Решаем задание №20
(базовый уровень)
Выполнила: учитель математики муниципального бюджетного образовательного учреждения средней общеобразовательной школы № 22 с углубленным изучением иностранных языков имени Василия Тезетева Романова Ирина Алексеевна
Условие:
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 498, номер первой страницы после выпавших листов записывается теме же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?
Решение:
1) В первую очередь узнаем номер первой страницы после выпавших листов.
Из цифр числа 498 можно составить следующие возможные комбинации чисел: 489, 894, 849, 948, 984.
Страница 489 нам не подходит, так как меньше 498, а этого быть не может.
Мы знаем, что первая страница в книге после выпавших листов будет всегда нечетной, поэтому 894, 948 и 984 нам так же не подходят.
Вывод: первая страница после выпавших листов — 849.
2)Определим количество выпавших страниц:
849 — 498 — 1 = 350 страниц.
3)Осталось узнать, сколько листов выпало из книги:
350 : 2 = 175 листов.
Ответ: 175
2. Условие:
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 326, номер первой страницы после выпавших листов записывается теме же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?
Решение:
1)В первую очередь узнаем номер первой страницы после выпавших листов.
Из цифр числа 326 можно составить следующие возможные комбинации чисел: 362, 236, 263, 623, 632.
Страницы 236 и 263 нам не подходят, так как меньше 326, а этого быть не может.
Мы знаем, что первая страница в книге после выпавших листов будет всегда нечетной, поэтому 362, и 632 нам так же не подходят.
Вывод: номер первой страницы после выпавших листов — 623.
2)Определим количество выпавших страниц:
623 — 326 — 1 = 296 страниц.
3)Осталось узнать, сколько листов выпало из книги:
296 : 2 = 148 листов.
Ответ: 148
3. Условие:
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит 3800 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1500 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 6 метров?
Решение:
Хозяин должен будет заплатить рабочим за колодец глубиной 6 метров:
3800 + (3800 + 1500) + (3800 + 1500 + 1500) + (3800 + 1500 + 1500 + 1500) + … + (3800 + 1500 · 5) = 3800 · 6 + 1500 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 22800 + 1500 · 15 = 22800 + 22500 = 45300 рублей.
Ответ: 45300
4. Условие:
Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 14 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 207 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение:
Пусть ученик дал Х — правильных ответов, У — неправильных ответов (У ≥ 1, так как ученик по крайней мере один раз ошибся) , Z раз не дал ответа.
Всего вопросов в викторине — 50, тогда получим следующее 1-ое уравнение: Х + У + Z = 50.
В результате викторины ученик набрал 207 очков
(за правильный ответ получал 9 очков; за неправильный с него списывали 14 очков; при отсутствии ответа давали 0 очков) , поэтому второе уравнение примет следующий вид: 9Х — 14У + 0Z = 207.
В итоге имеем следующую систему с тремя переменными:
Из второго уравнения:
9Х — 14У + 0Z = 207 ⇒ 9Х — 14У = 207 ⇒ 9Х — 207 = 14У ⇒ 9 (Х — 23) = 14У ⇒
Мы видим, что левая часть, получившегося уравнения, делится на 9, а это значит, что и правая часть делится на 9, то есть 14У делится на 9.
Рассмотрим следующие случаи:
У = 9, тогда 9 (Х — 23) = 14У = 14 · 9 ⇒ 9 (Х — 23) = 126 ⇒ Х — 23 = 14 ⇒ Х = 37 . Тогда 37 + 9 + Z = 50 ⇒ Z = 4
У = 18, тогда 9 (Х — 23) = 14У = 14 · 18 ⇒ 9 (Х — 23) = 252 ⇒ Х — 23 = 28 ⇒ Х = 51. Тогда 51 + 18 + Z ≠ 50 ⇒ пришли к противоречию условиям задачи.
Делаем вывод, что ученик дал 37 правильных ответа.
Ответ: 37
5. Условие:
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 10 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?
Решение:
Возьмем одну доску и распилим её 10-ью поперечными распилами. В итоге получим 11 кусков.
Теперь возьмем две доски и распилим их 10-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 12 кусков.
Возьмем три доски и распилим их 10-ью поперечными распилами (произвольным образом). В итоге получим 13 кусков.
и т.д.
Получаем закономерность: при распиливании X досок 10-ью поперечными распилами, получаем (10 + X) кусков.
На основе данной закономерности и условий задачи получаем следующее уравнение, где Х — количество досок, которые необходимо распилить:
10 + Х = 17
Х = 7 досок
Ответ: 7
6. Условие:
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 5 поперечных распилов, в итоге получилось 23 куска. Сколько досок взяли?
Решение:
Возьмем одну доску и распилим её 5-ью поперечными распилами. В итоге получим 6 кусков.
Теперь возьмем две доски и распилим их 5-ью поперечными распилами (произвольным образом).В итоге получим 7 кусков.
Возьмем три доски и распилим их 5-ью поперечными распилами (произвольным образом).В итоге получим 8 кусков.
и т.д.
Получаем закономерность: при распиливании X досок 5-ью поперечными распилами, получаем (5 + X) кусков. На основе данной закономерности и условий задачи получаем следующее уравнение, где Х — количество досок, которые необходимо распилить:
5 + Х = 23
Х = 18 досок
Ответ: 18
7. Условие:
Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 9 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?
Решение:
От каждого столба отходит ровно 9 проводов, получается, что всего 10 ⋅ 9 = 90 соединения. Учтём, что два столба связаны друг с другом одним проводом, а это значит, что всего между этими десятью столбами будет протянуто проводов в два раза меньше, чем соединений, то есть 90 : 2 = 45 проводов.
Ответ: 45
8. Условие:
В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год?
Решение:
Определим объём продаж холодильников в каждом месяце: январь — 10; февраль — 10; март — 10; апрель — 10; май — 25 (10+15); июнь — 40 (25+15); июль — 55 (40+15); август — 70 (55+15); сентябрь — 55 (70-15); октябрь — 40 (55-15); ноябрь — 25 (40-15); декабрь — 10 (25-15);
Чтобы найти объём продаж холодильников за год, просуммируем месячные продажи: 10 + 10 + 10 + 10 + 25 + 40 + 55 + 70 + 55 + 40 + 25 + 10 = 360.
Ответ: 360 холодильников
Вариант 1:
1. Условие:
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
2. Условие:
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 8 поперечных распилов, в итоге получилось 19 кусков. Сколько досок взяли?
3. Условие:
Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 6 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?
Вариант 2:
1. Условие:
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
2. Условие:
Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?
3. Условие:
Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?
