Решение заданий №19 из базовой части ЕГЭ «Цифровая запись числа»

 Териков Рамазан Пашаевич,

учитель математики и информатики

МКОУ”Бабаюртовская СОШ№2 им.Б.Т.Cатыбалова”

24.01.2017 год.

Решение заданий №19 из базовой части ЕГЭ -2017(Цифровая запись числа)

Начиная с 2017 года в базовой части ЕГЭ по математике ввели задания на признаки делимости.

Почему то дети хорошо запоминают признаки делимости на 2 и на 5, а остальные признаки забывают.

В связи с эти тем, рекомендую на уроках в 10-11 классах уделить время на повторение признаков делимости чисел. Напомним признаки делимости, которые изучаются в школе (6 класс по Муравину):

1.Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа оканчивается четной цифрой т.е 0, 2, 4, 6 или 8.

2.Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа оканчивается на 0 или на 5.

.

3. Натуральное число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или на 9.

4. Натуральное число делится на 4 или 25 тогда и только тогда когда число, образованное последними его двумя цифрами нули или делится соответственно

на 4 или 25.

Теперь рассмотрим признаки делимости некоторые простые числа:

5. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда когда разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на 7.

6. Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда когда разность между суммой цифр, стоящих на четных местах и суммой цифр, стоящих на нечетных местах делится на 11

7.Натуральное Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13

8.Натуральное число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17

9.Натуральное число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

10. Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23.

11.Натуральное число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, 

сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Немного об общих свойствах.

Если m, k не имеют общих делителей, кроме 1, и число n делится на m и делится на k, то n делится на mk.. Если же наибольший общий делитель m и k выше 1, такой признак использовать нельзя. Например, если число одновременно делится на 4 и 6, то не факт, что оно делится на 24 (пример - 36). 

Только что названный признак можно обобщить так: если число n делится на m и делится на k, то n делится на наименьшее общее кратное m и k. Например, если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 12. 

Пусть p = kq, где k > 1 - натуральное число. Если n делится на p, то n делится на q, а если n не делится на q, то n не делится и на p. Яркий пример: нечётное число не делится на 4, поскольку оно не делится на 2, в итоге тут можно даже не использовать правило последней пары цифр, названное выше (в случае чётного числа для проверки делимости на 4 придётся применять то правило).

Теперь, рассмотрим признаки делимости на некоторые составные числа:

на 6, 8. 12,18,20,24.

1.Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда когда число, образованное последними его тремя цифрами нули или делится на 8.

2.Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

3. Натуральное число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

4. Натуральное число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5.

5. Натуральное число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8.

Ну и так далее.

А теперь рассмотрим конкретные примеры из ЕГЭ. Начнем с самых простеньких.

1. Вы­черк­ни­те в числе 141565041 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось

на 30. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

Решение: Натуральное число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно

делится на 3 и на 10 т.к 3 и 8 - взаимно простые числа. Поэтому последней цифрой должен быть обязательно 0, тогда последние две цифры уходят сразу.

Делимость на 10 выполнилось, осталось выполнить делимость на 3 и вычеркнуть одно число.

Сумма оставшихся цифр равна 1+4+1+5+6+5+0=22.Значит, можно вычеркнуть либо1(в любой позиции) либо 4. Тогда получаются три числа:415650, 145650 и 115650.В ответе укажем одно из них.

2. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.

Решение:

Трехзначное число, сумма цифр которых равно 20 можно можно записать следующими способами ( позиция цифр не имеет значение т.к. речь идет о сумме цифр):

Для удобства начнем с чисел, начинающихся с 9, таких у нас четыре, числа, начинающихся с цифры 8 две и одно число начинается с цифры 7.

992, 983,974,965 884,875,866, 776.

И так таких чисел всего 8. Из них 1,2,4,6 явно видно, что сумма квадратов цифр не делятся на 3( так кА по 2 цифры кратно 3, а одна не кратно 3.

3.Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Решение:

Число делится на 5 и 6 если оно делится на 30.

Ненулевые одинаковые остатки при делении на 5 и 6 могут быть только 1,2,3 или 4.

Потому искомые числа могут иметь вид: 30k +1, 30k +2, 30k +3, или30k +4.
 

Так как 400:3= 13,(3), то первое искомое трехзначное число вида 30k +1 равно 421.Дальше составим список:

421,451,481,511,541,571,601,631,661,691,721,751,781,811,841,871,901,931,961,991.

422,452,482,512,542,572,602,632,662,692,722,752,782, 812,842,872,902,932,962,992

423,453,483,513,543,573,603,633,663,693,723,753,783, 813,843,873,903,933,963,993

424,454,484,514,544,574,604,634,664,694,724,754,784, 814,844,874,904,934,964,994

Я понимаю, что слишком много чисел получилось, но они легко составляются.

Теперь осталось выполнить последнее условие: первая слева цифра яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. Это легко подобрать устно из этого списка, это числа: 453, 573 и 693. В ответе нужно указать одно из них.

4. Най­ди­те трёхзнач­ное число, крат­ное 25, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Чтобы число де­ли­лось на 25, оно долж­но за­кан­чи­вать­ся на 00, 25, 50 или 75.Выпишем все такие трехзначные числа:

100,125,150,175,200,225, 250,275,300,325,350.475,500,525,550,575,600,625,650,

675,700,725,750,775,800,825,850,875,900,925,950,975.

Учитывая, что все цифры различны, из этого списка остаются: 125,150,175, 250,275, 325,350,475, 525, 575, 625,650,675, 725,750, 825,850,875, 925,950,975.

Легко проверить, что среди этих чисел только у следующих чисел сумма квадратов делится на 3: 125,175, 275, 425,475,725,825 и 875.

Осталось отсеять из них числа, сумма квадратов которых кратно 9. В итоге остаются числа 125, 175, 275, 725, 825, 875. В ответе укажем одно из них.

5. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 88, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и чётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число де­лит­ся на 88, если оно де­лит­ся на 8 и на 11. При­знак де­ли­мо­сти на 8: число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры — нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. При­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо раз­ность этих сумм де­лит­ся на 11. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 8, и учи­ты­вая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны и раз­лич­ны по­лу­ча­ем, что по­след­ни­ми циф­ра­ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 11 по­лу­чим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.