Учитель математики
МАОУ «Обдорская гимназия»
г. Салехард ЯНАО
Е.И. Гусак
Векторно-координатный метод решения стереометрических задач
Векторно-координатный метод решения стереометрических задач
Часть 1
Практикум.
Расстояние в пространстве.
Расстояние от точки до прямой
Задача 1. В правильной шестиугольной призме А…все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой F.
Решение. Введем систему координат.
Определим координаты точек B, F и
Подставим координаты и точек
и В в формулу
d =
(0;0;1), B(1;0;0), F ,
d = =
Расстояние от точки до прямой
Вычисление определителей
1) =
2) =
3) =
Расстояние от точки до плоскости
Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е середина ребра SD. Найти расстояние от точки В до плоскости АСЕ.
Решение. Введем систему координат.
Найдем координаты точек A, C, E и B.
Из △DOS: OS = =
EL = OS =
A(0;0;0), C(1;1;0)
Е, B(1;0;0)
Расстояние от точки до плоскости
Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки
A(0;0;0), C(1;1;0) и Е. Возьмем произвольную точку плоскости Т(х; у; z) и определим векторы , .
(х; у; z) , (1;1;0), .
Составим уравнение плоскости
= x +z =
= x y + z = 0
xy + 2z = 0 Вектор нормали .
Расстояние от точки до плоскости
Найдем искомое расстояние по формуле
Ответ: 0,5.
Расстояние между прямыми
Задача 3. В правильной треугольной призме АВС все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми А и С.
Решение. Введем систему координат.
Найдем направляющие векторы прямых А и С.
Определим координаты точек А, , С и .
А(0; 0; 0), (1; 0; 1), С и (0; 0; 1).
Тогда (1; 0; 1) и .
Т.к. прямые скрещивающиеся, то векторы не
параллельны. Построим плоскость, проходящую
через прямую А параллельно прямой С.
Строить плоскость будем методом матрицы, т.е.
с помощью определителя. Возьмем произвольную
точку Т(х; у; z) и опорную точку А(0; 0; 0).
Определим вектор АT: (х ; у; z).
Расстояние между прямыми
Составим уравнение плоскости.
= x + z =
= х + у + z = 0
Итак, х +3у z = 0. Вектор нормали .
Задача сводится к нахождению расстояния от точки, например,
до плоскости.
Ответ: .
Векторно-координатный метод решения стереометрических задач
Часть 2
Углы в пространстве
Углы в пространстве
Задача 1. В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра AD. Найдите угол между прямыми АВ и СЕ.
Решение. Введем систему координат.
Найдем координаты точек А, В, С и Е.
Из △CNB: CN = =
ON = ⋅ = , OC = ⋅ =
KL = = ⋅ =
Из △DOC: OD = =
EL = ⋅ =
A(0;0;0) B(1;0;0)
C E
Угол между прямыми
Определим векторы и .
A(0;0;0) B(1;0;0) C E
(1;0;0)
Найдем косинус угла между векторами
=
Ответ:
Угол между прямой и плоскостью
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SB. Найдите угол между прямой АЕ и плоскостью SBD.
Решение. Введем систему координат.
Найдем координаты точек А, Е, В,D,S.
Из △DBC: DB = =
ОВ = DB =
Из △SOB: SO = =
EL = SO =
A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0)
E S
Найдем координаты :
Угол между прямой и плоскостью
Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки: B(1;0;0), D(0;1;0), S. Возьмем произвольную точку Т(х; у; z) и определим векторы , .
(x – 1; y; z), (, .
Получим,
= (x-1) + z =
= x y + 0z = 0
x y + 0z = 0 или
Вектор нормали ( 1; 1; 0).
Угол между прямой и плоскостью
Найдем синус угла (
