Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Муниципальный тур окружного конкурса творческих работ учащихся

«Интеллект. Творчество. Фантазия».

Секция математика

 

«Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

Выполнила: Богачева Карина Сергеевна, ученица 9 класса ГБОУ СОШ с. Борискино-Игар м.р. Клявлинский

Научный руководитель: Плохова Елена Владимировна, учитель математики ГБОУ СОШ с. Борискино-Игар м.р. Клявлинский

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень»

Иоганн Кеплер

 

Введение

Актуальность темы. На уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели ее доказательство, но также узнали, что это одно из ее доказательств. Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось с его теоремой. Почти у каждого сохранились воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора можно находить ее новые применения и способы доказательств. Это и то, что теорема Пифагора была известна задолго до его рождения меня и поразило. Я заинтересовалась и решила провести исследование.

Передо мной встала проблема: недостаточность школьного материала о доказательствах теоремы Пифагора и ее применение не позволяет показать практическую значимость теоремы в деятельности человека.

Цель исследования: выяснить различные способы доказательства теоремы Пифагора и изучить ее практическое применение.

Задачи:

• Изучить биографию Пифагора
• Изучить историю открытия теоремы Пифагора;
• Исследовать различные способы доказательства данной теоремы, не рассматриваемые в школе;
• Изучить практическое применение теоремы Пифагора.
• Исследовать пифагоровы тройки.

Основной метод, который я использовала в своей работе – это метод исследования, систематизации и обработки данных

Гипотеза: Если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать ее в широком диапазоне.

Объект исследования: множество различных доказательств теоремы.

Предмет исследования: теорема Пифагора.

 

Глава I. Биография Пифагора
 

Пифагор Самосский

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор — это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор — «убеждающий речью».)

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то решил вернуться домой, чтобы там создать свою школу.    Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Здесь и задумал Пифагор создать собственную философскую школу.
Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использовал знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Многое сделал ученый и в геометрии. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.
Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел».
Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

 

Глава II. История открытия теоремы Пифагора.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих “Начал”. С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.

История математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о математической деятельности Пифагора. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

В заключение приведу различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста:

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

Перевод с немецкого (около 1400 года):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В первом русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.
 

Глава III. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

1. Древнекитайское доказательство

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab

a2 +b2 = c2

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S = (a + b)

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S = 2 +

Приравнивая данные выражения, получаем:

+ =

или с2 = a2 + b2

 

3. Доказательство простейшее

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника.

Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

 

4. Старейшее доказательство

(содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b);

Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

c² = + (a – b)²

c² = 2ab + a² - 2ab + b²

c² = a² + b²..

5. Доказательство древних индусов

а) б)

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е.

с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом:

Смотри!

 

6. Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

 

Глава IV. Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки -наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чиселравна квадрату третьего числа.

Пифагоровы тройки – это тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство  x2 + y2 = z2.

Например, (3, 4, 5) является пифагоровой тройкой. Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Оно связано также со здоровьем и равновесием (поскольку состоит из двух троек). Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.

Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. 

Ясно, что если (x, y, z) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (18, 24, 30) и т.д. являются пифагоровыми тройками.

По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.  Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.

 

Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек.

Свойство 1.  Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты. 

Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий делитель p, то из равенства x2 + y2 = z2 следует, что на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка – простейшая.

Следствие.  В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным. 

Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечётными. 

Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n2 +2n+1, где n – целое число.

Эти числа – пифагоровы тройки.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

Один из катетов должен быть кратен трём.

Один из катетов должен быть кратен четырём.

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

По-видимому, вавилоняне знали, как вычислить пифагоровы числа, но как они к этому пришли – неизвестно. Как позднее это делали древние греки – известно. По существу, их доказательство в модернизированном виде воспроизводится во многих книгах.

 

Некоторые пифагоровы тройки:

Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни. А умы ученых продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.

 

Глава V. Практическое применение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора по праву является одной из основных теорем математики. Ценность ее в современном мире также велика, поскольку теорема Пифагора применяется во многих отраслях деятельности человека. Например, ее используют при производстве окон некоторых архитектурных стилей, при строительстве домов и коттеджей и даже при вычислении высоты антенн операторов мобильной связи. И это далеко не весь перечень практического применения данной теоремы. Вот почему очень важно знать теорему Пифагора и понимать ее значение.

1. Строительство

Окно

В романской архитектуре часто встречается мотив , представленный на рисунке. Если b обозначает ширину окна , то радиусы полуокружностей будут равны R = и r = . Радиус внутренней окружности p можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна + p, один катет равен , а другой - p.

По теореме Пифагора имеем: ( + p)²=( )²+( - p)² или

+ b + р² = + – bр + р², откуда b = – bр

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

12р = 2b, р = .

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

Крыша

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.(См. рисунок)

Решение:

Треугольник ADC— равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:

А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м DС= = = .

Б) Из треугольника ABF: AF= = 5,7.

 

2. Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение:

По теореме Пифагора h·h>a·a+b·b, значит

h² a² + b² h .

Ответ: h .

3. Мобильная связь

 

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в радиусе 200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.

Решение:

Пусть АВ=х, BC=R=200 км, ОС=r=6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ=r+х.

Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.

 

Заключение.

Работая по теме: «Различные способы доказательства теоремы Пифагора» я разрешила, поставленные перед собой задачи. Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней. Я в работе показала связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами; её практическую значимость. Попыталась собрать и обобщить информацию по данной теме. Мною было прочитано, изучено огромное количество литературы, посещено множество сайтов. Наука математика, через теорему Пифагора тесно связана с искусством, музыкой, философией, астрономией, даже обитателям Марса передавали сигнал в виде теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – это одно из двух имеющихся в геометрии сокровищ. И за эту ценность мы должны быть благодарны Пифагору – великому человеку, основоположнику современной математики. Именно он воспитал в человечестве веру в могущество разума, убеждённость в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика. Выяснила, что заслуга Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство теоремы. В процессе исследования способов доказательства этой знаменитой теоремы, я расширила знания в области геометрии и математики, узнала много ранее мне неизвестных имён учёных – математиков.

Считаю, что о результатах моей работы будет интересно послушать и моим одноклассникам, так как эта интересная информация расширяет кругозор, ещё раз демонстрирует красоту математики и логики.

По результатам проведённого мною исследования и полученного материала можно сделать следующие выводы:

1. Теорема Пифагора является одним из самых великих открытий человечества;

2.  Из теоремы Пифагора или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии;

3. Способы доказательства теоремы Пифагора позволяют неочевидное сделать очевидным;

4. Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни;

5. Теорема Пифагора имеет огромное применение в практике.

Информационные ресурсы:

Литература:

1. Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". – Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.
2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.
4. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
5. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
6. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М., 1963.
7. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
8. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997.

Интернет– ресурсы.

1. www.moypifagor.narod.ru/
2. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора