Научно–исследовательская работа «Признаки делимости»

Введение
Математика - самая древняя наука, она была и остаётся необходимой людям.
Решая задачи и выполняя действия на деления, не всегда удается число разделить нацело. Возникает необходимость предсказать – делится число нацело или нет.

На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, мне стало интересно, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялась этой работой.

Цель работы: изучить признаки делимости натуральных чисел и узнать, существует ли универсальный признак делимости натуральных чисел.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
1) Собрать информацию о признак делимости натуральных чисел, изучить материал, систематизировать полученные знания.
2) Вывести универсальный метод делимости на натуральное число.
3) Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел.

Объект исследования: делимость натуральных чисел. Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел. Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; сравнение; анкетирование; систематизация и обобщение материала. Гипотеза исследования: если существуют признаки делимости натуральных чисел, то существует единый принцип делимости на натуральное число.

Практическая значимость: материал можно использовать в 5 – 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел». Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что проведенная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел; многие мои одноклассники не знают, что существуют другие признаки делимости. По результатам проведенного анкетирования лишь 31 % моих ровесников считают, что существует универсальный признак делимости и 100% не знают, кто его открыл. 78 % опрошенных одноклассников хотели бы познакомиться с признаками делимости, не изученными в школе. Таким образом, данная тема актуальна не только для меня, но и для моих сверстников.

Основная часть
Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость. Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 72 делится на 8, т.к. 72 = 8х9).

Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.
Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228).
Мы знаем, что в результате сложения, вычитания или умножения целых чисел всегда получается число целое. А вот деление натуральных чисел нацело не всегда возможно. Для того чтобы узнать, делится ли натуральное число а на натуральное число b нацело, надо предварительно выяснить некоторые общие свойства делимости чисел.

Свойства делимости:

Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.

Нуль делится на любое b, не равное нулю.

Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.

Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?» Я рассмотрела следующие признаки делимости натуральных чисел:
Признак делимости на 2.
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число не делится на 2.
Пример: 678 : 2, т.к. число заканчивается чётной цифрой 8.
Признак делимости на 3.
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3, если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Пример: 768 : 3, т.к. 7+6+8=21, 21:3.
Признак делимости на 5.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Пример: 225 : 5, т.к. число оканчивается цифрой 5; 19730 : 5, т.к. запись числа оканчивается цифрой 0.
Признак делимости на 9.
Если сумма числа делится на 9,то и число делится на 9,если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Пример: 5121 : 9, т.к. 5+1+2+1=9, 9:9.
Признак делимости на 10.
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Пример: 1380 : 10, т.к. число оканчивается цифрой 0; 7690 : 10, т.к. число оканчивается цифрой 0.
Этот признак легко распространить на любые степени десятки. Число делится на 100, когда две его последние цифры являются нулями, на 1000, когда в конце три нуля и т.д.

Зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3. т.к. 6 = 2-3, т.е. число должно делиться на 2 и на 3. [3]

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние

цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3. [3]

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. т.к. 14= 2 • 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7. [3]

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3. т.к. 15= 3 • 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9. т.к18= 2 • 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная, т.к. 20 = 10 • 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10. [2] Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение)

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль (1623–1662), французский математик и физик. Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел". Практически все известные сейчас признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля: «Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в, то и число а делится на в». Знать его полезно даже в наши дни. Например: число 2814 делится на 7, так как 2х6 + 8х2 + 1х3 + 4 = 35 делится на 7. (Здесь 6 - остаток от деления 1000 на 7, 2 - остаток от деления 100 на 7 и 3 - остаток от деления 10 на 7).

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х классов В опросе приняли участие 189 обучающихся МБОУ «СОШ №8». Им было предложено ответить на следующие вопросы:

Существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?

Есть ли универсальный признак делимости для любого числа?

Хотели бы вы узнать другие признаки делимости?

Какие признаки делимости вам знакомы?

Моим ровесникам знакомы только признаки делимости, изученные в школе. Все опрошенные считают, что существуют признаки делимости на другие числа. По результатам проведенного анкетирования лишь 29% моих ровесников считают, что существует универсальный признак делимости и 100% не знают, кто его открыл. 83% респондентов хотели бы познакомиться с признаками делимости, не изученными в школе.

Результаты проведенного опроса отражены в диаграммах. (Приложение II)

Заключение

Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи: 1) изучен теоретический материал по данной проблеме; кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10, я узнала, что существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и т.д.; 2) выведен универсальный признак делимости на любое натуральное число (метод остатков); 3) показано применение данного признака, создан буклет.

Выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, я выяснила, что существует универсальный признак делимости, с помощью которого можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Результатом исследовательской работы является систематизированный материал «Признаки делимости чисел» и таблицы остатков, которые можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач.

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.