Материалы к уроку алгебры на тему «Решение двойных неравенств» (9 класс)

Решение двойных неравенств

Знакомство с двойными неравенствами с одной переменной начинается в 8 классе, а в 9 классе мы уже рассматриваем более сложные неравенства с двумя переменными. Комплекс заданий, который я опишу ниже, подойдет для итоговых уроков алгебры, а также для подготовки к экзамену.

Простейшее двойное неравенство
Рассмотрим ряд примеров:

1

1. 6 < х < 8 .
Решение этого двойного неравенства сводится к решению системы двух неравенств:

Решение данной системы изображено на числовой оси ОХ рисунка 1. Ответом является интервал, так как неравенство строгое, (6;8).

2. – 4 ≤ х < 5.

На рисунке приведено графическое исполнение решения данного двойного или системы неравенств. Обращает на себя внимание различие в отображении на рисунке концов искомого ответа: левая точка «полная», а правая - «выколотая». Такое различие обусловлено условиями, налагаемыми на переменную х: левое нестрогое – меньше или равно, а правое строгое – строго больше. Отсюда и результат, по которому левая точка х = - 4 является решение неравенства и поэтому точка на графическом изображении «полная», а правая точка х = 5 не является решение и поэтому на графике она изображена «пустой» или, как еще принято называть, «выколотой». Ответом искомого неравенства будет полуинтервал [- 4;5).

Самостоятельно рассмотрим остальные варианты решений простейших двойных неравенств на рисунке 1.

Задание№1.
Решите двойное неравенство самостоятельно.

1. -1 < x ≤ 5;

2. 2 ≤ x ≤ 10. 

Двойное неравенство. Алгебраические действия над ним

Стоит отметить, что для решения двойных неравенств действуют все те же правила, которые применимы и для обычных неравенств, только теперь действие должно применяться сразу к обеим частям неравенства.

1. Без смены знака можно прибавлять/отнимать любое действительное число к обеим сторонам неравенства.

2. Без смены знака можно умножать/делить на любое действительное (отличное от нуля) положительное число. 

3. Сменив знаки на противоположные, можно обе стороны неравенства умножать/делить на любое отрицательное число (кроме нуля).

Более сложное двойное неравенство с двумя переменными.

Решим неравенство:  3x – 8 < y ≤ -x + 4.

Чтобы решить это двойное неравенство нужно решить систему двух неравенств с двумя неизвестными. А именно:

Приведем первое неравенство системы к более удобному для восприятия виду у > 3x – 8 , тогда система будет иметь вид

Графическая интерпретация неравенства показана на рисунке 2.

2

Чтобы найти искомую зону ответов, удовлетворяющих данным условиям, сначала строим две прямые у = 3х - 8 и у = - х + 4. Построение прямых проще всего выполнять по контрольным точкам. Контрольные точки первой прямой (0; -8) и (8/3; 0), через них проводим прямую. На рисунке она красного цвета. Для построения второй прямой достаточно прямую у = х сместить на четыре единичных отрезка вверх по оси ОУ и симметрично отобразить ее относительно оси ОУ. Можно построить вторую прямую по контрольным точкам: (0 ; 4) и (4;0). На рисунке эта прямая зеленого цвета.

Для нахождения области решения двойного неравенства на координатной плоскости изображают области, которые являются решениями каждого неравенства отдельно, зона пересечения этих областей и будет решением первоначального двойного неравенства. На рисунке розовым цветом обозначена область решений 3х – 8 < у, причем прямая у = 3х - 8 не является решением строгого неравенства. Голубая - область решений неравенства у ≤ -х + 4, причем, все точки принадлежащие прямой у = - х + 4 удовлетворяют неравенству и, следовательно, является его решением. Пересечение розовой и зеленой зон и будет решением искомого двойного неравенства с двумя неизвестными.

Задание №2. Решите двойное неравенство:

2х +4 < у ≤ - х;

– х ≤ 4у + 1 ≤ 2х - 1.

 

Определите, графическое решение какого двойного
a) 2х – 5 ≤ у < 5х;

b) Х + 1 < у ≤ - х + 5 неравенства изображено на рисунке 3?

3