Урок «Перестановки и их применение в решении комбинаторных задач» (Алгебра, 9 класс)

Номер этапа

Деятельность обучающихся

Деятельность учителя

1

Участвуют в беседе. Отвечают на вопросы,

Фронтальная беседа с элементами опроса:

На предыдущем уроке мы познакомились с комбинаторными задачами, с общими определениями комбинаторики и теории вероятностей и комбинаторным правилом умножения.

Выполним задания устно :

1.Составьте все возможные комбинации (выборки) из трех учеников (Иванов, Петров, Сидоров) по два элемента в каждой выборке. (Ответ : Иванов и Сидоров; Иванов и Петров; Сидоров и Петров).

2.Если объект А можно выбрать х способами, а объект В – у способами, то сколько способов существует для выбора объекта А и объекта В одновременно ? (Ответ : х+у.)

3.Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С ведут четыре дороги. Сколько различных вариантов маршрутов из города А в город С можно составить ? (Ответ: 12).

4.Имеются три цифры : 2, 5 и 7. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа ? (Ответ.6).

5. Имеются три цифры : 2, 0 и 7. Сколько различных двухзначных чисел можно составить из этих цифр без повторения их в записи числа ? (Ответ.4).

6.При встрече 10 человек обменялись фотографиями. Сколько потребовалось фотографий ? (Ответ.90).

7.При встрече 10 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий ? (Ответ. 45).

В какой форме могут быть построены математические модели ?

в форме таблицы;

в форме выражения;

в виде формулы;

в виде уравнения;

в виде неравенства;

в виде графика;

в виде схемы или чертежа.

Какие формы математической модели мы сегодня встретим на уроке ?

2

Выполняют задания математического диктанта :

Время выполнения – 4 минуты.

Диктует задания мат.диктанта. Организует проверку выполненных заданий. Варианты проверки :

1.Предложить продублировать ответы в рабочей тетради. Собрать выполненные задания. Предъявить правильные ответы. Оценить успешность класса.

2.Содрать выполненные задания. Предложить проверить задания двум ученикам-экспертам. Огласить и обсудить результаты.

3.Взаимопроверка (в парах).

4.Самопроверка (правильные ответы предъявить на экране).

3

Составляют четырехзначные числа:

Данная таблица является моделью результата решения задачи.

Предлагает обучающимся составить из цифр 1, 2, 3, 4 все возможные четырехзначные числа без повторения цифр в записи числа .

Сколько всего таких чисел можно получить (24).

1.Сколькими способами можно выбрать первую цифру ? (4)

2.Сколькими способами можно получить вторую цифру из оставшихся ? (3)

3.Сколькими способами можно получить третью цифру из оставшихся ? (2)

4.Сколькими способами можно получить четвертую цифру ? (1)

Проверьте равенство :

Какой вывод можно сделать ?

4

С помощью текста п.31 учебника выполните следующие задания :

Найдите и запишите определение перестановки.

Узнайте, что называют факториалом числа n.

Запишите произведение первых n натуральных чисел (в форме выражения).

Запишите формулу для нахождения числа перестановок.

Вычислить : 1!=______; 2!=______; 3!=_______; 4!=______; 5!=________; 6!=______.

Решите уравнение 2х!=240.

Изучение теоретического материала с элементами модульной технологии.

Контрольные вопросы :

1.Какие комбинации (выборки) называют перестановками ?

2.Что такое «эн факториал» и как его найти?

3.По какой формуле находят число перестановок ?

4.Приведите примеры комбинаций, которые являются перестановками.

5.Из букв составляют различные комбинации (выборки). Какие из них являются перестановками ?

Ответ : перестановки во втором столбике.

5

Участвуют в обсуждении решений задач.

Задача № 1

Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 и 8, при условии, что цифры в записи числа не повторяются ?

Решение.

Из цифр 0, 2, 4, 6 и 8 можно получить перестановок. Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с нуля. Число таких перестановок равно числу перестановок цифр 2, 4, 6 и 8, т.е. . Таким образом, искомое количество пятизначных чисел равно

Ответ. 96.

Задача № 2

Имеется десять различных книг, из которых шесть – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом ?

Решение.

Будем рассматривать все шесть учебников как один объект. Тогда на полке надо расставить пять книг (объектов). Число таких комбинаций равно . К каждой из этих комбинаций учебники можно расставить различными способами. Количество таких способов равно . По комбинаторному правилу умножения все десять книг можно разместить способами.

Ответ. 86400.

Задача № 3

Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 7, 6, 5, 0 (без их повторения), которые кратны 15 ?

Решение.

Из данных цифр можно составить различных четырехзначных чисел без повторения цифр в их записи.

Заметим, что сумма предложенных цифр равна 18, т.е. любое четырехзначное число, составленное из этих цифр (без их повторения в записи числа), будет кратно трем. Чтобы полученные числа были кратны 15, необходимо, чтобы они были кратны не только числу 3, но и числу 5, т.е. оканчивались на 0 или на 5 . Число таких чисел равно 12. Таким образом, искомое количество равно .

Ответ. 12.

6

1.Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 различных книг ? (Ответ: 120).

2.Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 4, 2, 9, 5 и 7 без повторения их в записи числа? (Ответ: 720).

3. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 4, 2, 9, 5 и 7 без повторения их в записи числа? (Ответ: 600).

4.Вычислить:

(Ответ : 3060)

5.Что больше и во сколько раз :

.

(Ответ. Больше второе число в 9 раз).

6.Шесть мальчиков, в число которых входят Саша и Ваня, становятся в ряд. Найти число возможных комбинаций, если:

а) Саша должен находиться в начале ряда; (Ответ : 120)

б) Саша должен находиться в начале ряда, а Ваня – в конце ряда; (Ответ: 24)

в) Саша и Ваня должны стоять рядом. (Ответ : 48).

Решение задач. Решение задач выполняется на доске с подробным разбором каждого решения.

Для обучающихся, успешно справляющихся с заданиями, даются индивидуальные задания (Приложение)

7

Тестовое задание :

Выдает тестовые задания. Контролирует ход и самостоятельность их выполнения. При необходимости дает направляющие примеры.

8

в форме таблицы;

в форме выражения;

в виде формулы;

Какие математические модели мы строили сегодня на уроке ?

9

Домашнее задание.

Выучить определение перестановки (стр. 176) и формулу для вычисления числа перестановок (стр. 177).

Выполнить решение задач № 741, № 744 с подробной записью решения.

Комментирует домашнее задание; указывает на возможные затруднения при выполнении заданий.

Карточка № 1

Что больше и во сколько раз : ?

Вычислить значение выражения .

Сколькими способами можно расставить на полке 15 книг, из которых 7 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?

Сократить дробь

В расписании на понедельник семь уроков : алгебра, геометрия, физика, биология, физкультура, история и информатика. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики были первыми ?

Карточка № 2

Что больше и во сколько раз : ?

Вычислить значение выражения .

Сколькими способами можно расставить на полке 17 книг, из которых 12 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?

Сократить дробь .

В расписании на понедельник семь уроков : алгебра, геометрия, физика, биология, физкультура, история и информатика. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы физкультура и геометрия были рядом ?

Карточка № 3

Что больше и во сколько раз : ?

Вычислить значение выражения .

Сколькими способами можно расставить на полке 11 книг, из которых 7 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?

Сократить дробь .

Восемь мальчиков, в числе которых Никита и Артем, становятся в ряд. Найти число возможных комбинаций, если Никита и Артем должны стоять рядом ?

Карточка № 4

Что больше и во сколько раз : ?

Вычислить значение выражения .

Сколькими способами можно расставить на полке 13 книг, из которых 5 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?

Решить уравнение .

Девять мальчиков, в числе которых Никита и Артем, становятся в ряд. Найти число возможных комбинаций, если Никита и Артем должны стоять рядом ?

Карточка № 5

Что больше и во сколько раз : ?

Вычислить значение выражения .

Сколькими способами можно расставить на полке 14 книг, из которых 8 книг – поэтические сборники, так, чтобы эти сборники стояли рядом ?

Решить уравнение .

В расписании на понедельник семь уроков : алгебра, геометрия, физика, биология, физкультура, история и информатика. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы физкультура и биология были рядом ?