Исследовательская работа «Теорема «Пика»

Администрация г. Улан-Удэ

Комитет по образованию

VII городская научно-практическая конференция учащихся 5-8 классов по математике, физике, информатике «Обыкновенное чудо»

Тема работы: Теорема Пика

Номинация: Геометрия

Автор: Китаев Иван, 6 «б» класс МАОУ СОШ №32
Руководитель: Казазаева Е.Б., учитель математики МАОУ СОШ №32

г. Улан-Удэ

2019 г.

Оглавление:

Введение

Георг Александр Пик

Теорема Пика. Решетки. Узлы.

Решение задач с помощью теоремы Пика

Заключение

Используемая литература

Приложение: расчеты площадей фигур

Введение

“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. 
Д. Пойя.

Тема Теорема Пика выбрана мной не случайно. Мой средний брат, ему 8 лет, очень любит рисовать различные фигуры в тетрадке в клетку. И однажды мама сказала, что площадь этих фигур можно очень легко найти, используя формулу Пика.

Меня заинтересовала возможность расчета площадей фигур способом, который был прост и понятен для меня. Я решил исследовать эту тему более подробно.

Оказывается, есть несколько способов нахождения площадей фигур. В основном, пользуются обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части.

Обычный способ очень сложный и громоздкий. Если площадь прямоугольника, квадрата или треугольника найти достаточно просто, используя геометрические формулы, то при нахождении площади других фигур у меня возникли сложности. При этом нахождение площади, используя формулу Пика позволило очень легко находить площадь любой фигуры, которая имеет вершины в узлах сетки, изображенных на клетчатой бумаге.

Изучая эту тему, я выяснил, что Формула Пика, формула вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ. Это послужило еще одним важным критерием при выборе темы.

Георг Александр Пик

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 – 13 июля 1942 г) — австрийский математик, родился в еврейской семье.

Георг с рождения был одаренным ребенком. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 21 год защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов» 

Вся его научная карьера была связана с математикой. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии и др, всего более 50 тем.

Наиболее широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. У нас в школах эту теорему не изучают, но, например, в Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Теорема привлекла большое внимание и вызвала восхищение своей простотой и элегантностью.

Используя теорему Пика можно легко высчитать площадь любой фигуры, которая изображена на клетчатой бумаге с условием, что все вершины находятся в узлах клетчатой бумаги.

Всю свою жизнь Георг Александр Пик занимался научной и преподавательской деятельностью. Был профессором. По выходу в отставку в возрасте 68 лет, Пик получил звание почетного профессора, продолжая работать при Чешской Академии наук и искусств.

Умер Георг Александр Пик в 1942 году в возрасте 82 лет в концлагере Терезиенштадт, созданном нацистами в северной Чехии.
 

Теорема Пика. Решетки. Узлы.

Формула Пика используется для решения задач на клетчатой бумаге.

При решении задач на клетчатой бумаге необходимы понятия решетки и узла.

Клетчатая бумага (точнее — ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты (Рис. 1). Любой из этих квадратов называется фундаментальным квадратом или квадратом, порождающим решетку. Множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки – узлами решетки.1

Рис.1.

Для решения задач на клетчатой бумаге обычно используют геометрический способ. Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге (Рис.1), достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу

А также, площадь любого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, можно посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Чтобы вычислить площадь многоугольника, изображенного на рисунке, необходимо достроить его до прямоугольника ABCD, вычислить площадь прямоугольника ABCD, найти площадь заштрихованной фигуры как сумму площадей треугольников и прямоугольников её составляющих, вычесть её из площади прямоугольника. И хотя многоугольник и выглядит достаточно просто, для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?

А теперь рассмотрим теорему Пика:

Пусть В − число узлов сетки внутри многоугольника, Г − количество узлов на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S = В + Г/2 – 1

Давайте найдем площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге на рис. 2 несколькими способами. Известно, что площадь клетки равна 1:

Рис.2

1 Способ – способ сложения. Суммируем количество клеток и получаем S=25 кв.ед.;

2 Способ – использование геометрических формул. По формуле: S=a*b=5*5=25 кв.ед.;

3 Способ – использование теоремы Пика.

Для многоугольника на рисунке 2 В = 16 (зеленые точки), Г= 20 (красные точки), поэтому S = 16+ 20/2 – 1 = 25 квадратных единиц.

В данном случае, тремя способами мы получили правильное решение.

Решение задач с помощью теоремы Пика

Теорема Пика пригодится для решения задач ЕГЭ в 11 классе

С помощью теоремы Пика мы подсчитаем площадь фигур, которые рисовал мой средний брат. Примем, что площадь клетки равна 1 кв.ед.

Задача 1. Найдем площадь робота, изображенного на рис. 3

Для многоугольника на рисунке 3 В = 6 (зеленые точки), Г= 46 (красные точки), поэтому

S = 6+ 46/2 – 1 = 28 квадратных единиц.

Рис.3

Задача 2. Найдем площадь ракеты, изображенной на рис. 4

Для многоугольника на рисунке 4 В = 26 (зеленые точки), Г= 34 (красные точки), поэтому

S = 26+ 34/2 – 1 = 42 квадратных единиц.

Рис.4

Задача 3. Найдем площадь машины, изображенной на рис. 5

Для многоугольника на рисунке 5 В = 23 (зеленые точки), Г= 34 (красные точки), поэтому

S = 23+ 34/2 – 1 = 39 квадратных единиц.

рис. 5

Заключение

Основной вывод: Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

1. Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: S = В + Г/2 - 1 .

2. Формула Пика очень проста для запоминания.

3. Формула Пика очень удобна и проста в применении.

4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Используемая литература

1.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

2. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2013 – 2015

3. В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

4. Математические этюды. etudes.ru

5. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010

6. https://ru.wikipedia.org

7. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант"(издается с января 1970 года) Кушниренко А. , Целые точки в многоугольниках и многогранниках.

http://kvant.ras.ru/1977/04/celye_tochki_v_mnogougolnikah.htm

8. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (издается с января 1970 года) Васильев Н.Б , Вокруг формулы Пика.