Презентация по теме «Комплексные числа»

Комплексные числа Преподаватель ГАПОУ РО «РКТМ» Колыхалина К.А.

Какие числовые множества Вам знакомы?

Заполните таблицу Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Целые числа, Z Рациональные числа, Q Действительные числа, R Комплексные числа, C

Проверьте таблицу Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции Натуральные числа, N Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней Целые числа, Z Сложение, вычитание, умножение Деление, извлечение корней Рациональные числа, Q Сложение, вычитание, умножение, деление Извлечение корней из неотрицательных чисел Действительные числа, R Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел Извлечение корней из произвольных чисел Комплексные числа, C Все операции

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа 1) Существует квадратный корень из , т.е. существует комплексное число, квадрат которого равен . 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному). Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все множество С комплексных чисел.

Комплексные числа Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Мнимые числа i2 = -1, i – мнимая единица

Арифметические операции над комплексными числами Сложение: (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i Вычитание: (а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i Умножение: (а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Арифметические операции над комплексными числами Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному.

Геометрическое изображение комплексных чисел Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М(a, b). Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы. Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число, равное расстоянию от точки М до начала координат

Тригонометрическая форма комплексного числа где φ – аргумент комплексного числа, r = - модуль комплексного числа,

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Теорема 1. Если и то: б) а) Теорема 2 (формула Муавра). Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда