Практико-ориентированный проект «Математические механические головоломки»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Быстрогорская средняя общеобразовательная школа

 

 

Практико-ориентированный проект

«Математические механические головоломки»

Автор

Выпряжкина Анна

Ученица 9Б класса МБОУ Быстрогорская СОШ

Руководитель

Смагина Ольга Михайловна,

учитель математики

МБОУ Быстрогорская СОШ

 

 

 

 

Оглавление

Введение

Основная часть

Глава 1. Исторические сведения

§ 1. Что такое кубик Рубика

§ 2. История создания кубика Рубика

§ 3. Методика скоростной сборки Джесики Фридрих

§ 4 . Варианты кубика Рубика

Глава 2. Применение кубика Рубика

§ 1. Применение кубика Рубика в психологии

§ 2. Применение кубика Рубика при решении олимпиадных задач

Глава 3. Описание процесса исполнения проекта

- этапы и методы работы над проектом

- материально – техническое, информационное и методическое обеспечение проекта

- график работы над проектом

Заключение

Список используемой литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

 

 

 

 

 

 

 

Введение

1.Определение темы проекта.

Когда моя кандидатура была одобрена на выборы президента детского объединения «Исток» Быстрогорской школы, я уже знала о том, что одним из пунктов моей предвыборной программы будет решение проблемы занятости учащихся на переменах. К сожалению, круг интересов моих сверстников часто ограничивается компьютерными играми, телефоном, общением в социальных сетях. Как научить одноклассников общаться по-другому, как привить им новые интересы? Может быть, я смола бы помочь им, предложив новое увлечение – механические головоломки, например, кубик Рубика?

2. Целеполагание проекта.

В какой форме реализовать решение осознанной проблемы? Развитие новых форм общения, не связанных с компьютером или телефоном, должно происходить в соревновательной форме, которая свойственна подросткам. Самое эффективное в моем случае – подготовить проект, включающий мастер-класс по обучению основным навыкам сборки кубик Рубика, презентацию по теме, анкетирование и самое главное – организацию соревнований по скоростной сборке кубик Рубика. Так родилась идея проекта «Математические механические головоломки». Совместно с членами волонтерского отряда, я провела социологический опрос среди учащихся нашей школы, выявляющий интерес к этой головоломке. Высокий интерес учащихся к математическим механическим головоломкам определил цель, конкретные задачи и целевую аудиторию проекта.

Цель проекта: провести мастер-класс, знакомящий учащихся с историей возникновения и правилами сборки математических механических головоломок.

Задачи проекта:

Изучить научно-популярную литературу, исторические и биографические материалы по теме проекта.

 

2. Составить сценарий и провести мастер-класс «Математические механические головоломки» среди учащихся МБОУ Быстрогорская СОШ.

3.Начать работу по созданию «книги рекордов» по скоростной сборке учащихся МБОУ Быстрогрская СОШ.

Целевая аудитория. Созданный продукт адресован всем учащимся, любящим логические задачи и математику в целом, а также всем тем, кто готовится к олимпиадам и просто хочет развить свое логическое мышление и пространственное воображение.

Гипотеза проекта: математические механические головоломки формируют логическое мышление школьников, развивают круг интересов, не связанных с компьютером, повышают коммуникативные способности подростков.

Методы работы над проектом: анализ литературы и практических видеоматериалов по теме проекта, сопоставительный метод, социологический опрос (проведение анкетирования), соревнование по скоростной сборке кубик Рубика.

Ожидаемый результат среди учащихся средних классов:

1.Расширение знаний в рамках предметной области (математики).

2.Повышение заинтересованности в освоении логических некомпьютерных игр.

3.Развитие памяти, мелкой моторики, терпения.

 

Глава 1. Исторические сведения

§ 1. Что такое кубик Рубика?

Кубик Рубика (разговорный вариант Кубик-рубик; первоначально был известен как «Магический кубик», венг. Bűvös kocka) — механическая головоломка, изобретённая в 1974 году (и запатентованная в 1975 году) венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком.

Головоломка представляет собой пластмассовый куб (форм-фактор в первоначальном варианте 3×3×3). Его видимые элементы снаружи выглядят как 54 грани малых кубиков, составляющих один большой куб, и способны вращаться вокруг 3 внутренних осей куба. Каждая грань состоит из девяти квадратов и окрашена в один из шести цветов, в одном из распространённых вариантов окраски расположенных парами друг напротив друга: красный — оранжевый, белый — жёлтый, синий — зелёный; но в различных вариантах кубик Рубика грани окрашиваются в разные цвета совершенно различным образом. Повороты граней позволяют переупорядочить цветные квадраты множеством различных способов. Задача игрока заключается в том, чтобы «собрать кубик Рубика»: поворачивая грани куба, вернуть его в первоначальное состояние, когда каждая из граней состоит из квадратов одного цвета.

Считается, что кубик Рубика — лидер среди игрушек по общему количеству продаж: по всему миру было продано порядка 350 млн кубиков Рубика, как оригинальных, так и различных аналогов. Интересный факт: если их поставить в ряд, то они протянутся почти от полюса до полюса Земли.

§ 2. История создания кубик Рубика

История кубик Рубика началась в марте 1970 года, когда Ларри Николс изобрел головоломку 2×2×2 с вращающимися частями, собранными на магнитах. Изобретатель сразу подал заявку на оформление канадского патента и уже 11 апреля 1972 года Николс получил американский патент под номером 3655201 (позднее, в 1986 году апелляционный суд подтвердил, что карманный кубик Рубика 2×2×2, по причине сходства изобретений, нарушает авторские права Николса). 9 апреля 1970 года Франк Фокс подаёт заявку на сферическую головоломку 3×3×3, и 16 января 1974 года получает патент.

 

 

В середине 1970-х Эрнё Рубик работал в отделе Дизайна интерьера в академии Прикладного искусства в Будапеште. Для того чтобы доходчиво объяснять основы математической теории групп и развивать у студентов навыки пространственного воображения, Рубик несколько лет бился над созданием наглядного учебного пособия в виде трехмерной задачи-головоломки. Профессор вдоволь поэкспериментировал с бумажными и картонными образцами, магнитными элементами, моделями, скрепленными резиновыми стяжками, пока не решил попробовать творить из пластика. Вначале игрушка представляла собой набор из 27 деревянных кубиков с разноцветными гранями. В дальнейшем пришлось отбросить все лишнее: в своем первом кубике Рубик оставил всего 54 внешние грани – одноцветные у шести центральных кубиков, двухцветные у двенадцати боковых и трехцветные у восьми угловых. На место единственного «внутреннего» кубика был помещен цилиндрический скрепляющий механизм, так называемый «позвоночник» системы, который имел прочную связь со всеми наружными деталями, но позволял им свободно вращаться друг относительно друга. Сторона оригинального кубика размером 57 мм, вычисленная Рубиком, была впоследствии названа мировым научным сообществом «золотым стандартом». Как позднее признался сам Эрнё Рубик, он заложил в изобретение кубика особый философский смысл: «то, что каждая его грань состоит из трех слоев по три блока, имеет большое значение, поскольку число три обладает специфическим смыслом, который проявляется в странных связях между человеком и природой: мать – дитя – отец; небеса – земля – преисподняя; созидание – сохранение – разрушение; рождение – жизнь – смерть». Любопытен тот факт, что, создав первый образец кубика, Рубик с ужасом осознал, что не в состоянии его собрать. Почти месяц затратил Эрно на «приручение» собственного шедевра. Дело в том, что легендарный кубик имеет порядка 43 квинтильонов различных вариаций, и только одна из них является правильной! Просмотр всех возможных состояний кубика Рубика, даже с невероятной скоростью 1000 комбинаций в секунду, займет более миллиарда лет…

§ 3. Методика скоростной сборки Джессики Фридрих

Этот метод был придуман в 1981 году в Чехии Джессикой Фридрих. Он относится к послойным методам, т.е. кубик собирается по слоям, как во многих методиках для начинающих. Однако в данном методе сделаны усовершенствования, позволяющие снизить количество этапов с 7 до 4. Сначала собирается крест на начальной стороне, потом собирается первый слой одновременно со вторым, а последний слой решается в 2 этапа. Но не все так просто, чтобы освоить данный метод полностью, нужно выучить 119 алгоритмов!

P.S. Не советуем учить метод Фридрих, если вы начинающий. Сначала хорошо освойте обычную послойную методику. Доведите свое время хотя бы до полутора-двух минут, а уже потом начинайте потихоньку переходить на Джессику.

4 этапа метода Фридрих

 

Время выполнения алгоритмов тут вычисляется, исходя из скорости 3 - 3,5 хода в секунду. Время обдумывания, какой алгоритм попал, тут не учитывается (в скоростной сборке надо стремиться к тому, чтобы промежутков между алгоритмами вообще не было). На самом деле алгоритмы можно натренировать и быстрее трех ходов в секунду, что позволит достичь среднего времени в 12-14 секунд (время чемпионов). 

 

§ 4. Варианты кубик Рубика.

1.Мегаминкс

Пирамидка Мефферта

Помимо традиционного 6-цветного исполнения кубика 3×3×3 встречаются 2×2×2, 4×4×4, 5×5×5, 6×6×6, 7×7×7, 8×8×8, 9×9×9, 10×10×10, 11×11×11, 13×13×13, 17×17×17; кубики с изображениями на гранях; «гибриды», полученные объединением нескольких кубиков, варианты с тетраэдрами, закруглёнными углами. Куб со стороной 4 часто называют мастер-кубом (англ.), или «Реваншем Рубика» («местью Рубика»).

Гигаминкс

Тераминкс

Также существует кубик 2×2×2 — он тоже довольно не прост для сборки, хотя разумеется проще классического 3×3×3. Есть двуцветные, для малышей. Эта головоломка познакомит их с такой вещью, как кубик Рубика. На данный момент самым большим невиртуальным является кубик Рубика 13×13×13. Также предпринимались единичные попытки изготовления таких размеров, как 12×12×12 и даже 17×17×17 некоторыми мастерами и изобретателями головоломок.

Спустя почти 30 лет после своего гениального изобретения — кубика, знаменитый профессор Эрнё Рубик создал новую головоломку — шар Рубика, демонстрация которого состоялась на выставке в Германии в феврале 2009 года.

Одной из последних модификаций кубика Рубика является Зеркальный кубик Рубика (Rubik’s Mirror Blocks), с размером массива 3×3×3, как и в оригинальной версии головоломки, однако выполненный со всеми гранями одного цвета (часто блестящими, зеркальными — откуда и название), но на каждой из которых вместо квадратов — прямоугольники разных размеров. Другими словами, 26 элементов такого кубика имеют форму параллелепипеда и отличаются не цветами, а размером и формой (соотношением рёбер и граней). Собирать такой куб сложнее ввиду его объёмности — разобранный куб выглядит нагромождением параллелепипедов различных размеров. Однако он подчиняется схемам сборки классического куба 3×3×3, стоит лишь абстрагироваться от форм составных элементов.

Существует множество головоломок, аналогичных кубику Рубика по устройству, но другой формы:

тетраэдр «Пирамидка Мефферта» («Молдавская пирамидка») или «Японский тетраэдр») — изобретена раньше кубика Рубика и является самой простой для сборки из перечисленных головоломок;

другой тетраэдр — «Jing’s Pyraminx»;

октаэдр, известный как «Trajber's Octahedron 3×3×3» — головоломка, которую можно бы было назвать двойственной Кубику Рубика по аналогии с понятием двойственный многогранник;

додекаэдр «Мегаминкс», являющийся додекаэдрическим аналогом кубика Рубика 3×3×3;большой додекаэдр Звезда Александера;

Глава 2. Применение кубика Рубика.

§ 1. Применение кубика Рубика в психологии

Психологи используют кубик Рубика в методике, предназначенной для диагностики уровня разви­тия наглядно-действенного мышления.

Пользуясь известным кубиком Рубика, ребенку задают раз­ные по степени сложности практические задачи на работу с ним и предлагают их решить в условиях дефицита времени.

Ниже приведены описания девяти таких заданий, вслед за ко­торыми в скобках указано количество баллов, которое получает ребенок, решив данную задачу за 1 мин. Всего на эксперимент отводится 9 мин (по минуте на задачу).

Замечание. Переходя от решения одной задачи к другой, каж­дый раз необходимо изменять цвета собираемых гра­ней кубика Рубика.

Задание 1. На любой грани кубика собрать столбец или стро­ку из трех квадратов одного цвета (0,3 балла).

Задание 2. На любой из граней кубика собрать два столбца или две строки из квадратов одного и того же цвета (0,5 балла).

Задание 3. Собрать полностью одну грань кубика из квадра­тов одного и того же цвета, т.е. полный одноцветный квадрат, включающий в себя 9 малых квадратиков (0,7 балла).

Задание 4. Собрать полностью одну грань определенного цве­та и к ней еще одну строку или один столбец из трех малых квад­ратиков на другой грани кубика (0,9 балла).

Задание 5. Собрать полностью одну грань кубика и в допол­нение к ней еще два столбца или две строки того же самого цвета на какой-либо другой грани кубика (1,1 балла).

Задание 6. Собрать полностью две грани кубика одного и то­го же цвета (1,3 балла).

Задание 7. Собрать полностью две грани кубика одного и то­го же цвета и, кроме того, один столбец или одну строку того же самого цвета на третьей грани кубика (1,5 балла).

Задание 8. Собрать полностью две грани кубика и к ним еще две строки или два столбца такого же цвета на третьей грани ку­бика (1,7 балла).

Задание 9. Собрать полностью все три грани кубика одного и того же цвета (2,0 балла).

Оценка результатов

Оценка результатов работы с этой методикой производится следующим способом. Если число баллов, набранных ребенком равно 10, то его наглядно-действенное мышление считается очень высоко развитым.

Если в процессе решения всех задач ребенок за отведенное время в сумме набрал от 4,8 до 8,0 баллов, то его мышление счи­тается высокоразвитым.

Если общая сумма баллов, набранных ребенком, оказалась в пределах от 1,5 до 3,5 баллов, то его наглядно-действенное мыш­ление рассматривается как среднеразвитое, а сам он — подготов­ленным к обучению в школе.

Если общая сумма баллов, набранных ребенком, не превыси­ла 0,8 балла, то его наглядно-действенное мышление считается слаборазвитым, а сам он по данному параметру не готов к обуче­нию в школе.

§ 2. Применение кубика при решении олимпиадных задач.

Применять кубик Рубика можно и при решении олимпиадных заданий. Рассмотрим несколько олимпиадных задач для 6-11 классов и задач по стереометрии для старших классов.

1. Условие. На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?  ( 7класс)

Решение. Имея перед собой кубик Рубика, легко увидеть, что можно оставить нижнюю грань и на ней по любой из диагоналей 3 столбика по 2 кубика в каждом. Всего останется 15 кубиков, значит убрать можно 12.

Ответ: 12.00

2. Условие.В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая форму куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру, чтобы перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать? (7-9 класс)

       

Решение. Сделаем развертку куба. Две противоположные вершины куба попадут в противоположные вершины прямоугольника 2 × 1, образованного двумя соседними гранями куба. Кратчайший соединяющий их путь - это диагональ прямоугольника, она пересекает общее ребро этих граней в его середине. Таким образом, жуку следует двигаться по прямой к середине ребра, не выходящего из его вершины, а затем по прямой к вершине, в которую нужно попасть. 

 

Заметим, что таких ребер всего шесть, и значит, существует шесть кратчайших путей. 

3. Условие (задача, основанная на решении предыдущей)

Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами. (задача по геометрии для 10 – 11 классов).
Решение. Кратчайший путь разобран в предыдущей задаче. Получаем прямоугольный треугольник с длинами катетов 1 и 2. Тогда длина гипотенузы .

Ответ:  . 

4. Условие. Шестью одинаковыми параллелограммами площади 1 оклеили кубик с ребром 1. Можно ли утверждать, что все параллелограммы – квадраты?

Можно ли утверждать, что все они – прямоугольники?

Решение. Нет. На рисунках показаны примеры таких кубиков.

5. Условие.Какое максимальное количество фигурок 2*2*1 можно уложить в куб 3*3*3? (7-8 кл)

Подсказка.Постарайтесь укладывать фигурки. оставляя пустой центральную клетку. 

Решение.Объем одной фигурки 2*2*1 равен 4, а объем куба 3*3*3 = 27. Отсюда следует, что 7 фигурок уложить нельзя, так как 7*4>27.

Покажем, как разместить 6 фигурок.

Первый уровень: 112

112

*33

Второй уровень: 442

5*2

533

Третий уровень: 44*

566

566

Здесь цифры обозначают номера фигурок, к которым принадлежит данная клетка.

Ответ: 6 фигурок.

6. Условие.Куб, стоящий на плоскости, несколько раз перекатили через его рёбра, после чего он вернулся на прежнее место. Обязательно ли он стоит на той же грани? (5-7 класс)

Решение.Пусть куб находится перед нами, а нижняя грань окрашена. Рассмотрим следующий путь куба (см. рисунок).

Ответ: нет

7. Условие.Обязательно ли будут параллельными две плоскости, перпендикулярные одной и той же плоскости?  ( геометрия 10-11 класс)
Решение.Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Каждая из плоскостей граней  ABB1A1 и BB1C1C перпендикулярна плоскости ABCD , т.к. соответствующие двугранные углы равны 90o . В то же время, плоскости ABB1A1 и BB1C1C пересекаются по прямой BB1 . Таким образом, две смежные грани, перпендикулярны к третьей, но между собой не параллельны.

Ответ: нет.

8. Условие.Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин? 

Решение.На рис. показано, как отметить 7 клеток на трёх смежных гранях куба. На трёх "невидимых" гранях нужно отметить семь клеток, симметричных этим.
Докажем теперь, что больше 14 клеток требуемым образом отметить невозможно. Посчитаем общее количество вершин клеток кубика Рубика. Имеются 8 вершин самого кубика, ещё по две вершины на каждом из 12 рёбер и ещё по 4 вершины на каждой из 6граней.Итого:8+12*2+6*4=56вершин.
Каждая из этих вершин принадлежит по условию не более, чем одной отмеченной клетке. Если бы отмеченных клеток было больше 14, то вершин было бы больше, чем 14*4 = 56, поскольку каждая клетка имеет 4 вершины. Значит, отмеченных клеток не более 14.

Ответ: 14.

9. Условие.Кубик 3*3*3 нетрудно распилить на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается распиливать несколько кусков сразу и перекладывать части? 

Подсказка.Нужно обпилить со всех сторон средний кубик. 

Решение.Рассмотрим центральный кубик 1*1*1 (единственный кубик, который не виден снаружи). Чтобы в конце получилось 27 кубиков, нужно выпилить центральный кубик, т.е. произвести по крайней мере по одному распилу вдоль каждой из шести граней центрального кубика. Ясно, одним распилом нельзя пилить вдоль двух граней. Отсюда следует, что нужно сделать по крайней мере шесть распилов. 

Ответ: нет.

10. Условие.Куб размером 3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении? 

Подсказка. Выйдя из углового кубика, через ход обязательно попадёшь в центр грани.

Решение.Предположим, что можно. В кубе 8 угловых кубиков (на рисунке они покрашены в чёрный цвет) и 6 '' центральных'' кубиков (они расположены в центрах граней и заштрихованы на рисунке). Нетрудно видеть, что любой ход из углового кубика ведёт в кубик в середине ребра, а следующий ход — в центральный кубик. Таким образом, чтобы попасть из одного углового кубика в другой, придётся пройти хотя бы через один центральный. Иными словами, между каждыми двумя соседними (в порядке обхода) угловыми кубиками должен встретиться хотя бы один центральный. Значит, центральных кубиков не меньше семи, а их всего лишь шесть!

Ответ: нет.

11. Условие.Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?

Подсказка.На каждой грани можно построить путь, обходящий все 9 клеточек грани и при этом начинающийся в любом заданном угле и кончающийся в любом другом заданном угле.

Решение. На рисунке показан пример такого пути.

12. Условие. Разрезать куб на три равные пирамиды. ( геометрия 10-11 класс)
Решение

В качестве вершины пирамид можно взять одну из вершин куба, а в качестве их оснований — три грани куба, не содержащие эту вершину. 
Для решения более сложных задач необходимо рассмотреть группу симметрий куба.

Симметрии куба делятся на два типа – самосовмещения, при которых точки куба не изменяют своего положения относительно друг друга, и преобразования, оставляющие куб в целом на месте, но передвигающие его точки относительно друг друга. Преобразования первого типа будем называть вращениями. Все вращения образуют группу, которая называется группой вращений куба. Опишем ее строение.

Имеется ровно 24 вращения куба вокруг различных осей симметрии.

В самом деле, при поворотах куба место нижней грани может занять любая из 6 граней куба. Для каждой из 6 возможностей – когда указано, какая именно грань расположена внизу, - имеется 4 различных расположения куба, соответствующих его поворотам вокруг оси, проходящей через центры верхней и нижней граней, на углы 0о, 90о, 180о, 270о. Таким образом, получаем 6*4=24 вращений куба. Укажем их в явном виде.

Куб имеет центр симметрии (точка пересечения его диагоналей), 3 оси симметрии четвертого порядка, 4 оси симметрии третьего порядка и 6 осей симметрии второго порядка. Достаточно рассмотреть вращения вокруг осей симметрии.

а) Оси симметрии четвертого порядка – это оси, проходящие через центры противоположных граней. Вокруг каждой из этих осей имеется по три нетождественных вращения, а имеено вращения на углы 90о, 180о, 270о.Этим вращениям соответствует 9 перестановок вершин куба, при которых вершины противоположных граней переставляются циклически.

б) Осями симметрии третьего порядка являются диагонали куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей имеется по два нетождественных вращения на углы 120о, 240о. Всего получаем 8 таких вращений.

в) Осями симметрии второго порядка будут прямые, соединяющие середины противоположных ребер куба. Имеется 6 пар противоположных ребер., каждая пара определяет одну ось симметрии, т.е. получаем 6 осей симметрии второго порядка. Вокруг каждой из этих осей имеется одно нетождественное вращение. Всего – 6 вращений. Вместе с тождественным преобразованием получаем 9+8+6+1=24 различных вращений. Вращения куба определяют перестановки на множествах его вершин, ребер, граней и диагоналей.

Опишем теперь всю группу симметрий куба. Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через его центр. Симметрии относительно этих плоскостей в сочетании со всеми вращениями куба дают нам еще 24 преобразования, являющихся самосовмещениями куба. Поэтому полная группа симметрий куба состоит из 48 преобразований.

13. Условие. Сколько существует различных раскрасок граней куба в 6 различных цветов? Две раскраски считаются одинаковыми, если их можно совместить вращением куба вокруг его центра.

Эту задачу на Московской математической олимпиаде 1935 года не решил вообще ни один человек. Эту же задачу предложили на турнире имени Ломоносова в 1986 году.

Решение.    Первый способ. Предположим, что процедура окраски куба происходит следующим образом: непокрашенный куб устанавливают в станок в некоторое фиксированное положение, а затем последовательно красятся его грани в определенном порядке. Таких способов столько же, сколько перестановок 6 цветов, т. е. 6!. Но установить куб в фиксированное положение можно 24 различными способами: куб можно поставить на любую из 6 граней и затем повернуть вокруг вертикальной оси любым из четырех способов. Поэтому геометрически различных раскрасок в 24 раза меньше, то есть  6! : 24 =30.
   Второй способ. Куб всегда можно повернуть гранью нужного (скажем, белого) цвета вниз, поэтому можно считать, что всегда в белый цвет красится именно нижняя грань. После этого у нас есть 5 способов выбрать цвет для противоположной грани. Из оставшихся 4 цветов зафиксируем один и окрасим в него переднюю грань (другие варианты раскраски можно не рассматривать, поскольку всегда можно повернуть куб вокруг вертикальной оси в такое положение). Остается 3! вариантов для окраски трех оставшихся граней.
Всего получаем  5·3! = 30  способов.

Ответ: 30.

 

Глава 3. Описание процесса исполнения проекта

1. Этапы и методы работы над проектом

2. Материально-техническое, информационное и методическое обеспечение проекта

Для реализации проекта потребуется:

а) материально-техническое обеспечение: фотоаппарат, принтер, сканер, мультимедийный проектор, компьютер, бумага;

б) информационное обеспечение: доступ к ресурсам Интернета;

в) методическое обеспечение: учебная и научно-популярная литература по комбинаторике и методам проведения социологических опросов.

График работы над проектом.

Поэтапный график работы над проектом приведен в табл.1, в ней указаны ориентировочные даты, определяющие длительность основных этапов работы.

Таблица 1

График работы над проектом

«Математические механические головоломки»

Заключение

Подводя итог проделанной работе, следует отметить, что цель и поставленные задачи проекта достигнуты. Об этом свидетельствуют отзывы учащихся и учителей школы, повышенный интерес к этой теме среди моих одноклассников. Я сама освоила новые скоростные способы сборки кубика Рубика, теперь я могу помочь тем, кто ещё не овладел алгоритмом сборки, но очень хочет научиться собирать кубик. В школе я нашла единомышленников и очень хочется, чтобы сборка кубик Рубика стала альтернативой компьютерным играм и общению в социальных сетях.

Изучение этой темы позволит развить больший интерес к математике среди учащихся школы, сформировать у них умение применять полученные знания на практике, воспитать такие умения, как самостоятельность и творческий подход в развитии логического мышления.

В процессе работы над проектом я приобрела:

а) знания в области математической комбинаторики;

б) умения, связанные с формулировкой проблемы и гипотезы исследования, структурирования материала, подбора аргументов, формулировки выводов;

в) практические навыки выступления перед аудиторией, самостоятельной организации своей деятельности, работы с научной и справочной литературой.

Таким образом, я еще раз убедилась в ценности научных знаний в современном мире, проверила свои способности в проектной деятельности. Проект дал возможность проявить собственное творческое видение процесса и результата работы, создать проектный продукт, в котором воплотился творческий замысел. Я поняла, что для достижения любой цели необходимы умственная активность, трудолюбие, наблюдательность, настойчивость, быстрота ориентации, сосредоточенное внимание.

Использованная литература

Дубровский, В. Алгоритм волшебного кубика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://kvant.mccme.ru /1982/07/ algoritm_ volshebnogo_kubika.htm .

Залгаллер, В., Залгаллер, С. Венгерский шарнирный кубик [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://kvant. mccme.ru/1980 /12/ vengerskij_sharnirnyj_kubik.htm .

История кубика Рубика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rubik- cube.ru /?page=history.

История спидкубинга [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://speedcubing.ru/history.

Карасев, А.А. Как научиться собирать кубик Рубика в объеме [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.nkj.ru/archive/ articles/9223/.

Константинов, И. А. Векторное сложение кубика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.nkj.ru/ archive/articles/9222.

Кубик Рубика собрали за 0,8 секунды [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https:// news.rambler.ru/ science/ 32724081/ ?utm_content= news&utm_medium= read_more&utm_source=copylink.

Метод сборки Джессики Фридрих [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://cubemir.ru/speedcubing/fridrich/fridrich.htm.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1.

Анкета

Дорогие ребята! Ответьте, пожалуйста, на вопросы, посвященные математическим механическим головоломкам.

 

1. Есть ли у Вас дома кубик Рубика?

Да __________ Нет ____________________

2. Пытались ли Вы собрать кубик Рубика?

Да __________ Нет ____________________

3.Получалось ли у Вас полностью собрать кубик Рубика?

Да __________ Нет ____________________

4. Хотелось ли Вам научиться собирать кубик Рубика?

Да __________ Нет ____________________

5.Есть ли у Вас дома другие математические механические головоломки?

Да __________ Нет ____________________

6.Как Вы думаете, помогают ли механические головоломки в развитии ребенка?

Да __________ Нет ____________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2

 

Результаты анкетирования

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

Проектный продукт

Мастер – класс «Математические механические головоломки»

Слайд 1. Здравствуйте, дорогие ребята и учителя! Я, Выпряжкина Анна, хочу представить вам мой практико-ориентированный проект «Математические механические головоломки». Я расскажу вам об истории возникновения и способах сборки популярных механических головоломок, а потом мы проведем обучающий семинар по сборке кубик Рубика.

Слайд 2. Знаете ли вы, что самая популярная механическая головоломка – это кубик Рубика? Рекорд сборки кубика Рубика – 5,55 секунд, минимальное количество ходов сборки - 26, а максимальное - 43 квинтильона комбинаций. Так что это занятие для любопытных!

Слайд 3. Кубик Рубика – это разговорный вариант, первоначально он назывался Магический кубик. В связи с ростом популярности головоломки Рубика, многие магазины предлагают купить различные модификации кубика Рубика, рассчитанные на различный уровень подготовки - от начинающих, до рекордсменов.

Слайд 4. Вариантов исполнения кубика Рубика много: существуют кубики 2 на 2, 3 на 3, 4 на 4, 5 на 5, 7 на 7, 11 на 11 и 13 на 13. Варианты исполнения кубика, превышающие 3 на 3, рассчитаны на профессионалов сборки. Я умею собирать кубик 3 на 3, 4 на 4, Сиамский зеркальный, Сиамский зеркальный обычный. Мне очень хочется попробовать собрать кубики более сложных уровней.

Слайд 5. Эта увлекательная механическая головоломка была изобретена в 1974 году венгерским скульптором и профессором архитектуры Эрнё Рубиком. Головоломка представляет собой пластмассовый куб, составленный из 27 кубиков меньшего размера, способных вращаться вокруг невидимых снаружи осей. Каждый из девяти квадратов на каждой грани кубика окрашен в один из шести цветов. Задача игрока заключается в том, чтобы, поворачивая грани кубика, вернуть его в такое состояние, когда каждая грань состоит из квадратов одного цвета.

Слайд 6. Люди, увлекающиеся скоростной сборкой кубик Рубика, называются спидкуберами, а сама скоростная сборка – спидкубингом. Первый чемпионат мира по скоростной сборке кубика состоялся в Будапеште в 1982г.

В классической дисциплине (кубик 3×3×3) действующий рекорд 4,9 сек. установил Лукас Эттер (США) в 2015г. В 2009г. прошёл первый официальный чемпионат в России. В дисциплинах от 2×2×2 до 7×7×7, а также сборка кубика Рубика вслепую. Рекорд России в единичной сборке принадлежит Дмитрию Добрякову (6,77сек.)

Слайд 7. Существует множество алгоритмов сборки кубик Рубика. Есть простые методы сборки, они специально разработаны для новичков, в них мало комбинаций, но зато они долго выполнимы. Существуют сложные алгоритмы, разработанных для спидкуберов, в них очень много комбинаций, но зато и время сборки резко сокращается.

В основном алгоритмы подразумевают сборку по слоям, т. е. сначала собирается верхний слой (самый простой порядок сборки), потом средний слой (порядок сборки немного сложнее), а затем самый сложный - последний слой. Конечно не все алгоритмы такие. Например, в методе Джессики Фридрих подразумевается одновременная сборка сразу верхнего и среднего слоя.

Слайд 8. Популярность идеи оּ быстрой сборке кубика Рубика была очень высока еще в советской научно-популярной литературе. В журналах «Квант» и «Юный техник» печатались статьи об алгоритмах сборки и даже оּ том, как сделать кубик Рубика своими руками.

Слайд 9. Существуют и другие механические математические головоломки, рассмотрим наиболее известные и популярные из них.

Слайд 10. Пирамидка Мефферта, или «Молдавская пирамидка», или «Японский тетраэдр». В основании пирамиды может быть разное количество сиходных похизий: три или пять. Сборка этой головоломки проще сборки кубика Рубика. По скоростной сборке пирамидки также проводятся чемпионаты мира. Мировой рекорд сборки на время составляет 1,36 секунды.

Слайд 11. Звезда Александера представляет собой перестановочную головоломку в форме большого додекаэдра. Звезда была изобретена американским математиком Адамом Александером в 1982 году. Цель головоломки состоит в том, чтобы разместить движущиеся части так, чтобы каждая звезда была окружена пятью плоскостями одного цвета.

Слайд 12. Шар Рубика, или Рубик 360, или шарик Рубика, или сфера Рубика. Это механическая головоломка также принадлежит изобретателю Эрнё Рубику. Она была впервые выставлена на Лондонской выставке игрушек в 2009 году и представляет собой вращающиеся на осях три прозрачные сферы, находящихся одна в другой. Внутри центральной сферы - 6 цветных шаров. Цель состоит в том, чтобы через отверстия в сферах довести каждый шар до гнезда с соответствующим цветом, расположенного на внешней сфере.

Слайд 13. После того, как я изучила историю появления и многообразие математических механических головоломок, мне захотелось узнать, а что знают учащиеся нашей школы оּ кубик Рубике – наверное, самой популярной головоломке. Оказалось, что у 60% ребят дома есть кубик Рубика и все они пытались его собрать.

Слайд 14. Однако только у четверых ребят получалось собрать кубик Рубика, и все, кто не умеет его собирать, хотят научиться делать это.

Поэтому следующим этапом развития проекта стал мастер- класс по обучению сборки кубик Рубика.

Когда ребята достигли определенных навыков, то стали проявлять интерес к соревновательной форме, в том числе и на время.

Надеюсь, что ребятам понравится эта идея, и многие из них приобщатся к математической логике механических головоломок