Презентация по математике на тему «Векторно-координатный метод решения задач» (10–11 классы)

Учитель математики МАОУ «Обдорская гимназия» г. Салехард ЯНАО Е.И. Гусак Векторно-координатный метод решения стереометрических задач

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач Часть 1 Практикум. Расстояние в пространстве.

Расстояние от точки до прямой Задача 1. В правильной шестиугольной призме А…все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой F. Решение. Введем систему координат. Определим координаты точек B, F и Подставим координаты и точек и В в формулу d = (0;0;1), B(1;0;0), F , d = =        

Расстояние от точки до прямой Вычисление определителей 1) = 2) = 3) =  

Расстояние от точки до плоскости Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е середина ребра SD. Найти расстояние от точки В до плоскости АСЕ. Решение. Введем систему координат. Найдем координаты точек A, C, E и B. Из △DOS: OS = = EL = OS = A(0;0;0), C(1;1;0) Е, B(1;0;0)                                    

Расстояние от точки до плоскости Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки A(0;0;0), C(1;1;0) и Е. Возьмем произвольную точку плоскости Т(х; у; z) и определим векторы , . (х; у; z) , (1;1;0), . Составим уравнение плоскости = x +z = = x y + z = 0 xy + 2z = 0 Вектор нормали .  

Расстояние от точки до плоскости Найдем искомое расстояние по формуле Ответ: 0,5.  

Расстояние между прямыми Задача 3. В правильной треугольной призме АВС все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми А и С. Решение. Введем систему координат. Найдем направляющие векторы прямых А и С. Определим координаты точек А, , С и . А(0; 0; 0), (1; 0; 1), С и (0; 0; 1). Тогда (1; 0; 1) и . Т.к. прямые скрещивающиеся, то векторы не параллельны. Построим плоскость, проходящую через прямую А параллельно прямой С. Строить плоскость будем методом матрицы, т.е. с помощью определителя. Возьмем произвольную точку Т(х; у; z) и опорную точку А(0; 0; 0). Определим вектор АT: (х ; у; z).                          

Расстояние между прямыми Составим уравнение плоскости. = x + z = = х + у + z = 0 Итак, х +3у z = 0. Вектор нормали . Задача сводится к нахождению расстояния от точки, например, до плоскости. Ответ: .  

Векторно-координатный метод решения стереометрических задач Часть 2 Углы в пространстве

Углы в пространстве Задача 1. В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра AD. Найдите угол между прямыми АВ и СЕ. Решение. Введем систему координат. Найдем координаты точек А, В, С и Е. Из △CNB: CN = = ON = ⋅ = , OC = ⋅ = KL = = ⋅ = Из △DOC: OD = = EL = ⋅ = A(0;0;0) B(1;0;0) C E                                            

Угол между прямыми Определим векторы и . A(0;0;0) B(1;0;0) C E (1;0;0) Найдем косинус угла между векторами = Ответ:  

Угол между прямой и плоскостью В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SB. Найдите угол между прямой АЕ и плоскостью SBD. Решение. Введем систему координат. Найдем координаты точек А, Е, В,D,S. Из △DBC: DB = = ОВ = DB = Из △SOB: SO = = EL = SO = A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) E S Найдем координаты :                                        

Угол между прямой и плоскостью Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки: B(1;0;0), D(0;1;0), S. Возьмем произвольную точку Т(х; у; z) и определим векторы , . (x – 1; y; z), (, . Получим, = (x-1) + z = = x y + 0z = 0 x y + 0z = 0 или Вектор нормали ( 1; 1; 0).  

Угол между прямой и плоскостью Найдем синус угла (