Комплексные числа в средней школе

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Программа спецкурса "Комплексные числа»

Объяснительная записка

Наряду с решением основной образовательной задачи обучения математики в школе, цель любого спецкурса - это углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, знакомство их с новыми идеями и методами, развитие их математических способностей, привитие учащимся интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, привитие исследовательских навыков, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Данный курс преследует цель углубления и расширения развития понятия числа, обобщения понятия числа – знакомство с комплексными числами, что является естественным завершением изучаемых в школе числовых систем, с приложениями теории комплексных чисел (программа ориентирована на повышение уровня математического развития учащихся), познакомить учащихся с некоторыми историческими сведениями.
В результате изучения курса учащиеся должны хорошо представлять развитие понятия числа, связь между действительными и комплексными числами. Уметь выполнять арифметические действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах, геометрически изображать комплексные числа, уметь применять комплексные числа при нахождении корней многочленов, доказательстве тригонометрических формул и др. приложения комплексных чисел.

Содержание курса

История развитие числа: натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные (потребность в комплексных числах). Определение комплексного числа. Комплексные числа в алгебраической форме. Условие равенства двух комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Сопряжённые комплексные числа и их свойства. Возведение комплексного числа в целую степень. Корень из комплексного числа в алгебраической форме. 
Полярная система координат. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Изображение множеств точек, задаваемых на комплексной плоскости уравнениями и неравенствами. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корня из комплексных чисел. Формула Муавра.
Применение комплексных чисел. Вывод тригонометрических формул с помощью комплексных чисел.

(Дополнительно, при наличии времени, в зависимости от подготовленности учащихся: Распространения второго замечательного предела на комплексную плоскость. Формула Эйлера (элементарный, но строгий вывод формулы Эйлера) и экспоненциальная форма комплексного числа. Применение комплексных чисел в физике и технике, например – метод комплексных амплитуд в теории колебаний – межпредметная связь).

Комплексные корни многочлена (многочлены в поле комплексных чисел): основная теорема алгебры многочленов и её следствия. Теорема о комплексном корне многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена на множители. Обобщённая теорема Виета. Показательная форма комплексного числа.

Замечание:

1. "Комплексные числа" – традиционная тема физико-математических классов при 9-ти часовой недельной нагрузке. При переходе на профильное обучение, где предусматривается на изучение математики 6 часов появляется необходимость вынести данную тему на занятия элективного курса.

2. В программу введены дополнительные вопросы по практическому приложению комплексных чисел.

Полное усвоение программы курса предполагает ведение курса на высоком методическом уровне, с небольшой группой (не более 15) учащихся, желающих изучать данный курс на добровольных началах, (для учащихся физико-математических классов - обязательный курс). 
По окончанию курса учащиеся сдают зачёт (с оценкой) по вопросам, охватывающим основной теоретический материал, решают основные типовые примеры и задачи по курсу, пишут контрольную работу, включающей и задачи повышенного уровня и задачи прикладного характера. Возможна защита реферата по теоретическим и приложениям комплексных чисел в математике, физике, технике.

Основные формы ведения курса – лекционный метод, практические семинары, собеседование, консультации, рефераты учащихся по теоретическим вопросам, приложениям комплексных чисел, по решению задач, самостоятельная работа учащихся с учебной и научно-популярной литературой, возможны исследовательские работы учащихся.

Лекция охватывает весь теоретический и практический материал темы, в ней определяются крупные блоки изложения материала. Количество часов, отводимое на лекцию, определяется объёмом изучаемого материала и уровнем восприятия данного класса. Рассматриваются примеры решения задач по теме. Учащиеся получают информацию о вопросах зачёта, об объёме контрольной работы.

На практических занятиях учащиеся должны закрепить и углубить знание теоретического материала, усвоить алгоритмы решений основных типовых примеров и задач, подготовиться к зачёту и контрольной работе.
Зачёт позволяет предварительно оценить знания учащихся, по результатам которой проводится коррекционная форма работы - консультации, дополнительные практические занятия. Виды зачётов: письменный, устный, тестовый. Зачёт может быть проведён во время практических занятий.

Контрольная работа подводит окончательный итог знаний.

Тематическое планирование лекционных и практических занятий (24 ч.)

Рекомендуемая литература (учебники, методические пособия):

Виленкин Н.Я., Ивашов-Мусатов О.С.,Швацбурд С.И. Алгебра и математический анализ, 11 класс: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва "Просвещение", 1993.

Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– Москва "Просвещение"– АО "Учебная литература",1995.

Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Швацбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации и дидактические материалы.–Москва "Просвещение", 1990.

Избранные вопросы математики.10 класс, факультативный курс. Под редакцией В.В.Фирсова., Москва, "Просвещение", 1980.

Соловьёв. Ю.Комплексные числа. Приложение к журналу "Квант" №2/94, с.50-

Энциклопедия для детей, том11, Москва, "Аванта+", 2000.

МШ-6-2003, с.20-24 №6 (контрольные работы).

Куланин Е.Д., Луканкин Л.Д. Комплексные числа и кривые второго порядка. МШ-2-93.

Козиоров Ю.Н. Комплексные числа и тригонометрические функции, МШ-2-95

Методические рекомендации

Практика показывает, что учащихся трудно воспринимают понятие комплексного числа. Это связано с тем, что учащиеся не чувствуют потребности введения новых чисел. В зависимости от состава слушателей спецкурса можно выбрать тот или иной способ введения понятия комплексного числа.
Например, восприятие комплексных чисел значительно облегчается, если вводить их так, как они возникли исторически, – в связи с " неприводимым" случаем кубического уравнения, где оно появляется естественно.
После вывода формулы Кардано решаются уравнения, ставится и разрешается проблема нахождения, например корня х=4 уравнения х³ - 15х - 4 =0 по формуле Кардано. Появляется необходимость введения чисел новой природы. Затем вводится понятие комплексного числа, его действительной и мнимой части (это один из вариантов введения комплексных чисел, каждый учитель может знакомить учащихся с комплексными числами по своему усмотрению, находя другой подход) И дальнейшее изучение идёт по тематическому планированию. 
Или так, как вводят понятие комплексного числа авторы книги «Избранные вопросы по математике» А.М.Абрамов, Н.Я.Виленкин, Г.В.Дорофеев и др (4) (М, Просвещение, 1980г.) под редакцией В.В. Фирсова., причём авторы большое внимание уделяют приложениям комплексных чисел, что очень важно.