Урок алгебры на тему «Решение рациональных уравнений» (9 класс)

Трофимова Светлана Николаевна

МБОУ «Гимназия №1» г. Ядрин Чувашской Республики

учитель математики и информатики

Конспект урока: Решение рациональных уравнений

Класс: 9

Время: 1 урок (45 минут)

Необходимое оборудование: доска, компьютер, проектор, раздаточные материалы

Цель урока: закрепить умения решать уравнения способом замены неизвестного.

Этапы урока

Оргмомент – 5 минут

Решение биквадратных уравнений – 7 минут

Презентация замены неизвестного при решении уравнений – 8 минут

Физкультминутка – 2 минуты

Работа в группах – 20 минут

Подведение итогов – 3 минуты

Ход урока

1) Уравнения с давних времен волновали умы человечества. У английского поэта средних веков Чосера есть замечательные строки, которые мы возьмем эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем

Я уйму разрешу проблем.

Бывают разные виды уравнений. Умения решать их очень важны не только для математики, но и для других наук. А сейчас мы повторим основной теоретический материал, который понадобится нам на уроке. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

- Какие виды уравнений записаны на доске? (Линейное, квадратное, биквадратное)

- Как решить линейное уравнение? (Все слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

- Как решить квадратное уравнение? (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

Ребята, сегодня мы будем решать целые и дробно-рациональные уравнения, которые входят в сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. При решении уравнений будем применять алгебраические преобразования, а также такой прием, как замена переменной. Ребята, приходилось ли вам применять замену неизвестного при решении уравнений? При решении каких уравнений? (биквадратных, возвратных).

2) Если надо решить биквадратное уравнение ах4 + bx2 + c=0, то вводим новую неизвестную, например, y=x2, получаем квадратное уравнение: ay2 + by + c=0. Решив это уравнение, найдем корни y1 и y2. Чтобы найти корни исходного уравнения, т.е. x1 и x2, надо решить два уравнения 1) x2 = y1 и 2) x2 = y2.

Решим биквадратное уравнение (задание на 2 балла)

x4 + 2x2 – 8 = 0 и 2x4 - 19x2 + 9 = 0 (Работа в группах по 4 человека)

3) Презентация замены неизвестного при решении уравнений (с помощью проектора на экране).

Пример 1. Решим уравнение

(x2 + x – 1) (2x2 +2x + 3) – 7(1 – x – x2) = 110 (1)

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного.

Введем новое неизвестное t = x2 + x – 1, тогда 2x2 +2x + 3 = 2 (x2 + x – 1) +5,
1 – x – x2 = - ( x2 + x – 1) = -t. Поэтому уравнение (1) перепишется в виде:

t(2t + 5) + 7t = 110 или 2t2 + 12t – 110 = 0

Это уравнение имеет два корня t1 = 5, t2 = - 11

Поэтому корнями уравнения (1) являются корни двух уравнений:

1) x2 + x – 1 = 5 и 2) x2 + x – 1 = - 11

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (1): x1 = -3, x2 = 2.

Ответ. -3; 2.

Пример 2. Решим уравнение

(x + 3) (x – 5) (x + 2) (x – 4) = 60 (2) [2, 18]

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Но сначала в левой части уравнения умножим первый множитель на второй и третий на четвертый, потому что суммы свободных членов этих многочленов в каждой паре одинаковы: 3 + (- 5) = 2 + (-4), получим равносильное уравнение

(x2 - 2x – 15) (x2 - 2x – 8) = 60.

Введем новое неизвестное t = x2 - 2x – 15, тогда x2 - 2x - 8 =t + 7, поэтому уравнение перепишется в виде

t (t + 7) = 60 или t2 + 7t – 60 = 0

Это уравнение имеет два корня t1 = 5, t2 = - 12

Поэтому корнями уравнения (2) являются корни двух уравнений:

1) x2 - 2x – 15 = 5 и 2) x2 - 2x – 15 = - 12

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (2): x1 = 1 - , x2 = 1 + , x3 = - 1, x4 = 3.

Ответ. x1 =1 - , x2 = 1 + , x3 = - 1, x4 = 3.

4) Физкультминутка

5) А теперь перейдем к решению более сложных задач (задания на 4 балла и 6 баллов). Двое работают у доски, остальные в группах по четыре человека.

Задания для работающих у доски:

1 задание. Решите уравнение x5 – 9x3 + 20x = 0. Указание: вынесите x за скобки.

2 задание. Решите уравнение (x2 – 5x) (x2 – 5x + 10) + 24 = 0. Указание: введите новое неизвестное x2 – 5x =t.

Задания для работы в группах:

1 задание. Решите уравнение (x – 2)2 (x2 – 4x + 3) = 12. Указание: выражение в первых скобках возведите в квадрат.

2 задание. Решите уравнение (x2 – 7x + 13)2 – (x – 3) (x – 4) = 1. Указание: перемножьте выражения в скобках (x – 3) (x – 4).

3 задание. Решите уравнение (x – 2) (x – 1) (x + 2) (x + 3) = 60 Указание: перемножьте нужные скобки.

4 задание. Решите уравнение Указание: введите новое неизвестное

5 задание. Решите уравнение Указание: введите новое неизвестное

6 задание. Решите уравнение (x – 5)4 – 3 (x – 5)2 – 4 = 0. Указание: введите новое неизвестное (x – 5)2 = t.

6) Итак, сегодня на уроке мы с вами решали уравнения, используя метод замены неизвестного. Учебно-методическая газета “Математика” выходит под девизом: “Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием”, а вот для меня большая радость, если все, чему вы научились на уроках, можете использовать на экзаменах.

Список литературы:

Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / М.К. Потапов, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014.

http://metodist.edu54.ru/node/47731

https://infourok.ru/individualnaya_rabota_na_urokah_matematiki-441415.htm