Справочный материал «Решение комбинаторных задач. Сочетания»

Сочетания. Формула для числа сочетаний

Сочетания (без повторений)

Пусть множество Х состоит из n элементов.

Определение. Любое k-элементное подмножество Y множества Х называется сочетанием из n элементов по k.

Очевидно, что k должно быть не больше n.

Число всех сочетаний из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:

(4)

В частности, что согласуется с тем, что у любого множества Х имеется только одно подмножество из нуля элементов (пустое подмножество), и только одно подмножество из n элементов (совпадающее с самим множеством X).

При рассмотрении сочетаний очень мощно используется теория множеств!

Докажем формулу (4).

Пусть Y какое-либо произвольное подмножество множества Х, содержащее k элементов (то есть сочетание из n элементов по k). Число таких подмножеств обозначим символом . Необходимо выяснить, чему равно это число.

Составляя, всевозможные перестановки из элементов этого множества Y получим k! различных строк длиной k. Если указанную операцию проделать с каждым подмножеством Y содержащим k элементов, то получим всего различных строк, длиной k. С другой стороны, таким образом должны получиться все без исключения строки, длиной k без повторений, которые можно составить из элементов множества Х. Число таких строк равно , следовательно, . Выражая из этого равенства , получим:

. Формула (4) доказана.

Числа называют биномиальными коэффициентами – они входят в формулу бинома Ньютона, изучение которого также входит в программу по математике для профильных классов.

Числа обладают рядом замечательных свойств:

1. (доказывается непосредственно по формуле (4));

2. (можно доказать с помощью известной теоремы из теории множеств о том, что число различных подмножеств n-элементного множества равно 2n; другой способ доказательства - комбинаторный);

3. для любых (доказывается с помощью формулы (4)); на основе этого свойства строится знаменитый треугольник Паскаля.

Таблица 1.Треугольник Паскаля

Заметим, что Блез Паскаль называл числовой треугольник, начало которого содержится в таблице 1, арифметическим. Паскаль посвятил свойствам арифметического треугольника основополагающий "Трактат об арифметическом треугольнике" (1654). Справедливости ради, стоит упомянуть, что биномиальные коэффициенты были хорошо известны в Азии за много веков до рождения Паскаля. В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи.

?», то нужно отвечать: «числом способов»!!!

Пример. Во взводе 5 сержантов и 50 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из одного сержанта и трёх солдат.

Решение. Одного сержанта из пяти можно выбрать 5-ю разными способами. Для любого из этих способов выбора сержанта трёх солдат (порядок тройки не важен) из 50-ти можно выбрать числом способов. Тогда по правилу произведения весь наряд, то есть одного сержанта и трёх солдат, можно выбрать способами.

Подобные задачи очень часто встречаются в комбинаторике и в теории вероятностей. Поэтому рассмотрим модель этой задачи и её решение.

Пусть имеется n объектов I типа и m объектов II типа. Сколькими способами можно выбрать из них k объектов I типа и s объектов II типа?

Условие задачи рекомендуется оформить таблицей, чтобы не запутаться в числах при составлении числа сочетаний.

Тогда объектов I типа из можно выбрать числом способов. Для каждого из этих способов выбора объектов I типа объектов II типа из имеющихся можно выбрать числом способов. Применяя правило произведения, получаем ответ:.

Аналогично решается задача для объектов трёх, четырёх и т.д. типов.

К подобной задаче сводятся задачи, в которых известно общее количество имеющихся объектов и общее количество тех, которые нужно выбрать.

Пример. В классе 36 человек, из которых 6 – отличники. Сколькими способами можно разбить класс на два класса по 18 человек так, чтобы отличников в каждом классе было поровну?

Решение. Разбить класс на две части по 18 человек – это всё равно, что выбрать 18 человек из 36. Отобранные 18 человек составляют один класс, оставшиеся – другой. Оформим условие задачи в указанном выше виде.

Ответ: способов.

Задачи

1. Ф. У лесника 3 собаки: Астра (А), Вега (В) и Гриф (Г). На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

Решение.

Это задача о выборе двух элементов из трех без учета порядка. Перечислим варианты выбора из А, Б, В по два: А, Б; А, В; Б, В. Если учащиеся знают формулу для числа сочетаний, то количе­ство вариантов равно: =3.

Ответ: 3 варианта.

2. Ф. Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой?

Решение.

Количество сочетаний из 4 по 3 (порядок выбора не имеет зна­чения) равно: = 4. Иначе можно рассуждать так. Вместо выбора троих дежурных выберем одного, который не будет дежурить, а трех оставшихся отправим на дежурство. Количество способов выбрать одного из четверых ребят равно 4.

Ответ: 4 способа.

М-задачи из уч. пособия А.Г.Мордковича

Т- под ред. С.А.Теляковского

Ф- М.В.Ткачевой

3. Т. В классе 7 человек успешно занимаются матема­тикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для уча­стия в математической олимпиаде?

Решение.

Выбираем 2 учащихся из 7, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправ­ные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2: способ.

Ответ: 21 способ.

4. Т. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение.

Выбор из 8 по 3 без учета порядка: = 56 способов.

Ответ: 56 способов.

5. Т. Учащимся дали список из 10 книг, которые ре­комендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение.

Выбор 6 из 10 без учета порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

6. Т. Из лаборатории, в которой работают заведую­щий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

Решение.

Из 11 человек 5 должны поехать в командировку.

а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:способов.

в) Заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников: способа.

Ответ: а) 210 способов; б) 252 способа.

7. Т. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими cnocoбами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение.

Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 ( способов) и 2 журнала из 4 ( способов) ; порядок выбора не имеет значения. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу произведения равно: способов.

Ответ: 720 способов.

8. Т. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров – остаться?

Решение.

Выбираем три элемента из 12; порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).

а) Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов: С= 10.

б) Иванов и Петров не идут в наряд; троих идущих в наряд нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов: способов.

в) Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым, нужно выбрать из других 10 солдат ( Иванова и Петрова не считаем); количество способов:

Ответ: а) 10способов; б) 120 способов; в) 45 способов.

9. Т. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 ( всего способов); порядок выбора значения не имеет ( все идущие на уборку равноправны). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек,

Поэтому по правилу произведения общее число способов выбора равно:

способов.

Ответ: 400 400 способов.

10. В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» -20 учащихся, а в 9 «В» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трех учащихся из 9 «А», двух - из 9 «Б» и одного - из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение.

Выбор из трех совокупностей без учета порядка; каждый вари­ант выбора из первой совокупности () может сочетаться с каж­дым вариантом выбора из второй (С) и с каждым вариантом вы­бора из третьей (С); по правилу произведения получаем:

способов выбора учащихся

Ответ: 1 866 000 способов.

11. Т. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы: а) по 4 и 8 человек; б) по 5 и 7 чело­век?

Решение.

Количество способов разбиения множества на две части равно количеству способов формирования одной из частей (любой). По­скольку порядок расположения элементов не учитывается, имеем:

а)способов разбиения на 4 и 8 элементов.

б) способов разбиения на 5 и 7 элементов.

Ответ: а) 495 способов; б) 792 способа.

Замечание. Задача иллюстрирует свойство биноминальных коэффициентов:

12. Т. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших на­учных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в команди­ровку?

Решение.

Выбор из двух разных совокупностей без учета порядка; каж­дый вариант выбора из первой совокупности (их С) может соче­таться с каждым вариантом выбора из второй совокупности (их С), по правилу произведения общее число способов выбрать со­трудников, уезжающих в командировку, равно:

= 560 способов.

Ответ: 560 способов.

13. М. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов, и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.

а) Сколько встреч было между футболистами?

б) Сколько встреч было между хоккеистами?

в) Сколько встреч было между футболистами и хоккеистами?

г) Сколько встреч было всего?

Решение.

а) Выбираем пары из 11футболистов без учета порядка; количество возможных встреч:

б) Выбираем пары из 6 хоккеистов без учета порядка; количество встреч равно:

в) Количество пар «футболист - хоккеист» найдем по правилу
произведения: выбрать 1 футболиста можно 11 способами, поел
этого выбрать одного хоккеиста можно 6 способами; количество
разных выборов «футболист, затем хоккеист» равно 11 = 66.Количество встреч между футболистами и хоккеистами равно 66.

г) Общее количество встреч равно количеству пар из 11 + 6 = 17 элементов без учета порядка: Понятно, что сумма первых трех величин должна равняться по­следней: 55+ 15 + 66 = 136.

Ответ: а) 55; б) 15; в) 66; г) 136.

14. М. В правильном 17-угольнике провели все диаго­нали.

а) Сколько всего получилось отрезков?

б) Сколько имеется сторон?

в) Сколько провели диагоналей?

г) Сколько всего диагоналей в выпуклом n-угольнике?
Решение.

Правильный многоугольник имеет 17 вершин; никакие три из этих 17 точек не лежат на одной прямой.

а) Общее число отрезков равно количеству пар из 17 точек без учета порядка :

б) Стороны соединяют только соседние точки (точки, расстояние между которыми наименьшее). Поэтому количество сторон равно количеству интервалов между 18 точками на прямой (чтобы получить замкнутую линию, будем считать, что 1-я и 18-я точки совпадают). Количество интервалов между n точками на прямой равно n - 1, поэтому количество сторон 17-угольника равно 18 - 1 = = 17.

Можно рассуждать иначе. Пронумеруем вершины 17-уголь­ника. Из каждой вершины, начиная с первой, исходит сторона 17-угольника, которая заканчивается в следующей по номеру вер­шине. Сторона, исходящая из 17-й вершины, заканчивается в вершине № 1. Поэтому количество сторон равно количеству вершин, т. е. 17.

в) Диагональю 17-угольника будет отрезок, соединяющий каж­дую вершину с каждой из вершин, не являющихся соседними для данной, т. е. с 17 - 1 - 2 = 14 разными вершинами (мы вычли 1 -вершину, из которой исходит диагональ, и 2 - две соседние вершины). Таким образом, из каждой вершины 17-угольника исходит 14 диагоналей. Но произведение 17 будет включать каждую диагональ дважды (сначала как исходящую из i-й вершины в k-ю, потом как исходящую из k-й вершины в i-ю). Поэтому общее количество диагоналей равно = 119. Понятно, что количество сторон плюс количество диагоналей должно равняться количеству отрезков:

17 + 119= 136.

г) В выпуклом n-угольнике из каждой вершины можно провес­ти n - 1 - 2 = n -3 диагонали; общее количество диагоналей равно (объяснение такое же, как в пункте в).

Ответ: а) 136; б) 17; в) 119; г)

15. М. Встретились несколько человек и стали здоро­ваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой.

Решение.

а) Число рукопожатий равно числу различных пар из п элемен­тов без учета порядка выбора, поэтому: 60 ; 6070; 120 -n 140;

Можно решать двойное неравенство и выбрать натуральное п из полученного интервала. Однако в этом простейшем случае легко находится подбором: n = 12. При n = 11 n2 - n = 110, а при n= 13 n2- n= 156.

б) Если один человек не здоровался ни с кем, то пары образо­вывались из n- 1 элемента, т. е. 60; 120 (n - 1) (n - 2) 140; поскольку 1211 =132, то n = 13.

в) Если двое не поздоровались между собой, то количество рукопожатий было на 1 меньше: 60; 61
122п(п-1)142. Поскольку 1211 = 132, то n = 12.

Ответ: а) 12; б) 13; в) 12; г) 15.

Литература

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах, - Ярославль: ЯГПУ , 1994.

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-математических специальностей педагогических вузов-2-е издание, переработанное. - М.:Просвещение, 1993.

Бунимович Е. А., Булычёв В.А. Вероятность и статистика. 5-9 классы: Пособие для общеобразовательных учебных заведений, - М.:Дрофа , 2005.

Виленкин Н. Я. и другие. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. - М.:Просвещение,1992.

Виленкин Н. Я. и другие. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики - М.:Просвещение, 1990.

Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс. Пособие для учителей. - М.: Просвещение 1983.

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Математика 9:Алгебра. Функции. Анализ данных - М.: Дрофа, 2000.

Колягин и другие. Алгебра и начала анализа 11 класс. Математика в школе - 2002 - №4 - с.43,44,46.

Люпшкас В.С. Факультативные курсы по математике: теория вероятностей: Учебное пособие для 9-11 классов.- М.,1991.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – М.: Мнемозина, 2005.

Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.