Показательная функция
(обобщающее занятие)
Дисциплина БД.06 Математика
1 курс
Разработчик: Латышева Н.Л.
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение Воронежской области
«Воронежский государственный промышленно-гуманитарный колледж»
Содержание
Области применения
Викторина
Домашнее задание
Число е, экспонента
История открытия
«Нет никакой области знаний, в которую бы не входили понятия функции и ее графического изображения»
К.Ф. Лебединцев, русский педагог, математик-методист (1878-1925)
История развития понятия «функция»
Идея функциональной зависимости восходит к древности.
Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения приближенной формулы: S=3r2.
Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, а примерами словесного задания функции – античные определения конических сечений.
Начиная лишь с 17 века понятие функции явно и вполне сознательно применяется.
Франсуа Виет и Рене Декарт разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.
В своей “Геометрии” в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.
В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени.
Франсуа Виет
Рене Декарт
История развития понятия «функция»
Само слово “функция” (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу, а в печати – с 1694 года.
В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748).
Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Леонард Эйлер.
Эйлер же впервые ясно определил большинство элементарных функций, в том числе показательную функцию.
Иоганн Бернулли
Леонард Эйлер
Биографические сведения о Леонарде Эйлере
Леонард Эйлер родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 года в семье пастора и провел детство в близлежащем селении, где его отец имел приход. Здесь Леонард получил начальное образование, наложившее глубокий отпечаток на всю его последующую жизнь. После окончания гимназии в 13 лет Эйлер поступил в Базельский университет, через три года окончил философский факультет и по настоянию отца записался на теологический.
Проявив свои математические таланты, Эйлер привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал руководить самостоятельными занятиями юноши.
В 1725 году Леонард Эйлер выразил желание сопровождать сыновей своего учителя в Россию, куда они были приглашены в Петербургскую академию наук. На следующий год он получил приглашение и сам. Весной 1727 года Эйлер прибыл в Петербург и был зачислен адъюнктом по кафедре высшей математики, а с 1731 года стал академиком (профессором).
В один из последних дней 1733 года 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катарине, дочери швейцарского живописца. Молодожены приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.
Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ.
Биографические сведения о Леонарде Эйлере
В 30-е годы 18 века Эйлер становится известен в Европе. После смерти императрицы Анны Леопольдовны Петербургская академия наук приходит в запустение, и Эйлер принимает предложение прусского короля Фридриха занять должность директора Математического департамента Берлинской академии. В Берлине Эйлер провел 25 лет и издал около 260 работ. Помимо математики он занимался многими практическими делами, включая лотереи, чеканку монет, прокладку водопровода и организацию пенсионного обеспечения.
Все эти годы он помогал Петербургской академии: участвовал в публикациях, редактировал математические отделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги и инструменты. На квартире Эйлера на полном пансионе годами жили молодые русские ученые, командированные на стажировку. Известно об оживленной переписке Эйлера с Ломоносовыми.
Первое время Эйлера встречают в Берлине доброжелательно, однако в дальнейшем отношения с королем не складываются – Фридрих находит великого математика невыносимо скучным, совершенно не светским.
В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II. Она предложила Эйлеру вернуться в Россию. 60-летний Эйлер с семьей прибыл в Россию, где жил и плодотворно работал до самой смерти.
Экспонента
Нарисуем несколько графиков функций, y=ax, изменяя а: 2≤а≤3.
Проведем к ним касательные в т. М(0;1). Угол наклона касательных будет изменяться от 35 до 51.
Очевидно, что увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угол наклона касательной будет равен 45.
Такое число обозначается буквой е, а показательная функция с таким основанием называется экспонентой. е ≈ 2,718.
Экспонента
Число e — математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828.
Число е можно представить как сумму:
Число е является пределом последовательности чисел:
xn = (1+1/n)n
xn = {2; 2,25; 2,37; 2,44; …}
Экспонента
Саму константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел, равный е.
Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером.
«Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям»
Леонард Эйлер, швейцарский математик (1707-1783)
Применение показательной функции
В биологии, экологии и медицине — Закон органического размножения: при благоприятных условиях (отсутствие врагов, большое количество пищи) живые организмы размножались бы по закону показательной функции. Например: одна комнатная муха может за лето произвести 8 1014 особей потомства. По такому же принципу распространились завезённые в Австралию кролики, которые стали экологической катастрофой для этого уникального региона. Ещё по этому закону возрастает количество клеток гемоглобина в организме человека, который потерял много крови.
Закон органического затухания: подобен размножению, происходит с той же скоростью и по тем же условиям, но происходит в обратную сторону.
Закон выравнивания: он тоже описывается показательной функцией и присутствует при таких процессах, как разрушение адреналина в крови и уменьшение количества радиоактивных веществ, выводимых почками.
Все эти процессы подчиняются одному закону: N = N0ekt
В демографии – рост народонаселения аналогичен закону органического размножения в биологии.
Задача:
Культуре из 100 бактерий предоставлена возможность размножаться при благоприятных условиях. Через 12 часов число бактерий достигло 500.Сколько бактерий будет через двое суток после начала опыта?
N2 = ?
Ответ: 62500 шт.
Применение показательной функции в физике
Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: T=T0+(100-T0)e-kt - это пример процесса выравнивания, который в физике также можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей, и при падении тела с парашютом.
Сила света I определяется по формуле: I = I0e-ks , где s – толщина слоя, k – коэффициент характеризующий мутную среду. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света.
Барометрическая формула – давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону p=p0e-h/H, где p0 – давление на уровне моря, р – давление на высоте h, H – некоторая константа, зависящая от температуры.
Радиоактивный распад – Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается, через некоторое время остается половина от первоначального вещества. Этот промежуток времени t0 называется периодом полураспада. Общая формула для этого процесса: m = m0(1/2)-t/t0 , где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Это явление используют для определения возраста археологических находок. Радий, например распадается по закону: M = M0e-kt, используя данную формулу ученые рассчитали возраст Земли.
Задача:
Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г ?
m = ?
Ответ: 1,13•10-7 (г).
Применение показательной функции в экономике
В финансовой математике увеличение суммы денег в результате начисления сложных процентов определяется формулой: FV=PV(1+j/m)mn
где
PV – исходная сумма денег
FV – наращенная сумма денег
n – число лет, соответствующее сроку финансовой операции
j – ставка процентов за год
m – число периодов начисления в году
В практических банковских расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Сумма денег при непрерывном начислении процентов увеличивается в соответствии с формулой S(t)=S0 e δt,
где S0 – начальная сумма денег.
В этой формуле величина δ характеризует скорость роста суммы. Ее называют силой роста, или силой процента. Она равна скорости относительного прироста суммы, т. е. равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени.
Задача:
На вклад с начислением сложных процентов помещены 10 000 р. Определить наращение суммы вклада через 2 года, если проценты начисляются ежеквартально из расчета 8 % годовых.
FV = ?
Ответ: 11 716,59 р.
«В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления»
Василий Петрович Ермаков, русский математик (1845-1922)
Викторина
1. Через какую точку проходят графики всех показательных функций?
М (1;0)
2. С помощью какого преобразования плоскости можно получить график функции у = (0,5)х из графика функции у = 2х?
Симметрия относительно оси Оу
3. Сопоставьте функцию и преобразование, с помощью которого можно получить ее график из графика функции y = 3x
y = 3(x-1)
y = 3 x - 1
y = - 3 x
y = 1 + 3 x
y = 3 x
Симметрия относительно оси Ох
Нижняя полуплоскость отображается симметрично относительно оси Ох
Сдвиг вправо на 1
Сдвиг вверх на 1
Сдвиг вниз на 1
4. Какая из следующих функций является возрастающей?
y = (/5) x
y = (е/)x
y = 0,2 x
y = (1/e) x
y = (1/0,2) x
5а). Какой из графиков соответствует функции y = 2 x+2
Ответ: в
5б). Какой из графиков соответствует функции y = -2 x +2
Ответ: А
5в). Какой из графиков соответствует функции y = 2 x - 3
Ответ: Г
5г). Какой из графиков соответствует функции y = 2 x – 4
Ответ: Д
6. В каком случае первое число меньше второго?
10 и 10 е
(1/2) 2 и (1/2) 4
3,1 10 и 3,1 3
1(1/е) и 1 е
0,3 10 и 0,3 3
7. Сколько точек пересечения имеют графики функций у = х1/2 и у = 2х?
Ни одной
8. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной.
9. Сопоставьте уравнение и метод его решения
0,2 (x+0,5) = (0,04 x) /25
102 x – 3·10 x – 4 = 0
5 (3x+1) = 26х+2
(3/4)x + 1 = (5/4) x
(1/3) x = 3x2
Замена переменной
Графический
Приведение к одному показателю
Использование
свойств степеней
Использование свойства монотонности
10. Неравенства 0,5 7-х 1 и 7 – х 0
не являются равносильными
11. Какой промежуток является решением неравенства:
(1/3) x 9
3; +)
-2; 0)
(-; -2
(-; 2
-2; +)
Домашнее задание
Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. - Упр. к главе 3, «Проверь себя»
Составить синквейн к словам «функция», «график», «экспонента», «степень»
