Максименко Нина Валерьевна

Развитие понятия о числе

Участник всероссийского конкурса ‒ IV Всероссийский конкурс педагогического мастерства на лучший конспект урока с мультимедийным сопровождением

Материал опубликован 1 May

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ХАБАРОВСКОГО КРАЯ

КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ХАБАРОВСКИЙ ТЕХНИКУМ ТРАНСПОРТНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ИМЕНИ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА А.С. ПАНОВА»

Методическая разработка УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

по ОУД.03 Математика

Тема: «Развитие понятия о числе»

Автор:

Максименко Нина Валерьевна,

преподаватель математики

г. Хабаровск, 2025 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение	3
План урока	4
Конспект урока	7
Список использованных источников	19
Приложения	20

ВВЕДЕНИЕ

В связи с переходом на Федеральный государственный образовательный стандарт нового поколения актуальной категорией в теории и практики СПО становится «профессиональная компетентность», что требует новых, более эффективных путей организации учебного процесса. При этом ключевым принципом обучения является реализация междисциплинарных связей общеобразовательных и общепрофессиональных дисциплин. Важным является обретение студентами практических знаний, понимание условий и способов их применения, что расширяет диапазон возможностей и обогащает личный опыт обучающихся.

Большую роль в подготовке специалистов среднего звена является математическое образование. Средством формирования общепрофессиональных компетенций при обучении математике являются профессионально ориентированные математические задачи, самостоятельная или под руководством преподавателя работа обучающихся по поиску информации, показывающей связь математики с профессией Графический дизайнер.

Поэтому в своей практике я систематически и целенаправленно использую практико-ориентированное обучение на занятиях математики. В профессионально ориентированных заданиях (задачи, сообщения) показывается студентам значимость математических знаний для их профессии, что ориентирует их на новый, более высокий уровень изучения математики.

Применение медиаресурсов в образовательной деятельности на данном занятии способствует решению познавательных и практических задач.

На данном занятии преподаватель вовлекает студентов в процесс обучения, в процесс постановки целей занятия. При этом происходит систематическое обучение навыкам самоконтроля, самоанализа, самооценки и самокоррекции.

Сочетание методов обучения (словесно-наглядный, практический, проблемный, частично-поисковой, репродуктивно-поисковой) и современных педагогических технологий (информационно-коммуникационные, здоровьесберегающие (атмосфера на занятии, благоприятный эмоциональный фон, смена видов деятельности), критического мышления (техника постановки вопросов) позволяют реализовать цель и задачи урока.

ПЛАН УРОКА

Тема раздела: «Алгебра»

Тема урока: «Развитие понятия о числе»

Содержательная цель: Формирование представления о последовательности чисел Фибоначчи, связи «Золотого сечения» и чисел Фибоначчи

Деятельностная цель: Формирование у обучающихся навыков применения знаний при решении практических заданий с элементами исследовательской деятельности

Задачи урока:

Обучающие:

1. Выявить информированность обучающихся по теме «Числовые множества», подготовленность к расширению понятия «Виды числовых множеств», посредством введения понятия «Числа Фибоначчи».

2. Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности для практических расчетов

Развивающие:

Развивать вычислительные навыки

Развивать умение делать выводы, рассуждать, строить гипотезы, применять идеи на практике

Содействовать формированию познавательного интереса обучающихся

Способствовать развитию памяти, внимания, пространственного воображения, правильной математической речи

Способствовать развитию приемам самоанализа, сопоставления, сравнения, умений обобщать и систематизировать знания

Обучение навыкам самоконтроля, самоанализа, самооценки и самокоррекции

Создание условий для самооценки обучающихся

Способствовать развитию навыков самостоятельной работы

Воспитательные:

Содействовать формированию познавательного интереса к дисциплине Математика, расширению кругозора через применение различных видов деятельности на занятии

Содействовать формированию навыка коллективной деятельности

Воспитывать коммуникативность, ответственность, упорство в достижении цели

Тип урока: Урок открытия новых знаний

Вид урока: Комбинированный

Средства обучения:

Интерактивная доска

Авторская презентация по теме занятия

3. Раздаточный материал: Лист №1 (Практическая работа), Лист №2 (Самооценка работы на занятии)

Методы обучения: информационно-развивающий (объяснение, беседа); наглядно-иллюстративный (демонстрация слайдов); репродуктивный (решение задач); проблемный (постановка проблемного вопроса, эвристическая беседа)

Форма организации учебной деятельности: Индивидуальная, групповая, фронтальная (опрос), устная и письменная

Технологии: практико-ориентированное обучение, информационно-коммуникационные, здоровьесберегающие (атмосфера на занятии, благоприятный эмоциональный фон, смена видов деятельности), критического мышления (техника постановки вопросов), проблемного обучения, медиатехнологии (презентация)

Планируемые результаты обучения:

1) Личностные

- развивать навыки сотрудничества со сверстниками, взрослыми в образовательной, учебно-исследовательской деятельности;

- готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной деятельности;

- эстетическое отношение к миру, включая эстетику научного и технического творчества;

- готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;

- отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных проблем.

2) Метапредметные:

- умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

- умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

- владение навыками познавательной, учебно-исследовательской деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

- готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, владение навыками получения необходимой информации из словарей разных типов, умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

- владение языковыми средствами – умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

- владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.

3) Предметные:

- сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

- сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

- владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

- сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть общими компетенциями (ОК):

ОК 01. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности, применительно к различным контекстам.

ОК 02. Осуществлять поиск, анализ и интерпретацию информации, необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности.

ОК 03. Планировать и реализовывать собственное профессиональное и личностное развитие.

ОК 04. Работать в коллективе и команде, эффективно взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 05. Осуществлять устную и письменную коммуникацию на государственном языке с учетом особенностей социального и культурного контекста.

ОК 09. Использовать информационные технологии в профессиональной деятельности.

СТРУКТУРА УРОКА

1) Организационный этап

2) Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся

3) Актуализация знаний обучающихся и осуществление первого пробного действия

4) Первичное усвоение новых знаний

5) Первичная проверка понимания

6) Первичное закрепление нового знания (работа в группах)

7) Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

8) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

9) Проведение рефлексии и самооценки

10) Подведение итогов занятия

КОНСПЕКТ УРОКА

1. Организационный этап

Преподаватель: Добрый день, ребята и уважаемые гости! Рада вас видеть!

Занятие хочу начать со слов русского математика и механика Чебышёва Пафнутия Львовича: «Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они получили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность». (слайд № 1)

В конце занятия вам необходимо будет дать ответ на вопрос: «Почему именно эти слова выбраны в качестве эпиграфа к нашему уроку?».

2. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся

Преподаватель: Ребята, предлагаю вашему вниманию стихи:

Числу знакома тайна Слова,

Веками бережёт её…

Но Слово явно не готово

Понять сокрытое Число.

Как Господин, владея Миром,

Желает Слово всё объять,

Не зная то, что тайным смыслом

Число умеет наполнять!

Исходя из строк стихотворения, как вы думаете, какая тема занятия у нас сегодня? (слайд № 2)

(Предполагаемые ответы обучающихся: «Числа», «Множества чисел», «Действия над числами» и т.п.)

Преподаватель: Действительно, наше занятие посвящено числам. Тема нашего урока: «Развитие понятия о числе». (слайд № 3)

В школьном курсе математики вы изучали числа, их свойства и действиям над ними. Числа – это универсальный инструмент для измерения количества, оценки и классификации объектов и явлений, а также для выполнения математических операций. Они присутствуют в нашей жизни повсюду и являются важной частью нашей культуры и общения.

Можете ли вы с уверенностью заявить, что все о них знаете?

(Ответы обучающихся…)

Сегодня мы с вами вспомним числовые множества, с которыми вы знакомы со школы, их свойствах, а также расширим представления о них; познакомимся с новой числовой последовательностью, где она применяется. Также предстоит практическая работа с элементами исследовательской деятельности.

3. Актуализации знаний обучающихся и осуществление первого пробного действия

Преподаватель: Ребята, посмотрите на первое множество чисел: «Числа 1, 2, 3, 4, ……». Дайте ему название. (слайд № 4)

Обучающиеся: Множество натуральных чисел (N).

Преподаватель: Если к этому множеству добавить число ноль и отрицательные числа: «Числа 0; 1; 2; 3; …….», то получится какое множество чисел?

Обучающиеся: Множество целых чисел (Z).

Преподаватель: Посмотрите на следующие числа: «Числа 0; ±2; ± ; ±0,78; ±1, ±24; ± ; ...». Они представляют множество …?

Обучающиеся: Множество рациональных чисел (Q).

Преподаватель: Любое рациональное число можно записать в виде дроби , где m  Z , n  N

Разделив "m" на "n" получаем конечную или бесконечную десятичную дробь:

Как видим, у некоторых дробей десятичные знаки повторяются 0,5555 ……; 0,3333 ……; 4,5222 ……. . Как называются такие числа? (слайд № 5)

Обучающиеся: Такие числа называются периодическими десятичными дробями.

Преподаватель: Верно! Они записываются: 4,959595 … = 4, (95) 2,125125125 … = 2, (125) 0,5121212 … = 0,5 (12) 2,13444 … = 2,13 (4).

Каждая бесконечная периодическая дробь представляет собой рациональное число.

Числа, представляющие собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными. Приведите примеры таких чисел. (слайд № 6)

Обучающиеся:

Преподаватель: Хорошо! Ребята, вам необходимо продолжить определение: «Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством …»? Как это множество обозначается?

Обучающиеся: Действительных (вещественных) чисел и обозначается символом R. (слайд № 7)

Преподаватель: Хорошо! Сделаем вывод: множество рациональных чисел включает в себя натуральные и целые числа, но не наоборот! Схематично множество всех действительных чисел можно изобразить так:

Множество можно задавать каким-нибудь свойством, которому должны удовлетворять его элементы. Например, вы уже знакомы с числовыми множествами, называемыми промежутками. Перечислим их. (слайд № 8)

При решении каких задач вы встречались с подобными множествами?

Обучающиеся: При решении неравенств; в заданиях, где надо определить, какому отрезку принадлежит данное число; соответствие числового промежутка указанному множеству чисел, изображенному на рисунке и т.п.

Преподаватель: Молодцы! Ребята, с какими еще множествами чисел вы знакомы?

Обучающиеся: Множество четных и нечетных чисел и др.

Преподаватель: Что вы можете сказать о числах, которые входят в названные вами множества?

Обучающиеся: Целое число называется четным, если оно делится на 2; в противном случае оно называется нечетным.

Преподаватель: При выполнении действий над действительными числами используют правила округления числа. Давайте вспомним их.

Обучающиеся: Правила округления десятичных дробей следующие:

Если цифра после знака округления меньше 5, то число округляется до ближайшего меньшего целого числа. Например, 2.3 округляется до 2, а 4.4 округляется до 4.

Если цифра после знака округления равна 5, то число округляется до ближайшего четного целого числа. Например, 2.5 округляется до 2, а 3.5 округляется до 4.

Если цифра после знака округления больше 5, то число округляется до ближайшего большего целого числа. Например, 6.7 округляется до 7, а 9.9 округляется до 10.

Если цифра после знака округления равна 0, то число не изменяется. Например, 7.0 остается 7, а 12.0 остается 12.

Преподаватель: Итак, мы применяем правила округления для десятичных дробей, заменяя число на его приближённое значение, записанное с меньшим количеством значащих цифр. (слайд № 9)

Хочу обратить выше внимание на то, что при округлении следует учитывать количество знаков после запятой, указанное в условии задачи, либо определенное в соответствующих правилах. Также в некоторых случаях может быть указано требуемое число значащих цифр, которое также следует учитывать при округлении.

4. Первичное усвоение новых знаний

Преподаватель: В математике есть такой раздел, как теория множеств, где изучаются их свойства. Есть множества чисел, с которыми вы еще не знакомы. Сейчас мы познакомимся с одним из них.

Думаю, что вы слышали о золотом сечении. Какие представления о золотом сечении вы имеете?

Ответы обучающихся.

Преподаватель: Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Золотое сечение – гармоническая пропорция. (слайд № 10)

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей: (слайд № 11)

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счётной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 34:21 = 1,617, а 55:34 = 1,618. (слайд № 12)

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

Также есть понятие «золотой прямоугольник» – прямоугольник, стороны которого пропорциональны золотому сечению. Пропорции квадратов связаны с числами Фибоначчи. (слайд № 13)

Основное применение данная последовательность нашла в математике, архитектуре и искусстве. Часто художники используют золотое сечение, чтобы эстетично располагать объекты на картине и создавать гармоничные образы.

Числа Фибоначчи помогают создавать более пропорциональные лица, фигуры людей и другие элементы. В картине Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» фигура главного героя также расположена на одной из линий золотого сечения. (слайд № 14)

Следующие примеры – шедевр Леонардо да Винчи «Мона Лиза» и картина И.И. Шишкина «Утро в сосновом лесу»: (слайд № 15)

Так картины приобретают реалистичный вид. Таким образом, математические закономерности помогают выстраивать картину так, чтобы она выглядела гармонично и красиво, а зритель сразу обращал внимание на главное.

Как же использовать эту гармоничную пропорцию в живописи и графике, в изображение на плоском листе? (слайд № 16)

Правило золотого сечения в картине проявляется делением ее на части четырьмя линиями – две из них горизонтальные, и две вертикальные. Расположены они согласно пропорции 1,618.

Принцип золотого сечения:

Как построить линии в картине?

1) Математический вариант

Для такого просчета удобно использовать онлайн калькуляторы.

Достаточно задать один из параметров, нажать кнопку «рассчитать», и система предоставит результат (есть специальные сервисы).

2) Геометрический вариант

Точки зрительных центров здесь находятся путем геометрических построений (есть онлайн-уроки). (слайд № 17)

Дизайнеры тоже подхватили эту идею и начали использовать золотое сечение в своих макетах. Например, по этим правилам можно создавать более приятные глазу логотипы. (слайд № 18)

5. Первичная проверка понимания

Преподаватель: Итак, какие множества чисел мы рассмотрели?

Обучающиеся: Множество натуральных, целых, рациональных, иррациональных чисел; множество четных и нечетных чисел; промежутки чисел; последовательность чисел Фибоначчи.

6. Первичное закрепление нового знания (работа в группах)

Преподаватель: Отлично! Числа Фибоначчи имеют удивительные свойства. Вам предстоит небольшая исследовательская работа, которую вам предлагаю выполнить в мини-группах. Ваша задача – выполнить практические задания. На листе с практической работой вы видите необходимый для выполнения заданий теоретический блок и непосредственно 6 заданий. Ответы необходимо записывать на данных листах. При выполнении работы можно пользоваться калькулятором. Внимательно читайте условие каждого задания. Обсуждение хода решения должно быть не громким, чтобы не отвлекать другие группы. При появлении каких-либо затруднений поднимайте руку, я к вам подойду и отвечу на ваши вопросы. На выполнение дается 15 минут. Удачи!

Практическая работа

Теоретический материал

Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, которые задаются по определённому правилу. Оно звучит так: каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Первые два числа заданы сразу и равны 0 и 1.

Вот как выглядит последовательность Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Практические задания

Используя правило, дополните последовательность Фибоначчи.

Таблица №1

Номер n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144

2. Посмотрите внимательно на каждую пару соседних чисел в таблице №1. Имеют ли они общие делители?

3. Что вы можете сказать о каждом третьем числе, начиная с (отсчет начинается с первой «1»)?

4. Что вы можете сказать о каждом четвертом числе, начиная с (отсчет начинается с первой «1»?

5. Найдите соотношение соседних чисел Фибоначчи . Получится последовательность чисел. Какой вывод вы можете сделать о полученных значениях, сравнивая их с числом Ф=1,618… ?

Таблица №2


Рез-т

6. Найдите соотношение соседних чисел Фибоначчи . Получится последовательность чисел. Какой вывод вы можете сделать о полученных значениях, сравнивая их с обратной к числу «фи» величиной ?

Таблица №3


Рез-т

7. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

Преподаватель: Давайте посмотрим, как вы справились с выполнением практических заданий.

Ответы

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, … , ∞

Общих делителей нет. Соседние числа Фибоначчи взаимно просты.

Каждое третье число четно.

Каждое четвертое число кратно 3.

Чем дальше продолжается этот ряд, тем ближе соотношение соседних чисел в нём к 1,618. Например, 3/2=1,5; 8/5=1,6, а 34/21= 1,619.

Комментарий: Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Но даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры.

При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). (слайд № 19)

8. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Преподаватель: Запишите в тетрадях домашнее задание: подготовить сообщение (объем – 2-3 печатных листа) или презентацию (не менее 7 слайдов) по теме «Золотое сечение в дизайне». (слайд № 20)

9. Проведение рефлексии и самооценки

Преподаватель: Работали сегодня все активно, повторили пройденный материал и узнали что-то новое. Теперь нужно подвести итоги и оценить вашу работу на занятии. Что мы изучали сегодня на занятии?

(Ответы обучающихся …).

Преподаватель: Значима ли для нас данная тема?

(Ответы обучающихся …)

Преподаватель: Где мы можем ее применить?

(Ответы обучающихся …)

Преподаватель: Как вы оцениваете работу вашей группы?

(Ответы обучающихся …)

Преподаватель: Возьмите Лист № 2 (Приложение № 1). Ваша задача дописать предложения:

1. Сегодня на занятии я узнал (узнала) ….

2. Теперь я могу …

3. Было интересно …

4. У меня возникли затруднения при …

5. Знания, полученные сегодня на занятии, пригодятся … (слайд № 21)

10. Подведение итогов занятия

Преподаватель: В конце занятия хочу вернуться к словам Чебышёва Пафнутия Львовича: «Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они получили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность». (слайд № 22)

После сегодняшнего занятия вы убедились в данных словах?

Ответы обучающихся …

Изучение значения чисел является частью математической и культурологической познавательной деятельности. Это позволяет нам лучше понять мир, в котором мы живем, и наши взаимоотношения с ним. Числа –это инструмент, который позволяет нам анализировать, описывать и классифицировать нашу реальность, описывать качества и количество объектов, и многое другое. (слайд № 23)

Спасибо за занятие! До свидания!