Ирина

Урок «Показательная функция, её свойства и график»

Участник педагогического конкурса ‒ III Всероссийский конкурс для учителей математики на лучшую методическую разработку «Урок-презентация»

Материал опубликован 24 March 2017

Тема: «Показательная функция, её свойства и график»

Цели:

Образовательные:

обеспечить усвоение каждым учащимся знаний о показательной функции, её свойствах и графике;

Развивающие:

развитие умений получать знания посредством проведения исследовательской деятельности и анализа ситуации;

развитие умения работать в группе;

развитие математического и общего кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательные:

воспитание ответственного отношения к своей деятельности, высокой познавательной активности и самостоятельности

Формы работы: фронтальная, групповая, индивидуальная

Тип урока:

По основной дидактической цели: урок изучения нового материала

По основному способу проведения: беседа в сочетании с практической деятельностью учащихся

По основным этапам учебного процесса: комбинированный урок (первичное ознакомление с материалом, образование понятий, установление связей и закономерностей, применение полученных знаний на практике)

Структура урока:

Организационный этап (2 минуты)

Мотивационно-целевой этап (5 минут)

Организационно - деятельностный этап (20 минут)

Этап закрепления изученного материала (7 минут)

Рефлексивно – оценочный этап (3 минуты)

Этап постановки домашнего задания (3 минуты)

Ход урока:

Организационный этап

Цель: подготовить учащихся к работе на уроке (взаимное приветствие, проверка подготовленности учащихся к уроку: рабочее место, внешний вид, организация внимания)

Мотивационно-целевой этап

а) Мотивация

Учащимся предлагается выполнить устное задание:
Предложенные в произвольном порядке функции проклассифицировать по выбранному основанию: y=2x, y=x2, y=(x-2)3, y=πx, y=x, y=x

№	Вопросы преподавателя	Ответы учащихся
1	Выбрав основание, проведите классификацию по этому основанию	а) y=x2, y=(x-2)3, y=x б) y=2x, y=πx, y=x
2	Что общего в этих функциях?	Все они представляют степень
3	Чем эти функции отличаются друг от друга?	В первой группе переменная в основании, а во второй – в показателе
4	А знакомы ли мы с группами таких функций?	С первой группой мы знакомы (нам известны сами функции, их свойства и графики), а с функциями второй группы мы ещё не работали
5	Какое бы название вы дали функциям, у которых переменная в показателе?	Показательные

б) Целеполагание

Итак, тема сегодняшнего урока «Показательная функция, её свойства и график», целью которого как раз и является изучение показательной функции, её свойств и графика. В ходе урока вы должны научиться:

давать определение показательной функции;

строить график показательной функции по точкам;

описывать свойства показательной функции при различных основаниях;

применять свойства показательной функции при решении задач (математический диктант)

Эта тема играет немаловажную роль, поскольку она имеет непосредственную связь с последующими темами курса математики. Кроме того с помощью этой функции описывается, например, такое явление, как радиоактивный распад.

Организационно - деятельностный этап

а) Определение показательной функции

№	Вопросы преподавателя	Ответы учащихся
1	Как известно, любая функция может быть записана в общем виде (линейная функция – y= kx+b, квадратичная – y=ax2+bx+c и т. д.). Как бы вы записали функцию, названную вами показательной?	Возможны затруднения
2	Поскольку у вас возникли затруднения, то давайте посмотрим, что из себя всегда представляет основание и что – показатель данной функции?	Основание – число (константа), показатель – переменная
3	На основе всего этого попробуйте записать показательную функцию в общем виде	y=ax
4	Любым ли числом может быть а?	Положительным, отрицательным, равным нулю
5	Давайте рассмотрим предложенные вами случаи: 1) пусть а0 (-7)2=49 (-7)1/2=- не имеет смысла таким образом, при а0 значение показательной функции не всегда определено 2) пусть а=0 тогда у=0 – линейная функция 3) пусть а0 23=8 2-3= 41/2=2 4-1/2= Таким образом, при а0 значение показательной функции всегда определено. Давайте рассмотрим ещё один случай: а=1, тогда у=1 – линейная функция	Участвуют в обсуждении
6	Таким образом, мы выяснили, что основанием данной функции может быть любое положительное число, не равное единице. А каким числом может быть показатель.	Любое число, т.к. в любую степень мы можем возводить положительное число.
7	На основе всего вышесказанного попробуйте сформулировать определение показательной функции	Пытаются сформулировать определение показательной функции.
8	Определение: Функция, заданная формулой у=ах, где а0, а1 называется показательной функцией с основанием а	Записывают данное определение в тетрадь.
9	Мы сформулировали определение показательной функции. Кроме определения мы пока ещё ничего не знаем. Как известно, функцию можно задать не только аналитически, но и графически, а также она обладает определёнными свойствами. Поэтому мы должны рассмотреть свойства и график показательной функции. Можем ли мы сейчас это сделать?	Затрудняются ответить на вопросы
10	Поскольку вы затрудняетесь ответить на поставленные вопросы, то вам предлагается провести исследование, которое и будет сводиться к выяснению свойств и построению графика показательной функции

б) Исследование

Работа в группах.

Задание:

Построить график функции по точкам (каждой группе предлагается построить график функции с шагом:1, ). Функции: у=2х, у=3х, у=4х, у=()х, у=()х, у=()х.

Описать свойства функции по построенным графикам.

Оформить проделанную работу на специальном бланке, который выдаётся каждой группе.

Исследование функции у=2х

Построение графика функции

у=2х, шаг 1

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у

у=2х, шаг

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
у

2) Описание свойств функции построенной функции:

1	Область определения функции
2	Множество значений функции
3	Чётность функции
4	Монотонность функции
5	Интервалы знакопостоянства	у0 при у0 при
6	Нули функции
7	Особые точки

Исследование функции у=()х

1)Построение графика функции

у=()х, шаг 1

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у

у=()х, шаг

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
у

2) Описание свойств функции построенной функции:

1	Область определения функции
2	Множество значений функции
3	Чётность функции
4	Монотонность функции
5	Интервалы знакопостоянства	у0 при у0 при
6	Нули функции
7	Особые точки

в) Обмен информацией (группы отчитываются по проделанной работе, результат выводится через кодоскоп)

г) Обобщение полученных результатов

Вопрос: Меняется ли вид графика при введении другого шага расчёта значений?

Ответ: Вид графика не меняется от выбранного шага, а лишь пополняется большим числом точек. Таким образом, далее уменьшая шаг расчёта значений, график функции будет стремиться к некоторой гладкой кривой, что свидетельствует о наличии непрерывной монотонной функции.

- обобщение материала на графиках функций с основаниями а1, 0а1 в одной координатной плоскости

- обобщение свойств показательных функций с основаниями а1, 0а1

	Свойства функции	у=ах, а1	у=ах, 0а1
1	Область определения функции	(-∞; +∞)	(-∞; +∞)
2	Множество значений функции	(0; +∞)	(0; +∞)
3	Чётность функции	ни четная, ни нечетная	ни четная, ни нечетная
4	Монотонность функции	возрастает на всей области определения	убывает на всей области определения
5	Интервалы знакопостоянства	у0 при х(-∞; +∞)	у0 при х(-∞; +∞)
6	Нули функции	не существует	не существует
7	Особые точки	(0;1)	(0;1)
8	График

Этап закрепления изученного материала

а) Выполнение математического диктанта

№	Вопрос	Ответ	Проверка
1	Какие из перечисленных функций являются монотонно возрастающими на своей области определения: (+, -)
	у=2х
	у=πх
	у=()х
2	Верно ли, что показательная функция: (+, -)
	принимает значение, равное нулю
	принимает значение, равное единице
	является чётной
	принимает только положительные значения
	принимает только отрицательные значения
	принимает как положительные, так и отрицательные значения
3	Сравнить числа m и n:
	()m  () n
	1,2m  1,2n
4	Сравните значения а (а0) с единицей
4	а3/4  а5/7
		из 12 ответов	____верных