Статья «Применение компьютерных программ Maple и Advanced Grapher на уроках математики»

Применение компьютерных программ Maple и Advanced Grapher на уроках математики

В 90-х гг. XX в. в прикладной математике и информационных технологиях появилось совершенно новое направление — системы компьютерной математики (СКМ). Их возможности обусловливают роль информатики и информационных тех­нологий как ядра современного школьного образования, позволяющего интегриро­вать его различные и на первый взгляд весьма отдаленные части в единое целое.

Наиболее распространенными СКМ в настоящее время являются Maple, Mathematica, MatLab, Mathcad, Derive, Reduce. Независимые исследования и конкретный опыт применения компьютерной математики в вузах и школах позволяют оценить пакет компь­ютерной математики Maple как наиболее оптимальный для целей образования. Ниже описываются основные особенности Maple, демонстрирующие его возможно­сти для решения конкретных образовательных задач математики, информатики и физики.

Интерфейс системы Maple.

В основе пользовательского интерфейса Maple лежит графический многоокон­ный интерфейс операционной системы Windows, который является простым, ин­туитивно понятным и интерактивным. Одна из важнейших особенностей Maple — строгое (и очень удачное) соответствие структуры команд и программных проце­дур логике математического мышления. Команды и процедуры Maple воздейству­ют на переменные и параметры подобно функциям многих переменных, поэтому грамотное владение Maple подразумевает умение работать с математическими функ­циями. Необходимо отметить, что сама эта особенность существенно повышает математическую грамотность и развивает абстрактное математическое мышление. Maple учит строгому пониманию математических выражений — как совокупности символов, наличие которых обязательно, а порядок применения принципиально важен.

Приведем простой пример. Школьники часто воспринимают выражение sinx как произведение sin × х, в чем наглядно проявляется непонимание смысла функ­циональных отношений. Тогда Согласно логике записи Maple выдаст следующий результат:

> sin0.5;

5 sin0

который сразу указывает учащемуся на его ошибку — ученик поймет, что sinx есть функция от аргумента. Правильная запись теперь дает:

> sin(0.5);

.479455386

> sqrt(40);

2 sqrt(10)

> sqrt(25);

5

> (0.6*5^3-15)^2;

3600.00

> (16.32/1.6+8)/(25.44+1.56)+6.4*(5+2.5)/9.6/(74.04-73.04);

5.674074074

Сама процедура записи сложного математического выражения в пакете Maple способствует развитию строгого математического мышления, поскольку при вводе выражения оно отображается в формульном виде, в котором становятся очевидны­ми все логические ошибки.

Важным инструментом записи сложных математических выражений являются кванторы скобок, которые всегда должны быть закрыты. Интерактивность программы Maple позволяет сразу же увидеть разницу в выражениях:

> у:=х+2/(х-4); > у:=х+2/х-4;

 

у := х +     у := х + - 4

 

Таким образом, учащиеся начинают понимать смысл математических выраже­ний и соответствующих кванторов, т. е. начинают понимать язык математики, что является необходимым условием понимания математической структуры.

Язык программирования.

Язык программирования Maple весьма близок к языку программирования Паскаль и, обладая четкой структурой, математической логикой и возможностями, не уступающими Паскалю, одновременно имеет несравненно большие графические возможности, возможности анимации и развитость интерфейса. Все эти качества позволяют рассматривать язык программирования Maple как базовый для изуче­ния основ программирования в школе на уроках информатики, альтернативный Паскалю и Бейсику.

Рассмотрим решение несложной задачи на двух языках программирования: Maple и Паскаль.

Задача. Ввести числа а и b. Найти значение выражения

Программа на языке Паскаль:

var а, b, с: real;

begin

readln(a,b);

c:=(sqrt(a)+2*b)/(a-b);

writeln(c);

end.

Программа на языке Maple:

>a:=4: b:=5: c:=(sqrt(a)+2*b)/(a-b);

с := -12

Как мы видим, даже такая небольшая задача в среде Maple решается проще, реализуются лишь операторы присваивания. Программа на Паскале, в свою оче­редь, помимо операторов присваивания содержит в себе служебные слова, раздел описания переменных и операторы ввода и вывода. В то же время на данном приме­ре можно заметить сходства этих двух языков программирования: оператор присва­ивания «:=»; синтаксис выражения; возможность написания комментариев; каж­дая команда заканчивается знаком «;».

Биективная система отображения: команда <-> формула.

Биекция, взаимно-однозначное отображение — одна из центральных идей любой математической структуры. Именно биекция дает возможность математике модели­ровать явления окружающего мира. Идея биекции является центральной и для СКМ Maple. В частности, она реализуется при конвертировании выражений: из текстовой строки выражение преобразуется в программу, из программы — в математическую формулу, из формулы — в исполнительную и обратно в любом порядке.

Графические возможности Maple.

Графическая форма представления информации — одна из важнейших для про­цесса обучения, а графические возможности программы являются приоритетными при выборе базовой программы для обучения. Хорошие графические возможности программы способствуют росту интереса к изучаемому предмету, развитию пространственного мышления и одновременно создают базу для математического моде­лирования явлений окружающего мира. По общему признанию специалистов пакет Maple обладает уникальными графическими и анимационными возможностями как для двухмерного, так и трехмерного моделирования.

Например, построение поверхности в пространстве:

> plot3d(sqrt(x^2-y^2+4),x=-1..1,y=-1..1);

Гиперболический параболоид

>with(geom3d):triangle(ABC,[point(A,0,0,0),point(B,2,0,0),point(C,1,3,0)]):

> area(ABC);

3

> icosahedron(ico,point(o,1,2,5),4);

ico

> area(ico);

 

> draw(ico,style=patch,lightmodel=light2,orientation=[0,23], title='icosahedron');

> with(plots): polyhedraplot([0,0,0],polytype=dodecahedron,style=PATCH,scaling=CONSTRAINED,orientation=[71,66]);

> restart;

> with(geom3d):

icosahedron(ic,point(o,0,0,0),1.):

> face_core := plots[polygonplot3d](faces(ic)[1],color=blue):

for i in [26,34] do

stellate(ic.i,ic,i);

pic[i] := draw(ic.i,style=patch,lightmodel=light4);

od:

> pic[26];

> pic[34];

Очень полезными графическими возможностями Maple являются анимация и интерактивность пространственной графики. Объект в пространстве можно вращать и рассматривать со всех ракурсов.

> plot3d((1.3)^x*sin(y), x = -1..2*Pi, y=0..Pi, cords = spherical, style=patch);

> plot3d(x^2+y^2,x=-10..10,y=-10..10);

> plot3d(abs(x),x=-1..1,y=-1..1);

> with(plots):

sphereplot(2,t=0..2*Pi,p=0..Pi);

Возможность создания пользовательских библиотек.

Maple обладает богатой библиотекой приложений. Большие возможности предо­ставляет открытость системы для пользователя, позволяющая создавать собствен­ные библиотеки. Эти программы сохраняются как отдельные функции, которые могут в дальнейшем использоваться наряду со всеми основными возможностями Maple. Создатели пользовательских библиотек могут выложить свои программы В Интернете, в частности на сайте exponenta.ru, посвященном применению систем компьютерной математики в образовании.

СКМ в школьном физико-математическом образовании

В связи с профилизацией обучения образовательные программы ежегодно пре­терпевают изменения, происходит сокращение количества часов, отведенных на базовые предметы, такие, как математика, физика, химия (в зависимости от про­филя обучения). Уменьшение учебных часов влечет за собой недостаточное владе­ние учащимися фундаментальными знаниями, потеря которых отрицательно отра­жается на образовании в целом. Поэтому необходимо искать средства, которые ста­нут дополнением и поддержкой базовых школьных предметов. Возникает идея интеграции предметов физико-математического цикла, которая является весьма продуктивной, поскольку, с одной стороны, дает базу для изучения этих предметов, а с другой стороны, позволяет развить у учащихся информационно-математичес­кую культуру в процессе обучения и привить им навыки прикладных исследова­ний. Инструментом реализации этой идеи может быть система компьютерной мате­матики Maple.

В процессе учебы дети могут потерять интерес к точным наукам, школьным предметам, требующим напряжения мысли. Для повышения мотивации учащихся к изучению этих предметов в последнее время успешно применяются новые инфор­мационные технологии, в том числе СКМ Maple.

Теоретическое обучение должно подкрепляться практическими знаниями, уме­ниями и навыками, в том числе проведением лабораторных и практических работ. Слабо развитая инфраструктура школьных лабораторий не позволяет учащимся применять свои знания на практике. И физика с математикой в формулах, не най­дя воплощения в зрительных реализациях, сохраняют свой абстрактный характер. Эта проблема может быть решена средствами системы компьютерной математики Maple — математическим моделированием объектов, процессов и явлений.

Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения в школе воз­можно в следующих формах: ведение элективного курса; использование на уроках математики, физики, информатики в качестве демонстративного материала (при изучении новой темы); использование учителем для проверки работ учеников и самопроверки; реализация проектной деятельности учащихся и развитие их науч­ного творчества; использование учащимися для подготовки домашнего задания и самоконтроля (как в школе, так дома).

Заключение

Использование системы компьютерной математики в процессе обучения решает множество задач. Кроме очевидной интеграции предметов физико-математического цикла изучение СКМ повышает у школьников мотивацию к учебе, углубляет и расширяет знания по математике, информатике и физике, а также способствует развитию их научного творчества.

Приведу примеры построения графиков функций:

1. График функции у= tgx.

> plot(tan(x), x=-2*Pi..2*Pi,y=-2..2);

2. График функции

> plot(1/(x^2-1), x=-3..3,y=-6..6);

3. Графики функций y = sinx, y = cosx.

 

4. График функции у=cosx+sinx.

 

5. График функции

6. График функции

 

7. График функции

8. График функции

 

9. График функции

10. График функции

 
 

11. График функции

 

12. График функции

 

13. График функции

 

14. Графики функций у = х2, у = │(х + 3)2 – 4│ – 2.

Примеры решения уравнений и неравенств:

> solve(sqrt(3+2*x)+sqrt(5+x)=5);

77 - 10 sqrt(57)

> solve(5*x-7 (x+2));

RealRange(-infinity, Open(9/4))

> solve(x^2+5*x+4 = 0);

-4, -1

> solve((x^2-9)*(sqrt(3-3*x)-x)=0);

3, -3, -3/2 + 1/2 sqrt(21)

> solve(abs(x^2-8*abs(x)+7)=0);

1, 7, -7, -1

> solve(sqrt(3+x)= 3-x);

1

> solve(sqrt(3+x)=x);

1/2 + 1/2 sqrt(13)

Учитель, владеющий компьютером, имеет уникальную возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным и динамичным. Использование информационных технологий на уроках способствуют повышению качества знаний, расширяют горизонты школьной математики.

 

Большими возможностями обладает программа Advanced Grapher.С ее помощью тоже можно создавать пользовательские библиотеки.

 

 

Advanced Grapher имеет большое количество встроенных функций:
sin - sine
cos - cosine
tan - tangent
cot - cotangent
atan - inverse tangent
asin - inverse sine
acos - inverse cosine
abs - absolute value
sqrt - square root
ln - natural logarithm
lg - logarithm base 10
exp - exponent (exp(x) - e raised to the power x)
int - integer part of number
round - rounded value
frac - fractional part of number
sign - sign(x)=1 if x>0, sign(x)=0 if x=0 and sign(x)=-1 if x<0
sinh - hyperbolic sine
cosh - hyperbolic cosine
tanh - hyperbolic tangent
coth - hyperbolic cotangent
asinh - hyperbolic inverse sine
acosh - hyperbolic inverse cosine
atanh - hyperbolic inverse tangent
acoth - hyperbolic inverse cotangent
random - random(x)=rnd*x, rnd is a random value, 0<=rnd<1

 

Приоритеты операций и функций:

1. Functions
2. ^
3. *,/
4. +,-
5. >=,=,<=,<,>,<>
6. not
7. and, or, xor

 

Литература

Дьяконов В. П. Компьютерная математика // Соросовский образовательный журнал. Т. 7. 2001. № 1.

Материалы международной научно-практической конференции ИТО-Поволжье 2007// Вестник Московского городского педагогического университета. Серия «Информатика и ин­форматизация образования», 2007. № 1(8). Казань: Фолиантъ, 2007.

Сборник материалов международной конференции «Системы компьютерной матема­тики и их приложения». Вып. 8. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007.

A. H. Саркеева Системы компьютерной математики в интеграции физико-математического образования в средней школе//Информатика и образование, № 11—2008,