Комплексные числа Преподаватель ГАПОУ РО «РКТМ» Колыхалина К.А.
Какие числовые множества Вам знакомы?
Заполните таблицу Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Комплексные числа, C
Проверьте таблицу Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней Целые числа, Z Сложение, вычитание, умножение Деление, извлечение корней Рациональные числа, Q Сложение, вычитание, умножение, деление Извлечение корней из неотрицательных чисел Действительные числа, R Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел Извлечение корней из произвольных чисел Комплексные числа, C Все операции
Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа 1) Существует квадратный корень из , т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен . 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.
Комплексные числа Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:
Мнимые числа i2 = -1, i – мнимая единица
Арифметические операции над комплексными числами Сложение: (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i Вычитание: (а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i Умножение: (а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Арифметические операции над комплексными числами Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному.
Геометрическое изображение комплексных чисел Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М(a, b). Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы. Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число, равное расстоянию от точки М до начала координат
Тригонометрическая форма комплексного числа где φ – аргумент комплексного числа, r = - модуль комплексного числа,
Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Теорема 1. Если и то: б) а) Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда
