Презентация к исследовательской работе "Теорема Вариньона"

«ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА» Выполнила: Позняк В., ученица 8 класса Руководитель: Гонтар О. В., учитель математики г. Барабинск 2022 год ХХV РАЙОННЫЙ КОНКУРС ТВОРЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ ШКОЛЬНИКОВ

Геометрия – одна из самых древних наук, которая была необходима для разных измерительных работ от разметки земли до строительства сооружений.

ПЬЕР ВАРИНЬОН  (1654г – 23.12.1722г)

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА 

Объект исследования: теорема Вариньона и следствия из нее Предмет исследования: планиметрические задачи с использованием теоремы Вариньона для решения Цель исследования: проверить помогают ли знания о теореме Вариньона и ее следствий решать задачи с наименьшими временными затратами

Гипотеза исследования:  теорема Вариньона и следствия из нее помогают решать геометрические задачи быстрым способом

Задачи исследования:  Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее. Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход. Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах.  Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и используя теорему Вариньона. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Бимедианы LN и KM четырехугольника АВСD

ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА  Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Следствия из теоремы Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали равны б) бимедианы перпендикулярны. Следствие 2. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали перпендикулярны б) бимедианы равны Следствие 3. Параллелограмм Вариньона является квадратом, когда в исходном четырехугольнике а) диагонали равны и перпендикулярны;  б) бимедианы равны и перпендикулярны Следствие 4. Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

ЗАДАЧА: Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. Доказательство 1-ый способ 1)AC – диагональ. KL - средняя линия треугольника ABC. NM – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL) => KLMN- параллелограмм. 2)из первого следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN.  3)ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KL=LM=MN=NK=> KLMN – ромб. 

2-ой способ  1) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см.следствие 1); 2) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1, 1, б). Что и требовалось доказать.

Результаты проведения исследования Диаграмма №1

Результаты проведения исследования Диаграмма №2