Решение задач по теории вероятностей.

Теория Вероятностей Теория Вероятностей

Правила игры Класс жеребьевкой рассаживается по группам. Каждая группа придумывает название и выбирает лидера. Группы получают конверты для хранения в них карточек с баллами и заполняют на конверте название команды и фамилии участников. Каждый обучающийся получает рабочий лист, где будут зафиксированы решения задач. За верно решенную задачу команда получает баллы. Право выбора категории и задания получает команда, ответившая первой на вопрос: К какому веку относится возникновение теории вероятностей, связанное с исследованиями Блеза Паскаля, Пьера Ферма, Христиана Гюйгенса, Джероламо Кордано? Следующий вопрос выбирает команда, лидер которой быстрее всех поднимет руку с названием команды, но только после того как все участники команды зафиксируют решение задачи в рабочие листы и ученик, на которого укажет учитель, прокомментирует решение задачи с записью на доске. При выпадении «кота в мешке» команда, выбирающая вопрос, должна отдать право ответа любой команде соперника по своему усмотрению.

Вступительное слово учителя. В любой сфере жизнедеятельности человека не обойтись без математики. Людей всегда интересовало будущее, возможность предугадывать события. Люди ищут ответы на постоянно возникающие вопросы. Например, случайно ли возникают мутации? или Вселенная – это отклонение от законов сохранения? Теория вероятностей – наука, раздел математики, которая изучает случайные величины, случайные процессы их свойства и операции над ними. Как известно, вся современная экономика базируется на теории вероятностей, на оценке рисков. Теория вероятностей способствовала возникновению новых дисциплин: теория игр, теория информации, страховая математика, доказательная медицина, искусственный интеллект и так далее. В будущем многие из вас обязательно свяжут свою профессиональную деятельность с теорией вероятностей.

Категория1 Классическая вероятность

Категория 2 Кубик и монета

Категория 3 Совместные и несовместные события

Категория 4 Независимые события

Категория 5 Профессии

К какому веку относится возникновение теории вероятностей, связанное с исследованиями Блеза Паскаля, Пьера Ферма, Христиана Гюйгенса, Джероламо Кордано?

XII век

10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 Категория 1 Категория 2 Категория 3 Категория 4 Категория 5

Категория 1 В фирме такси в наличии 45 легковых автомобилей. Из них 18 чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. 10

Категория 1 Всего автомобилей желтого цвета с черными надписями будет 45 – 18 = 27 0,6   10

Категория 1 На клавиатуре телефона расположены 10 цифр от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной и меньше 7? 20

Категория 1 Четные цифры меньше 7: 0, 2, 4, 6   20

Категория 1 В ящике находятся шары с номерами от 1 до 50. Найдите вероятность того, что номер случайно выбранного шара делится на 6, но не делится на 7. 30

Категория 1 Делятся на 6: 6,12,18,24,30,36,42,48 42 делится и на 7, значит благоприятных событий 7.   30

40

Категория 1 Девять детей встают в хоровод в случайном порядке. Среди них есть Паша и его сестра Оля. Какова вероятность того, что Паша и Оля окажутся рядом? 40

Категория 1 Всевозможных событий 8. Рядом с Пашей два места, которые может занять Оля.   40

Категория 1 В кружке 16 ребят, среди них два друга — Вася и Петя. Случайным образом их разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вася и Петя окажутся в одной группе. 50

Категория 1 Всевозможных событий выбора места для второго друга 15. Благоприятных 3.   50

Категория 2 В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет не менее одного раза. 10

Категория 2 ро ор рр оо =0,75   10

Категория 2 В случайном эксперименте бросают два кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Ответ округлите до сотых. 20

Категория 2 Всего событий N=36. Благоприятных событий, что сумма равна 8: N(A)=5 3+5; 5+3; 4+4; 2+6; 6+2 0,14   20

30

Категория 2 Дана симметричная игральная кость - при каждом броске выпадение любого числа очков равновероятно. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало не больше 3 очков. 30

Категория 2 Всех исходов N = 36: (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6), (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6), (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6), Благоприятных N(A)=18. 5   30

Категория 2 Монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятность того, что при четырех подбрасываниях монеты и «орел» и «решка» выпадут хотя бы по одном разу. 40

Категория 2 Всего 16 вариантов подбрасываний. Вариантов, когда выпадет четыре раза «о» или четыре раза «р» равна 2. Значит вариантов, когда «о» и «р» выпадут хотя бы по одному разу 16-2=14.   40

Категория 2 При двукратном бросании игрального кубика ни разу не выпало 3 очка. Найдите при этом условии вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 8. 50

Категория 2 50  

Категория 3 На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. А по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов по этим двум темам одновременно нет. Найдите вероятность, что ученику достанется вопрос по одной из этих тем. 10

Категория 3 События несовместные 0,2+0,15=0,35 10

Категория 3 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в каждом автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность, что закончится в обоих автоматах 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. 20

Категория 3 Р(АUB)=0,3+0,3-0,18=0,42 1-0,42=0,58 20

Категория 3 На двери два замка. Вероятность того, что первый замок закрыт, равна 0,9. Вероятность того, что закрыт второй замок 0,8. Вероятность, что закрыты оба замка – 0,72. Найти вероятность того, что дверь закрыта только на первый замок. 30

Категория 3 0,9-0,72=0,18 30

Категория 3 У фирмы имеется два автобуса. Клиент хочет срочно заказать один автобус. Вероятность того, что каждый автобус свободен, равна 0,6. Вероятность того, что свободны оба, равна 0,36. Найдите вероятность того, что в момент заказа свободен только один из автобусов. 40

Категория 3 Несовместные события (0,6-0,36)+(0,6-0,36)=0,48 40

50

Категория 3 Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года. 50

Категория 3 А-кофемолка прослужит >1, но < 2 лет. В-кофемолка прослужит > 2лет. А и В несовместные события. Р(АUВ)=Р(А)+Р(В) Р(А)=Р(АUВ)-Р(В)=0,93-0,81=0,12 50

10

Категория 4 Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6 Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние 10

Категория 4 Вероятность промаха по мишени равна 1-0,6=0,4. Тогда вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние, равна 0,6∙0,6∙0,4∙0,4=0,24∙0,24=0,0576. 10

Категория 4 Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. 20

Категория 4 Поскольку события независимые, то вероятность будет равна произведению: 0,9·0,9·0,9=0,729 Вероятность, что не перегорит хотя бы одна лампочка равна: 1-0,729=0,271 20

Категория 4 В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготовки класса к занятиям случайным образом выбирают дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут два мальчика. 30

Категория 4 А- выбрали одного из 16 мальчиков из 25 детей P(A)= B-выбрали второго из 15 мальчиков из 24 детей. P(B)= События А и В независимые (выбор второго не зависит от выбора первого), поэтому P(AUB)=P(A)·P(B)=·==0,4   30

Категория 4 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,8 40

Категория 4 Вероятность попасть с первого выстрела 0,5. Вероятность попасть со второго выстрела: 0,5∙0,5 = 0,25. Вероятность попасть с третьего выстрела: 0,5∙0,5·0,5 = 0,125. Вероятность попасть с первого или со второго выстрела или с третьего: 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875. Это число больше, чем 0,8, значит можно остановится и достаточно 3 выстрелов. 40

Категория 4 50 Садовник принес две корзинки фруктов. В одной из них 2 яблока и 6 персиков, а в другой  — 8 яблок и 12 персиков. Хозяйка, не глядя, взяла из каждой корзинки по одному фрукту. Какова вероятность того, что она достала два яблока или два персика?

Категория 4 50 Вероятность того, что хозяйка достала два яблока равна Вероятность того, что хозяйка достала два персика равна Вероятность того, что хозяйка достала два яблока или два персика равна сумме вероятностей этих событий: =0,55  

Категория 5 Предсказывание денежного курса на денежных опционах дает ему возможность зарабатывать с помощью теории вероятности серьезные деньги. 10

Категория 5 Брокер 10

20

Категория 5 Без теории вероятностей не обойтись специалисту в этой области, связанной с машинным зрением, робототехникой, программированием систем для анализа данных и т.д. 20

Категория 5 Искусственный интеллект 20

Категория 5 Теория вероятностей и математическая статистика важны для анализа данных, потому что они помогают понять и интерпретировать данные, делать прогнозы и принимать обоснованные решения. 30

Категория 5 Аналитик  30

Категория 5 Именно он просчитывает варианты оптимального маршрута перевозки и сроков доставки груза, чтобы товар дошёл до потребителя в нужное время и с минимальными издержками. 40

Категория 5 Логист 40

Категория 5 50 Формулирование клинического вопроса Сбор доказательств, чтобы ответить на этот вопрос Оценка качества и достоверности доказательств Принятие решения о том, имеют ли существующие доказательства отношение к лечению определенного пациента и если да, то каким образом