Такой простой сложный процент.

Сложный процент
PPTX / 3.83 Мб

Легович С.И.

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего образования Московской области Университет «Дубна»

Колледж университета «Дубна

Такой простой «сложный процент»

Введение.

Давайте зададим любому школьнику вопрос «Для чего ты учишься?». И каждый ответит: «Для своей успешной взрослой жизни». Пусть далеко не все понимают, что включает в себя это понятие, но большинство мечтает о своем «деле», большом бизнесе и значимом положении в обществе. В принципе такая позиция может являться мощным стимулом к учебе, желанию получить соответствующие знания и добиться успеха. На этой волне можно предложить учащимся как математические, так и экономические задачи, связанные с расчетами. В материалах ЕГЭ по математике включены задания по экономике, в которых надо рассчитать сумму вклада, банковский процент, доход с того, или иного предприятия, поэтому будет очень кстати подготовить учащихся к таким задачам заранее как на уроках математики, так и экономики. Предложенная разработка цикла уроков охватывает этапы становления банковского дела и формирует у учащихся интерес к расчетным задачам. Материал может быть использован не только на уроках математики (8-10 классы), но и для внеклассных занятий по профессиональной ориентации, факультативов разного направления. Количество уроков будет зависеть от аудитории и поставленных целей, можно сократить историческую часть и добавить количество задач, или включить больше наглядного материала, сделав упор на красочное представление.

Сегодня никого не удивляют слова «экономика», «банк», они вошли в нашу жизнь как что-то неотъемлемо важное и необходимое для существования всего человечества. Но давайте отмотаем от мотка времени несколько тысячелетий назад и схематично рассмотрим становление этих понятий.

В древние времена люди всецело зависели от природы, которая пугала непредсказуемыми катаклизмами (грозы, извержения вулканов, разливы рек, пожары, болезни и т.д.). Только сплоченность, взаимовыручка и умение предвидеть неприятности являлись залогом выживания. Поэтому у всех народов на первом месте были физические и духовные ценности, знания, открывающие тайны природы, человеческого бытия и способности противостоять стихии.

Древние философы не зря назывались метафизиками, так как пытались постичь законы физики, математики и химии, а потом перенести эти законы на людское существование. А вот материальные ценности - подвергались критике и осуждению.

Например, знаменитый Диоген, вещавший свою мудрость из бочки, с презрением относился к богатым, тибетские ламы и все религиозные общины проповедовали аскетизм, и таких примеров множество. Но давайте посмотрим на эти советы с другой стороны: Диоген жил в бочке, так как климат древней Греции позволял ему не строить теплое жилье, он был одет и питался все-таки не одними фигами, которые, кстати, зрели не круглый год; ламы возводили храмы, которые до сих пор восхищают наше воображение своим богатством и сложностью архитектуры; а о роскошном убранстве христианских соборов, на отделку которых пошли тонны золота, и говорить не надо. Так откуда взялись эти богатства, материальные ценности? Их создали люди своим трудом.

Первобытный человек не строил домов, он просто занимал подходящую пещеру, созданную природой, не ходил в магазин за продуктами питания, а добывал их охотой, рыбалкой или собирал готовые плоды. Даже рисовал он угольком из костра на плоских скатах скал. Но ничего не стоит на месте, и как говорил Гераклит, «в одну реку нельзя войти дважды». Пытливый человеческий ум познавал законы природы, развивались науки о ней, сам человек, совершенствуясь, начал заниматься музыкой, поэзией, всеми видами искусства. Люди уже не хотели жить в пещерах, прикрывать свое тело шкурами зверей и питаться тем, что повезет найти или поймать. Кто-то лучше умел ловить рыбу, кто-то - шить одежду, а кто-то рисовать картины или играть веселые мелодии. Так развился простой товарообмен, потом товарно-денежные отношения. Появилось ключевое слово «деньги» - универсальный эквивалент любого товара.

Все помнят притчу о Вавилонской башне, при строительстве которой люди переругались и стали говорить на разных языках, но самое главное, что у них были «разные» деньги, что в общем-то их и разъединило. Только драгоценные металлы и ювелирные украшения выдержали проверку временем, оставаясь все тем же эквивалентом товарно-денежных отношений.

Человечество неуклонно шло по пути прогресса: совершенствовались орудия труда, строились города, развивались науки и все виды искусства. Но всем известны слова Крылова «соловья баснями не кормят», за все надо платить, любой труд должен быть оплачен, будь то труд ученого, поэта, строителя или учителя, которые занимаясь выбранным ремеслом, хотят где-то жить (не в пещере же), питаться, одеваться, растить детей, удовлетворять свои эстетические потребности и т.д. Формировались страны и государства со своим укладом, религией и своими деньгами.

А вот где взять эти деньги, а порой и немалые, если надо открыть «свое дело», построить дворец, нанять армию? На арену истории выходят ростовщики и менялы – люди, которые, как правило, нечестным путем (грабежом, обманом, воровством) владеют деньгами и могут дать их в долг под проценты. Это значит, что, одолжив какую-то сумму денег, надо вернуть гораздо больше, а если оговоренное время расчета просрочено, - то еще больше. Клиентами ростовщиков были и простые ремесленники, и даже короли, их услугами были вынуждены пользоваться, но из-за кабальных условий – ненавидели.

Однако потребность в деньгах только росла, потому что человечество не стояло на месте, развивались международные отношения государств (товарообмен, политика, достижения науки, искусства), новые отрасли производства, которые строились на взаиморасчете. Так родилась особая структура для денежных операций – банки, осуществляющие хранение, обмен, выдачу и перевод денег. Началась новая эра - эра мировой экономики.

Как известно денежный фонд банка складывается из вложенных в него денег, а деньги приносят частные лица, организации, общества, комитеты и т.д. Мы же поговорим о частных вложениях, которые по подсчетам специалистов составляют более трети денежных фондов банков.

Возникает вопрос, зачем людям хранить свои деньги в банке, если можно хранить их дома, зарыть в надежном месте, отдать другу? В любом из этих способов сумма денег останется неизменной в течение многих лет, если вообще не пропадет в результате кражи, пожара или обмана. Если же открыть свой счет в банке и положить на него эту сумму денег, то она не просто будет храниться, а еще и увеличиваться благодаря начисляемым процентам. Банковская система предлагает клиентам несколько видов процентов.

Понятие процента и способы его вычисления.

Для начала научимся различать понятия «увеличилось на сколько-то процентов» и «увеличилось во столько-то раз» на простом примере: «заработная плата инженерам с января повышена на 50%» и «заработная плата инженерам с января повышена в 1,5 раза» говорит об одном и том же. Точно так же, «увеличить в 2 раза» – значит «увеличить на 100%», «увеличить в 3 раза» - значит «на 200%», «уменьшить в 2 раза» - значит «уменьшить на 50%». Для наглядности выразим это математически:

Если значение а выросло на p%, то новое значение будет:

Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет:

Если А больше В на p%, то формула для расчёта будет:

Выразим из последней формулы p:

Эта формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.

Если В меньше А на q%, то:

, следовательно,

Если необходимо подсчитать, на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим:

Внимание: если А больше, чем В на p%, то это не означает, что В меньше А на p%.

Убедимся в этом, решив следующую задачу:

Задача: В классе брюнетов на 25% больше, чем блондинов. На сколько процентов блондинов в этом классе меньше, чем брюнетов?

Читая данную задачу, можно сразу дать ответ: на 25%. Но это не так.

Решение:

Пусть а - количество брюнетов, b - количество блондинов; (a, d); 25%=

По условию: ,

Тогда b= , , ;

=20%

Ответ: блондинов на 20% в классе меньше.

Задача для самостоятельного решения: в коробке шоколадного печенья на 20% меньше, чем ванильного. На сколько процентов ванильного печенья больше, чем шоколадного?

3. Простой процентный рост

Давайте усложним задачу и рассмотрим пример простого процентного роста.

Задача: S - ежемесячная плата, пеня составляет p% платы за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?

Решение:

Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или .

Значит, всего придется заплатить

Получим

Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Вот мы и подошли к банковским расчетам.

Рассмотрим следующую задачу: банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 1,5% от внесённой суммы. Клиент внёс 800 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=1,5, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=800:

Ответ: через полгода будет 560 рублей.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный период времени на определённое число процентов. В этом случае формула будет выглядеть так:

Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.

Сложный процентный рост.

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег: за первый период нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце периода вкладчик может снять со счёта эти деньги - «проценты». Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти проценты капитализируются.

При такой системе, начисляются «проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Решим задачу в общем виде, чтобы понять расчёты сложного капитализирующегося процента.

Задача: Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.

P% от S составляет рублей и через год на счёте окажется сумма:

Через два года на счёте будет сумма:

Через три года , и так далее.

В итоге мы получаем общую формулу расчета суммы денег на счете через n лет

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.

Воспользуемся этой формулой для решения конкретной задачи.

Задача: Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?

Решение:

Подставим формулу

Значение процентной ставки p=10, количество лет п=4 и величину первоначального вклада S=5000 рублей.

Получим:

Ответ: через 4 года на счёте будет 7320,5 рублей.

Следует отметить, что формула расчета сложного процентного роста применима не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, появляется знак минус:

Давайте решим задачу, не связанную с денежными вкладами, чтобы убедиться в применении выведенной формулы к другим жизненным ситуациям:

Задача: Численность населения в городе М в течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе М. Первоначально?

Решение:

Пусть в городе М проживали х человек первоначально. Тогда через два года количество жителей будет человек.

Составим уравнение:

Ответ: 280000 жителей было в городе М. первоначально.

Итак, мы убедились, что наша формула работает и в других областях человеческой деятельности. Пора вернуться к банковским расчетам и рассмотреть подробнее так называемый сложный процент. Так что же это такое?

Выгода сложного процента – исторические примеры

С ложный процент - когда проценты начисляются не только на изначально вложенную сумму, но и на начисленные ранее проценты. Не зря говорят, что «богатые люди живут на проценты, а сверхбогатые - на проценты с процентов». Основатель династии Ротшильдов, самый богатый человек в мире для своего времени, считал сложный процент восьмым чудом света. Сегодня семейство Ротшильдов владеет состоянием в 3 триллиона долларов. Наверное, он понимал, что говорил про сложный процент.

Вернемся к истории:

1. В 1626 году Питер Янсзон купил остров Манхэттен у коренного народа за 1000$ по текущему курсу. В то время на эти деньги можно было бы купить 2400 кружки пива. Народ эти деньги получил и благополучно растратил. Если бы народ положил 1000 долларов под 5% годовых, то к 2000 году эта сумма с учетом сложных процентов составила бы 84 миллиарда долларов, что в 2000 году равнялось двум бюджетам Российской Федерации! А с учетом простого процента (проценты в конце срока) эта сумма составила бы всего 19 700 долларов. Впечатляет разница?

2. Бенджамин Франклин (портрет на 100 долларовой купюре) после свой смерти завещал по 1 000 фунтов (примерно 2 тыс. долларов) на благотворительность двум городам – Бостону (где он родился) и Филадельфии (где он вырос). Единственным условие было не тратить эти деньги в течение 200 лет. Трасты, которым достались эти деньги в управление, вкладывали их в различные предприятия под различные проценты.

Итог: к 1990 году Бостон имел 5 млн. долларов на счету «франклинских» денег, Филадельфия – около 2 млн.

3. Известная притча гласит, что какой-то богач пожертвовал Иисусу золотую монету. Если бы он инвестировал ее под проценты с условием, что проценты также начислялись ему золотом под 6% годовых, то, как вы думаете, сколько золота у него было бы? Тонна? Две? Одна золотая монета за 2 тысячи лет превратилась бы в огромный шар по весу приблизительно равный весу Земли! Результат, конечно, впечатляет! Но чтобы его получить, никто не будет ждать так долго. Давайте посмотрим, чего можно достичь за более короткий срок.

Правило 72

Существует правило удвоения капитала при заданной процентной ставке – «правило 72».

Удвоение происходит по формуле: 72 делим на процентную ставку.

Пример: 100$ при 12% ставке удвоятся через 72/12 =6 лет. Следующее удвоение произойдет еще через 6 лет.

В данном примере речь идет об единственном вложение средств в начале срока. Если вы будете ежемесячно дополнительно докладывать средства, суммы будут удваиваться еще быстрее. Рассчитать какая прибыль получится при вложениях на разных промежутках времени и при разном уровне доходности можно, используя онлайн калькулятор с капитализацией и пополнением.

Давайте решим задачу на применение «правила 72»: ваш вклад составляет 15000 рублей при 6% ставке. Через сколько лет произойдет удвоение капитала?

Еще пример: если вы положите $100 на вклад с капитализацией (иначе – со сложным процентом), например, под 9% и больше не положите на этот вклад ни копейки (в отличии от примеров выше, где нужно было откладывать ежемесячно), то ваш капитал (на вкладе) удвоится через 72 / 9 = 8 лет. Это так называемое «правило 72», которое дает достаточно точный результат.

Кстати, утроится он через 11,5 лет, а увеличится в 4 раза, уже через 14,5 лет. Видите, мощь сложного процента растет экспоненциально. Другими словами, он генерирует все больше и больше денег за единицу времени.

Сложный процент приобретает эффект снежного кома со временем. И чем раньше вы начнете откладывать, тем быстрее он наберет свою силу. Откладывая ежемесячно даже небольшую сумму, можно добиться того, что ваши сбережения начнут вас кормить, но для этого требуется время и аккуратность ведения банковского счета.

Практическое применение сложного процента

Рассмотрим возможности применения сложного процента на более практичных примерах.

Пример 1. Предположим, что вам сейчас 30 лет. И вы решили каждый месяц откладывать по 1000 рублей под 8% годовых. К вашему 45-летию вы отложите 180 000 рублей своих денег, а с учетом сложных процентов ваша накопленная сумма составит 337 606 рублей, что на 157 606 рублей больше, чем вы отложили! То есть почти в 2 раза больше. А если вы воспользуетесь этими деньгами на 5 лет позже, то за эти 5 лет заработаете больше процентов, чем за предыдущие 15 лет. А именно: вы отложите 240 000 рублей, а на счете будет 568 999 рублей. Тысяча рублей сегодня не играет значительной роли в вашей жизни, а вот через 20 лет она превратится в очень серьезную сумму. И чем раньше вы начнете откладывать эту тысячу, тем раньше вы получите желаемый результат.

Пример 2. Вы вложили в банк $1 000 под 10% годовых. Через год ваш вклад составить 1 100 долларов, то есть вам были начислены проценты в размере $100. На второй год ваша сумма в банке составит не $1200, а $1210 ($1100 + 10%). Через 3 – 1 331$, и так далее.

Конечно – это не очень впечатляющие цифры, гораздо больший эффект наблюдается по истечении длительного периода времени, исчисляемого десятилетиями. Но, тем не менее, при низких первоначальных вложениях капитал можно нарастить весьма значительный.

Пример 3: Вы хотите накопить капитал, позволяющий получать доход в виде начислений процентов, равных вашему сегодняшнего доходу. Возьмем текущий доход в $1000 ежемесячно. Значит ежемесячно будет инвестироваться 10% от ваших заработков (т.е. 100$) под 20% годовых.

Получаются следующие результаты:

Получается, постепенно вкладывая в течении 20 лет по 100$ ежемесячно, в итоге вы получите 142 000 долларов.

При таких условиях на пассивный доход, равный вашей сегодняшней зарплате $1000, вы выйдете через 15 лет.

Рассмотренный пример не является верхней границей возможностей.

Если заходите получать ежемесячно в 2 раза больше — $2000, подождите еще 5 лет.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1: Ваш вклад составляет 15000 рублей при 6% ставке. Через сколько лет произойдет удвоение капитала?

Задача 2: Вы вложили в банк $1 000 под 10% годовых. Какая сумма будет на вкладе через 3 года?

Задача 3: Вы открыли вклад 5 лет назад под 7,5% годовых. Прирост капитала за этот период времени составил – 21 781,5 рублей. На какую сумму изначально был открыт вклад?

Теперь, когда мы самостоятельно решили эти простые, но весьма важные задачи самое время сделать выводы из проделанной работы. Я предлагаю короткие тезисы, а вы дополняете их своими примерами и пояснениями.

Выводы работы:

Ни одна современная наука не обходится без математики.

Не ленитесь составить не только распорядок дня, но и ближайшего будущего.

Аккуратность ведения банковского счета может обеспечить все ваши потребности.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:

1. Википедия. Простые проценты.

2. Ершов Ю.С. Финансовая математика, ООО «Бизнес ПРАКТИКА», Новосибирск, 2002- 212с.

3. Исаева О.Г. Я познаю мир. Экономика. Энциклопедия. Москва ООО издательства Астрель, 2003 – 399с.

4. Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. «Финансово-математические модели» изд. «РГУНГ им .И.М. Губкина» 1997.

5. Лукашин Ю.П.. Финансовая математика, 2008.

6. Ширяев А.Н. Основы стохастической и финансовой математики. Т.1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998 - 489 с.

7. Математика в школе №8,5,7. Научно – теоретический и методический журнал М.: Школа – Пресс, 2002 – 2003.