"Понятие производной"

Конспект урока усвоения новых знаний

по математике в 11 классе

по теме «Понятие производной»

(профильный уровень, авторы УМК Никольский С.М.и др., на тему отводится 2 урока)

Тема урока: «Понятие производной»

Цель урока: создание условий для формирования у учащихся представления о производной функции, ее геометрическом и физическом смыслах, навыка ее нахождения.

Задачи:

образовательные (формирование познавательных УУД):

- вспомнить понятие предела функции, приращения аргумента и приращения функции.

-формировать представления о физическом и геометрическом смысле производной;

- формировать умения применять алгоритм нахождения производной функции.

-создать условия для овладения навыками решения задач по теме.

воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

- планировать учебное сотрудничество с учителем и учащимися;

-участвовать в коллективном обсуждении проблем;

- отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их фактами;

- учиться критично относиться к своему мнению, уметь признавать ошибочность своего мнения (если оно таково) и корректировать его.

развивающие (формирование регулятивных УУД):

- оценивать правильность выполнения действия;

- выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать из предложенных средств и искать самостоятельно средства достижения цели;

- составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы;

- выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий;

- осуществлять итоговый и пошаговый контроль, вносить необходимые коррективы в действие после завершения на основе учета ошибок;

- оценивать процесс и результаты деятельности;

- самостоятельно осознавать причины своего успеха или неуспеха и находить способы выхода из ситуации неуспеха.

Тип урока: урок первичного предъявления новых знаний.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: карточки с дифференцированными заданиями, карточки с заданиями из открытого банка заданий ЕГЭ, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, карточки для рефлексии настроения и результативности.

Ход урока

1) Организационный этап

Приветствие.

Ребята, доброе утро. Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показать карточку с изображением солнца)! А какое у вас настроение? У вас на столе лежат карточки с изображением солнца, солнца за тучей и тучи. Покажите, какое у вас настроение.

Обсуждение темы занятия.

Ребята, сегодня мы познакомимся с новым понятием:

1. С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2. Ньютон назвал её «флюксией» и обозначал точкой;

3. Бывает первой, второй и т.д.;

4. Обозначается штрихом.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. Актуализация знаний.

Ребята, прежде чем вы узнаете это понятие и, соответственно, тему урока, выполните задания в группах (задания: найти приращения функций) (карточки на столах у первой группы №1, №2, у второй - №3, №4, у третьей- карточки №5, №6, у четвертой - №7, №8, у пятой группы - №9, №10).

На доске задание «Записать соответствующую букву в ячейку»:

Прежде, чем приступить к выполнению, что мы должны вспомнить? (Вспомнить, что называют приращением аргумента, приращением функции, алгоритм нахождения приращения функции).

Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки х₀ к точке x = x₀ + Δx, нужно:

1. найти значение функции f(x₀);

2. найти значение функции f(x₀ + Δx)

3. найти разность f(x₀ + Δx) – f(x₀)

(Учащиеся выполняют и записывают соответствующую букву.)

Итак, сегодня на уроке мы поговорим о производной функции, о её нахождении.

Записываем тему урока «Понятие производной».

Слово учителя:

Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.

А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым. Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.

В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.

Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.

Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.

В первой из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.

Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Дети формулируют цель, задачи.)

(Разобрать слайды 1 и 2, сегодня мы узнаем почему происходит линеаризация участка кривой?)

3) Первичное усвоение новых знаний.

А) Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница!

(См. слайд)

Рассмотрим график у=х2 вблизи точки М(1;1), изображенный в разных масштабах. Почему график функции y = x2 «выпрямляется», если мы увеличиваем масштаб?

Найдите приращение функции в точке x₀ = 1:

Dу= (х₀ +D х)²-х₀²=2х₀*Dх +Dх²

Dу(1) = (1 + Dх)²-1²=2*Dх +Dх²

Как изменяется слагаемое (∆х)² при приближении к точке х = 1?

(∆х)² стремится к нулю быстрее, чем ∆х.

Следовательно, при малых значениях ∆х величиной (∆х)² можно пренебречь, следовательно, Dу(1)»2*Dх (*). С другой стороны,

Dу(1) = у(1+Dх) - у(1) = у(х) - у(1) = у - 1, т.к. 1+Dх = х, Dх = х - 1(**)

Итак, из (*) и (**) имеем:

Dу(1) = у -1 = 2 *Dх +Dх2,

у - 1 »2 *(х-1) +0,

у – 1 »2 (х - 1),

у »2х -1

Чем меньше ∆x, тем теснее в точке М(1;1) парабола у= х² примыкает к прямой y = 2x – 1, т.е. парабола касается прямой y = 2x – 1 в точке М.

В этом и заключается причина «выпрямления» графика функции y = x² при увеличении масштаба.

Б) Рассмотреть задачу 2 учебника.

В) Рассмотреть слайд 3.

С помощью какой формулы можно найти угловой коэффициент касательной (любой прямой)? (Выписать формулу k = tg α = ).

Г) Рассмотреть задачи 1 и 3 учебника.

Д) Ввести определения дифференцирования, производной функции в точке, обозначить ее геометрический и физический смысл (см. учебник). Выписать формулу производной.

Аристотель говорил: «Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на практике».

Г де вы можете применить полученные знания?

Е) Выполните задание из открытого банка заданий ЕГЭ. На рисунке изображен график функции у=f(x) и касательная к ней в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. (задача 8 ЕГЭ, профильный уровень).

4) Первичная проверка понимания

№1. Используя результаты вычислений приращения функций (см. карточки), выполненные в начале урока, найдите производные этих функций. (Проверить с информацией на слайде.)

№2. На рисунках изображены графики функции у=f(x) и касательные к ним в точках с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀. (задача 8 ЕГЭ, профильный уровень).

5) Первичное закрепление

Выполнить задания из учебника № 4.8 (у доски три человека), № 4.12 с самопроверкой (на экране – подробное решение).

Поднимите руки, кто справился без ошибок? Кто не справился?

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. Рефлексия

Ребята, давайте оценим нашу работу на уроке. Каким вопросам был посвящен урок? Чему научились на уроке? Достигли ли поставленных целей?

Какие формулы изучили на уроке?

(Учащиеся формулируют понятие производной функции, рассказывают, как обозначается производная, как называется математическая операция нахождения производной функции, в чем заключается геометрический смысл производной функции.)

Закончите предложение:

“Сегодня на уроке я узнал…”

“Сегодня на уроке я научился…”

“Сегодня на уроке я познакомился…”

“Сегодня на уроке я повторил…”

“Сегодня на уроке я закрепил…”

(Звучит спокойная музыка)

Сегодня на уроке получили следующие отметки: (назвать отметки учащихся).

Задание на дом: п. 4.1, №№ 4.5, 4.6 (устно), 4.11, 4.13. В течение недели подготовить (разбиться на группы) презентации о жизнедеятельности Готфрида Вильгельма Лейбница, Исаака Ньютона, об истории дифференциального исчисления, о практическом применении производной.

Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в методах применения производной к решению различных задач, то нарисуйте себя на вершине самой высокой горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже.

Я себя нарисовала на вершине горы, потому что организовала вашу работу так, что вы самостоятельно добыли знания, научились решать задачи на нахождение производных.

Покажите свои рисунки.

Рефлексия настроения. (Звучит спокойная музыка). Ребята, поскольку мы достигли цели нашего урока, то настроение у меня вот такое: (показываю солнце).

А какое настроение у вас?

Итак, вы изучили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении практических задач.

Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей жизни.

Спасибо за урок!