывода формул. После чего делают вывод о верности теорем Архимеда.

Основная часть.

При изучении тем «Тела вращения» и «Объём пирамиды» знакомлю учащихся с историей данного вопроса, а для наглядного подтверждения проведём ряд опытов.

В глубокой древности изучением тел вращения занимались египтяне и вавилоняне. Так, если судить по Московскому папирусу, египтяне уже в 19 веке до н.э. вычисляли поверхность полу-шара.

Среди греческих математиков вычислением объёмов тел вращения занимался только Архимед ,который, пользуясь своеобразными методами, получил совершенно правильные формулы всех объёмов этих тел.Самым крупным своим открытием Архимед считал следующую теорему: «Площадь шара равняется учетверённой площади большого круга» и «Объём цилиндра, высота которого равна диаметру основания, в полтора раза превышает объём вписанного в него шара».Чертёж к этой задаче он завещал выгравировать на своей гробнице, что и было выполнен. Вывод формулы объёма шара и площади поверхности сферы – одно из величайших открытий Архимеда. В его произведении « О шаре и цилиндре» имеются следующие теоремы:

1.Площадь поверхности сферы равна учетверённой площади его большого круга, т.е. S=4πR².

2.Обьём шара равен учетверённому объёму конуса, основанием которого служит большой круг, а высотой – радиус шара, т.е. V=4/3πR³.

3.Обьём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.

4.Площадь поверхности цилиндра, включая основание, равна 3/2 площади поверхности вписанной сферы.

Для проведения практических занятий я, с помощью своих учеников, изготовил следующие геометрические тела:

1.Полая пирамида и полая призма с равными площадями оснований и равными высотами.

2.Модель куба, распадающаяся на 6 равновеликих пирамид. ( Каждая пирамида с основанием – гранью куба и вершиной – точкой пересечения диагоналей куба.)

3.Сосуд – конус и сосуд – полу-шар, радиусы основания и высоты которых равны.

4.Модель шара, распадающаяся на два равных полушария.

Опыт № 1.

-выдаю группе по полу-шару и шнур с двумя гвоздиками.

-Предлагаю им с помощью гвоздиков прикрепить конец шнура в вершину полу-шара , а второй группе в центр большого круга полу-шара.

-Ученики прикрывают шнуром поверхность полу-шара, укладывая его спиралью.

-Таким же образом 2 группа покрывает основание полу-шара – большой круг.

-Измерим длины использованных шнуров. В результате опыта увидим, что длина шнура, затраченного на покрытие основания полу-шара , т.е. большого круга радиуса R приблизительно в два раза меньше длины шнура, покрывающего поверхность полу-шара. Отсюда 1/2S≈πR²,S= 2πR². Площадь поверхности полу-шара равна 2πR²,значит площадь поверхности шара равна 4πR².

Описанный опыт – один из древнейших. Аналогично можно продемонстрировать и опыт ,подтверждающий, что объём цилиндра в полтора раза больше объёма вписанного в него шара.

Опыт№2.

Для проведения опыта нужны сосуд – конус и сосуд – полу-шар, радиусы основания и высоты которых равны. R – радиус, H – высота.

Переливаем воду из сосуда – конуса в сосуд –полу-шар и убеждаемся ,что Vк≈1/2Vп, 2Vк=Vп, Vш=4Vк=4/3πR³ или Vш=4πR²·1/3R=$сф·R/3.

Объём шара равен площади поверхности шара, умноженной на ⅓ его длины.

Опыт №3.

Демонстрируются 2 сосуда: один имеющий форму призмы, другой форму – пирамиды.

Переливая воду из сосуда –пирамиды в сосуд – призму ,учащиеся убеждаются , что ёмкость сосуда –пирамиды примерно в три раза меньше ёмкости сосуда – призмы: Vпир=⅓Vпр=⅓$осн·H.

Опыт №4.

Демонстрируется модель куба, распадающаяся на 6 равновеликих пирамид.

Ребро куба, Vпир=⅙Vк=⅙ ·a³. Или по другому:⅙a³=⅓a²·½a,где ½·a=Hпир.

Таким образом, Vпир= ⅓a²·H=⅓$осн·H.

После лично проведённых опытов ученики лучшее усваивают материал. Уроки геометрии становятся интереснее и динамичнее.

3. Заключительная часть:

- Напоминаю ученикам тему, цель урока.

- привожу высказывание Г.Галилея:

« Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

- отмечаю положительные стороны и недостатки занятия. Считаю, что мета -предметная тема «от хаоса к порядку» отработана.

ЛИТЕРАТУРА: « Античный мир – история развития геометрии» журнал

Математика в школе № 5 за 2005г.

За страницами учебника математики. (Л.В.Куликова, С.В.Шиловская, Г.Ю.Тараева) 2006г.

Приложения :

1. Московский математический папирус (математический папирус Голенищева) один из древнейших известных современных математических текстов. Он был составлен около 1850 лет до н.э. ,следовательно, превосходит по древности другой знаменитый древнегреческий текст, посвящённый разрешению математических задач, - папирус Ринда (или папирус Ахмеса), написанный около 1650 лет до н.э., т.е. Московский примерно на 200 лет старше.

Первым его владельцем был один из основателей русской египтологии Владимир Семёнович Голенищев (1856 – 1947).Ныне папирус находится в музее изобразительных искусств им. Пушкина в Москве. В 1870 г. Голенищев был назначен на службу в Эрмитаж и сделал там ряд открытий……

2.

Карточка (вспомогательная) к занятию по геометрии.

Группа № 1

Ф.И.О.

1._________________________________________________________

2.________________________________________________________

3._________________________________________________________

4._________________________________________________________

Опыт №1:

Измерение площади круга и площади полу-шара (сферы) ХАОС:

Длина нити по измерению круга:

Длина нити по измерению полушара:

ПОРЯДОК:

Вывод формулы площади сферы с использованием замеров:____________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Рефлексия: 1.Понравился урок или нет (да, нет)_________________________

2.Что нового вы узнали____________________________________

3.Какие знания из этого урока вам пригодятся________________

__________________________________________________________________