Число е и его применение в финансовых расчетах

Число е и его применение в финансовых расчетах

Цель работы: Рассмотреть сущность и различные подходы к определению числа е, а так же его использование в финансовых расчетах.

Число e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число.

Приблизительно равно 2,71828.
Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.

Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел, равный е.

Существует несколько подходов к определению числа е:

1. через угловой коэффициент прямой;
2. через производную;
3. через интеграл;
4. через предел последовательности;
5. через сумму ряда.

Определение 1.

Нарисуем несколько графиков функций, y=ax, изменяя а: 2≤а≤3.

Проведем к ним касательные в т. М(0;1).

Угол наклона касательных будет изменяться от 35 до 51 градусов.

Очевидно, что увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Такое число обозначается буквой е. Оно иррационально. е ≈ 2,718.

А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа

М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа

Определение 2.

Производная, т.е. скорость роста, показательно функции пропорциональна самой этой функции:
(ах)′=k·ax
Число е – это такое основание показательной функции, для которой коэффициент пропорциональности k = 1, т.е. производная функции y=ex на самой этой функции:
(ех)′=еx

М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа

Определение 3.

Рассмотрим функцию .

Рассмотрим площадь .

Очевидно, что . .

Т.о. существует число е: 2 ≤ е ≤ 3, такое что . е ≈ 2,718.

Н.Я. Виленкин. Алгебра и начала анализа

Определение 4.

Рассмотрим последовательность xn = (1+1/n)n.

xn = {2; 2,25; 2,37; 2,44; …}

Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена (можно доказать, что xn< 3). Следовательно, она имеет предел, который имеет специальное обозначение е.

А.Г. Цыпкин. Справочник по математике

Определение 5.

Число е – иррациональное число, приблизительно равное 2,718.

Его можно представить как сумму:

Ш.А. Алимов. Алгебра и начала анализа

Число е находит применение в интегральном и дифференциальном исчислении, а так же в естественных науках.

Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I0e–kt, где k = R/L, I0 – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля.

Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Nekt.

Применение в финансовых расчетах.

В практических банковских расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. про­центы, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.).

В некоторых случаях — для экономического анализа и в расчетах, связанных с непрерывными про­цессами, в математическом моделировании, а иногда и на прак­тике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов.

В финансовой математике увеличение суммы денег в результате начисления сложных процентов определяется формулой:

FV=PV(1+j/m)mn
где

PV – исходная сумма денег
FV – наращенная сумма денег
n – число лет, соответствующее сроку финансовой операции
j – ставка процентов за год
m – число периодов начисления в году

Чем больше m, тем чаще начисляются проценты. Способ начисления процентов, при котором m®¥, называется непрерывным начислением процентов.

В этом случае:





Полученную формулу обычно записывают в виде:


где S0 – начальная сумма денег.

В этой формуле величина δ характеризует скорость роста суммы. Ее называют силой роста, или силой процента. Она равна скорости относительного прироста суммы, т. е. равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени. 

Задача.

Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%?

Решение:

Пример.
Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Во сколько раз уменьшится первоначальная сумма через полгода?

Решение:




Т.о. инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Вывод:

Удивительно, но число е настолько многогранно, что к нему можно прийти, рассматривая самые разные математические задачи.

Число е играет огромную роль в математике и прикладных науках.

В банковском деле оно позволяет определять прирост денег при непрерывном начислении процентов.

Использованная литература:

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.:Просвещение, 2014.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М.:Просвещение, 2012.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень.  18-е изд., стер. - М.: 2014. -  312 с. 
Капитоненко В.В. Задачи и тесты по финансовой математике : учеб. пособие / В.В. Капитоненко. – М. : Финансы и статистика, 2014. – 256 с. : ил.
Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М.:Просвещение, 2014.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2014. – 464 с.
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений, 1983