Елена Тищенко

Методическая разработка практического занятия «Тригонометрические уравнения»

Материал опубликован 5 May

Севастопольское государственное бюджетное образовательное учреждение

профессионального образования

«Севастопольский медицинский колледж имени Жени Дерюгиной»

СОГЛАСОВАНО

протокол МЦК

от ______________2024 г. №

Председатель ЦМК

______________Смирнова З. М.

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по учебной работе

________________Полстянко Н.Н.

«_____» _______________ 2024 г.

Методическая разработка

практического занятия

Тема” Тригонометрические уравнения”

ОУД 07. Математика

для специальности 34.02.01 «Сестринское дело»

31.02.01 «Лечебное дело»

курс I (база ООО)

Автор Тищенко Е.Ю.

Севастополь 2024 г.

Пояснительная записка

к методической разработке дисциплины «Математика» раздел: Основы тригонометрии, тема «Преобразование простейших тригонометрических выражений». Методическое Пособие разработано для преподавателей и студентов с целью формирования знаний, умений по теме: «Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства». В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания: определение и свойства обратных тригонометрических функций: арксинус, арккосинус, арктангенс.

В ходе занятия используются элементы групповой работы, личностно-

ориентированной технологий, здоровья сберегающей технологии.

Методическая разработка составлена в соответствии с Федеральными

государственными требованиями к минимуму содержания и уровню

подготовки студента в рамках специальности 34.02.01 Сестринское дело.

Освоение содержания учебной дисциплины «Математика», обеспечивает

достижение студентами следующих результатов:

личностных:

• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

• готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

• готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;

метапредметных:

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

предметных:

• сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

• владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

Характернстика основных видов деятельности студентов (на уровне

учебных действий):

- Решать по формулам и по тригонометрическому кругу простейшие тригонометрические уравнения.

- Применять общие методы решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений.

- Отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств.

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ ПЛАН ЗАНЯТИЯ

Тема занятия: «Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства»

Вид занятия: практическое занятие

Место проведения: кабинет для практических занятий

Продолжительность проведения занятия: 90 минут

Цели занятия:

1. Образовательная: После изучения темы студент должен знать определение и свойства обратных тригонометрических функций, понятие тригонометрического круга, формулы для решения простейших тригонометрических уравнений и уметь решать по формулам и по тригонометрическому кругу простейшие тригонометрические уравнения, применять общие методы решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений, отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств.

2. Воспитательная: Формирование сознательного отношения к процессу обучения, стремления к самостоятельной работе и всестороннему овладению специальностью.

3. Развивающая: Развитие интереса к учебному предмету, содействие активизации мышления обучающихся. Повышение интеллектуального уровня в процессе изучения математических понятий в ходе работы с различными источниками информации;

Совершенствовать способности организовывать сотрудничество

единомышленников, том числе с использованием современных

информационно-коммуникационных технологий.

Требования ГОС к уровню подготовки студента студент должен:

Студент должен уметь:

- решать по формулам и по тригонометрическому кругу простейшие тригонометрические уравнения.

- применять общие методы решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений.

- отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств;

Студент должен использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Методы обучения: Информационно-развивающий, репродуктивный

Материально-техническое обеспечение занятия: Ноутбук, проектор,

экран.

Методическое обеспечение занятий: учебники, электронная презентация, вопросы входного контроля, задачи и тесты.

Хронологическая карта занятия

№	Основные этапы занятия.	Время	Содержание этапа. Методическое обоснование
1.	Организационный момент. Цель: этап дисциплинирует и настраивает студентов на учебную деятельность. Приложение №1.	2 мин	Преподаватель отмечает отсутствующих на занятии, проверяет готовность аудиторий и студентов к занятию.
2.	Мотивация учебной деятельности. Целевая установка. Цель: активизировать познавательную деятельность студентов, показать значимость темы для будущей профессии специалиста.	3 мин.	Преподаватель подчеркивает значимость, актуальность темы. Определяет цели и план занятия.
3.	Актуализация опорных знаний: письменный опрос (тестирование). Цель: выявить уровень теоретических знаний, оценить степень подготовленности к занятию.	5 мин.	Индивидуальный тест- контроль.
4.	Методические указания к проведению самостоятельной работы. Цель: подготовка студентов к самостоятельной работе.	2 мин.	Преподаватель разъясняет цели, задачи и этапы выполнения Самостоятельной работы (письменная инструкция).
5.	-Демонстрация презентации. Самостоятельная работа студентов. План: Самостоятельная работа с раздаточным материалом, Вопросы, тесты Приложение №2,5 - Решение упражнений учебника - Физ. Минутка. Цель: снятие напряжения с глаз. - Подготовка к индивидуальному ответу по контрольным вопросам, выполнение заданий в тестовой форме. Приложение №3,4.	48 мин.	Визуальный метод: демонстрация презентаций. Индивидуально - групповая методика обучения. Преподаватель организует и контролирует выполнение студентами заданий направленных на формирование умений см. пояснительную записку. Преподаватель организует выполнение комплекса физических упражнений. Осмысление и систематизация полученных знаний. Цель: систематизировать и закрепить полученные знания и умения. Итоговый контроль по контрольным вопросам.
6.	Осмысление и систематизация полученных знаний. Цель: систематизировать и закрепить полученные знания и умения. Итоговый контроль по контрольным вопросам.	25 мин.	Индивидуальный устный и письменный контроль.
7.	Подведение итогов.	3 мин.	Обобщающее слово преподавателя. Выставление оценок с комментарием.
8.	Домашнее задание: Учебная литература. 1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И. под научным руководством академика Тихонова А. Н. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11кл. – М. Просвещение, 2011. №573,№591	2 мин.	Вербальный контакт.
	Всего	90 мин.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение — алгебраическое уравнение относительно тригонометрической функции неизвестного аргумента. Для решения тригонометрического уравнения, пользуясь различными соотношениями между тригонометрическими функциями, преобразуют уравнение к такому виду, чтобы можно было определить значения одной из тригонометрических функций искомого аргумента. После этого корни тригонометрического уравнения получаются с помощью обратных тригонометрических функций.

Под решением тригонометрического уравнения понимается такой набор чисел х, который при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Тригонометрические уравнения, в отличие от алгебраических, или имеют бесконечное множество решений (число n служит для обозначения этой «бесконечности»), или совсем не имеют решений.

Решение тригонометрических уравнений любой сложности сводится к решению простейших тригонометрических уравнений, решение которых записываются с помощью формул.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида: sin x = a, cos x= a,

tg x = a, ctg x = a. Каждое из таких уравнений решается по формулам:

Вид уравнения	Общий вид решения	Частные случаи
Вид уравнения	Общий вид решения	а = -1	а = 0	а = 1
sinx = a, \|a \| ≤ 1	x = (-1)k arcsina + πk,
\|a\| > 1	корней нет
cos x= a \|a \| ≤ 1	x= + arccos a+2πk,
\|a\| > 1	корней нет
tg x = a а	x = arctg a + πk,
ctgx=a a	х = arcctga+kπ,

Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

sinx = a, |a | ≤ 1 x = (-1)k arcsina + πk,

или

С помощью приставки «arc» в формулах записываются обратные тригонометрические функции:

arcsinα – угол, содержащийся в промежутке от - π/2 до π/2, синус которого равен α;

arccosα – угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен α;

arctgα – угол, содержащийся в промежутке от - π/2 до π/2, тангенс которого равен α;

arcctgα – угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен α.

arcsin(-α) = - arcsinα;

arccos(-α) = π – arccosα;

arctg(-α) = - arctgα;

arcсtg(-α) = π – arсctgα.

Для решения простейших тригонометрических уравнений пользуются тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Уравнение вида решается по формуле: х =

Уравнение вида решается по формуле: х=

Уравнение вида решается по формуле: х =

Уравнение вида решается по формуле: х=

Для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех определяется, в частности, знанием тригонометрических формул и навыками решения задач.

Лист – помощник

Основное тригонометрическое тождество:

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения.

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Формулы двойного угла.

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

или

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Формулы половинного угла.

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Формулы понижения степени.

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму.

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы приведения:

Методы решения тригонометрических уравнений.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

I. Метод – алгебраический.

Алгоритм применения метода:

1) Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

2) Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

3) Сделать обратную замену.

4) Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

5) Записать ответ.

Решить уравнения:

1)Решение:

	Раскроем скобки



	Сделаем замену: , \|t\| ≤ 1, получим уравнение:
3t2 + 7 t + 4 =0
t1 = - 1 t2 = - 4/3 – не явл. корнем
	Вернёмся к замене:
х = Z

2) tg2 x + 2tg x – 3 = 0

Решение:

tg2 x + 2tg x – 3 = 0	Сделаем замену: , , получим уравнение:
t2 + 2 t - 3 = 0
t1 = 1 t2 = -3	Вернёмся к замене:


Ответ: ;

Задания для самостоятельного решения.

а) Решите уравнение;

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку.

1 а) ; б) [0;2π]

2. а) б) [-π;π]

3. а) ; б) [0;π]

4. а) ; б) [-π ;0]

5. а) ; б) [0;π]

6. а) б) [π;]

7. а) ; б) [0;2π]

8. а) ; б) [-π;]

9. а) б) [0;]

10. а) ; б) [π;3π]

11. а) ; б) [- ;-2π]

12. а) ; б) [; 4π]

13. а) б) [-2π; -π]

Ответы

3. ;

4.;

б)

6. 7.

8. 9. .

10. 11..

12.

13.

II. Метод - разложение на множители.

Алгоритм:

1) С помощью формул, преобразовать уравнение.

2) Вынести за скобки общий множитель.

3) Решить простейшие тригонометрические уравнения.

4) Записать ответ.

При решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Решить уравнения:

1)4sin хcos х – 2cos х + 2sin х - 1 = 0

Решение:

4sin хcos х – 2cos х + 2sin х - 1 = 0
	Разложим на множители:

или
, , х = Z, x =	Решим первое уравнение:
	Решим второе уравнение:
Ответ: Z, ,

2) 3tg2 х – 2tg х = 0

Решение:

3tg2х – 2tg х = 0
tg х (3tg х – 2) = 0
tg х = 0 или 3 tg х – 2 = 0


Ответ: ; .

Задания для самостоятельного решения.

а) Решите уравнение;

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку.

14. а) б) [- ;- π]

15. а) б) [ ; 3π]

16. а) б) [2π;]

17. а) ; б) [2π;]

18. а) ; б) [-2π;]

19. а) б) [0;]

20. б) [2π;3π]

21. б) [3π;4π]

Ответы

14.

15.

16.; 17.

18.

19. .

20. .

21.

III. Метод - приведение к однородному уравнению.

Уравнения вида: a sin x + b cos x = 0; a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называются однородными относительно sin x и cos x.

Алгоритм применения метода:

1) Разделить обе части уравнения на: cos x ≠ 0; или cos2x ≠ 0.

2) Получить уравнение относительно tgx: tgx +а = 0 или atg2x+btgx+c=0

3) Решить уравнение известными способами.

Решить уравнения:

1) sin2 x + 2 sin(π– x) cos x – 3cos2 (2π – x) = 0

Решение:

sin2 x + 2 sin(π– x) cos x – 3cos2 (2π – x) = 0	Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения;
sin2 x + 2 sinx cos x – 3cos2 x = 0	Разделим уравнение на cos2 x, cos2x ≠ 0
tg2 x + 2tg x – 3 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение:
t2 + 2 t - 3 = 0
t1 = 1 t2 = -3	Вернёмся к замене:


Ответ: ;

2) 3sin 2 3x - 3 sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2

Решение:

3sin 2 3x - sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2	Преобразуем правую часть уравнения:
3sin 2 3x - sin3xcos3x + 5cos2 3x = = 2sin 2 3x + 2 cos2 3x	Привести подобные и получится уравнение:
sin 2 3x - sin3xcos3x + 3cos2 3x = 0	Разделим уравнение на cos2 x, cos2x ≠ 0 и получим уравнение:
tg2 3x – 2tg3x + 3 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение
tg 3x =
3х =
х =

Задания для самостоятельного решения.

а) Решите уравнение;

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку.

22.a) б) [ ;6π]

23. a) б) [- ;0]

24. а) б) [-3π;-2π].

25. а) б) [-3π;-2π].

26. а) ; б) [3π;4π].

27. а) б) [0;π].

28. а) б) [-3π;-2π].

29. а) б) [2π;3 π]

30. а) б) [ ; -2π]

31.а) б) [π;

Ответы

22.

23. .

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31..

IV. Метод - переход к половинному углу.

Решение уравнений основано на применении формул удвоенного аргумента.

Решить уравнение: .

Решение:

	Преобразуем левую и правую части уравнения, используя формулы синуса и косинуса двойного угла и приём с приписыванием единичного множителя:
	Привести подобные и получится уравнение:
	Разделим уравнение на cos2 x, cos2x ≠ 0 и получим уравнение:
tg2 x – 6 tgx + 9 = 0	Введём новую переменную и решим квадратное уравнение:
tg x =
х =
Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

а) Решите уравнение;

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку.

32. а) sin2x +2cosx =0; б) [-π;

33. а) 2sin4 x +3cos2x + 1 = 0; б) [π;

34. а) cos2 x – 0,5sin2x +cosx =sinx; б) [;2π]

35. а) 0,5sin2x+sin2 x-sinx =cosx; б) [- ;]

36. а) cos2x -3cosx +2 =0; б) [- ;-]

Ответы

32. 33.

34.

35. .

36..

V. Метод - введение вспомогательного угла.

Одним из способов решения уравнений вида является введение вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на . Полученное уравнение решить известными способами.

Решите уравнение: 12cos x – 5sin x + 13 = 0.

Решение:

12cos x – 5sin x + 13 = 0.	.
cos x – sin x + 1 = 0.	Пусть , тогда записываем уравнение:
	Применяем формулу косинус суммы:

=
= x =	Где =
Ответ:

Задания для самостоятельного решения.

а) Решите уравнение;

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку.

37. a) б) [- ;]

38. a) б) [;π]

39.а) б) [π;

40. а) б) [π;

Ответы

37.

38.

39.

40.

VI. Метод - преобразование произведения в сумму.

С помощью формул (приложение 1) уравнение преобразовывается из произведения в сумму. Решить полученное уравнение известными способами.

Решите уравнение:

Решение:

	С помощью формул уравнение преобразовывается из произведения в сумму:



2
; 5х =

Ответ: ;

Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнение:

41. (Ответ: )

VII. Метод - универсальная подстановка.

Используется универсальная тригонометрическая подстановка:

, которая позволяет все тригонометрические функции аргумента х выразить рационально относительно . Получим следующие формулы:

С помощью универсальной подстановки можно любое уравнение вида свести к алгебраическому уравнению.

Важно при этом помнить, что, делая замену, можно потерять те корни исходного уравнения, для которых не определён, то есть значения их нужно проверять отдельно.

Необходимо подчеркнуть, данные методы могут быть ещё значительно расширены. При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов, их комбинацию.

Решите уравнение:

Решение:

sin x+ cos x=1	С помощью универсальной подстановки можно уравнение сведём к алгебраическому уравнению.

+ 1 - =



=
Ответ: ;

Задания для самостоятельного решения.

Решите уравнение:

42. 5sin x – 5 cos x = 7

(Ответ: 2 arcсtg 3 + 2πn, n Є Z; 2arctg 2 + 2πk, k Є Z)

Образец оформления решения заданий по материалам ЕГЭ

а). Решите уравнение cos2x + 3sin2x=1,25.

б). Найдите корни, принадлежащие отрезку [π;].

а). Решение:

cos2x + 3sin2x=1,25.

Используя формулу cos2x = cos2x – sin2x, получим:

cos2x – sin2x+3sin2x=1,25; cos2x +2sin2x=1,25; (cos2x +sin2x) + sin2x =1,25;

Используя основное тригонометрическое тождество, получим:

1 + sin2x = 1,25, sin2x = 0,25, sinx = .

Если sinx = 0,5 то x=(-1)n+πn, nZ. Если sinx =, то x=(-1)к+1+πк, кZ.

б). Проведём отбор корней на интервале [π;] с помощью числовой окружностью.

х1= ,

х2=

х3 =

Ответ: а) (-1)n+πn, nZ;

(-1)к+1+πк, кZ;

б) ,

2. a) Решите уравнение sin2x = sin (+x).

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [-; -2,5π]

Решение:

Используя формулу sin2x =2sinxcosx, запишем исходное уравнение в виде:

2sinxcosx = cosx, sinxcosx - cosx = 0 , cosx (2sinx – 1) = 0. Значит, cosx = 0, откуда х = или 2sinx -1 = 0, sinx = 0,5, откуда

х = =(-1)к +πк, кZ.

б). Отберём корни из отрезка [-; -2,5π].

Для уравнения cosx = 0 - это -;. -2,5π

Для уравнения sinx = :

Найдём k из формулы .

, , ,

, .

На данном промежутке целых значений k нет.

Найдём k из формулы .

, , , , k = -2, x = .

Ответ: а). б). -;. -;

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения,

Решение.

Запишем исходное уравнение в виде:

;

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [- ;]

1. Найдём к из формулы .

На данном промежутке два целых значений к: к = -3 и к = -2. Следовательно, х1 = -3π,

х2 = -2π.

2. Найдём n из формулы

а)

На данном промежутке целых значений нет.

б)

На данном промежутке n = -1. Следовательно, х = ,

Ответ: а) ; ; б) -3π, -2π; .

Задания для самостоятельного решения.

1. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

2. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

3. а) Решить уравнение: 6cos2x – 7cosx – 5 = 0.

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

4. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

5. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

6. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

7. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

8. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Ответ:

9. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

10. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

11. а) Решить уравнение.

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

12. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

13. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

14. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

Ответ:

15. а) Решить уравнение .

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Ответ:

Тест

Вариант 1

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Вариант 2

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

Эталоны ответов тестов

Вариант 1		Вариант 2
№ п/п	верные ответы		№ п/п	верные ответы
1.			1.
2.			2.
3.			3.
4.			4.
5.			5.

Приложение №6

Эталоны решения задач

ЛИТЕРАТУРА

С.А. Шестаков, П.И. Захаров. ЕГЭ. Математика. Уравнения и системы. М. : МНЦМО, 2011 – 120 с.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2020 года по математике. Профильный уровень.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2021 года по математике. Профильный уровень.

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2022 года по математике. Профильный уровень.

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под. Редакцией И.В. Ященко. – М. «Национальное образование», 2022 – 224 с. – (ЕГЭ. ФИПИ - школе).

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под. Редакцией И.В. Ященко. – М. «Национальное образование», 2021 – 224 с. – (ЕГЭ. ФИПИ - школе).

https://math100.ru/ege-profil2022

http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php