Координатно-векторный метод решения стереометрических задач

Координатно-векторный метод решения стереометрических задач

 

Цели урока:

-обобщить применение метода координат при решении различных задач;

-выработать умения рассматривать различные подходы к решению задач;

-развить пространственное мышление;

-показать эффективность использования этого метода на экзамене.

Образовательные задачи урока:

выработать умение рассматривать различные подходы к решению задач и проанализировать “эффект” от применения этих способов решения;

выработать умение учащегося выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и уверенных навыка;

повторить и закрепить различные темы и вопросы стереометрии и планиметрии, типовые стереометрические конструкции, связанные с решением текущих задач

Совершенствовать навыки решения задач методом координат.

Подготовить к сдаче ЕГЭ

Развивающие задачи урока:

Развитие умения самостоятельного решения типовых задач.

Развитие устойчивого интереса к математике, мыслительных и творческих способностей, а также творческой активности;

Развитие логического, математического мышления обучающихся.

Воспитательные задачи урока:

Воспитывать чувство ответственности в связи с преодолением трудностей в процессе умственной деятельности, формировать навыки самооценки.

Содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся.
 

I этап – Вводная беседа.

Мотивация

Притча про точку

Однажды Учитель, показал ученикам чистый лист бумаги, где в середине стояла черная точка и спросил: «Что вы видите?»

Первый ученик: «Точку».

Второй: «Черную точку».

Третий: «Жирную точку».

Тогда Учитель ответил: «Вы все увидели только точку и никто не заметил большого белого листа!».

Вот так же мы судим о человеке по его мелким недостаткам. Еще мы в жизни видим всегда черное, а не белое. Умейте видеть всегда хорошее. Уважайте своих друзей , окружающих вас людей. А теперь приступим к уроку.

II этап – Актуализация знаний (10 мин)

1.(повторение теоретического материала)

1.Теорема косинусов

2.Формула косинуса угла между векторами

3. Формула длины вектора с координатами х, у, z.

4.Формула диагонали в прямоугольном параллепипеде.

5.Формула высоты правильного треугольника со стороной 

2. Вопросы(1 мин)

3. Критерии оценки: Оценка «отлично» ставится за все 5 верных ответов;

     Оценка «хорошо» - за 4 верных ответа;

     Оценка «удовлетворительно» - за 3 верных ответа.

III этап – Применение знаний в стандартной ситуации(6-7 мин)

(работа по готовым чертежам)

1.Устные задачи по готовым чертежам.

а)Найди координату точек

2. Дан куб АВСDА1В1С1D1. АВ=3

Найдите ВА1∙ВС1 ( 2 способами)

2. Дан куб АВСDА1В1С1D1. АВ=3

Найдите ВА1∙ВС1 ( 2 способами)

1способ

Треугольник ВА1С1 правильный, угол между векторами равен 60 градусов.

ВА1∙ВС1 =3√2 ∙3√2cos60=9

2 способ

Введем прямоугольную систему координат. Вектор ВА1{3;03}, вектор ВС1{0;3;3},

поэтому ВА1∙ВС1 =3∙ 0+0∙ 3 +3∙ 3=9

Ответ:9

 

IV– Применение знаний в изменённой ситуации(6-7 мин)

(конструктивные задачи)

Только что вы решили задачу 2 способами. Так вот 2 способ является координатно-векторным способом решения стереометрических задач. В демоварианте по математике профиль 14 стереометрическую задачу про куб , прямоугольный параллелепипед, пирамиду, тетраэдр можно решать координатно-векторным способом. Сегодня мы остановимся подробнее: рассмотрим + и - данного метода решения задач.

Для каждого ученика имеется конверт с заданиями, карточками

Обратимся к презентации

1 Слайд

Задача 2.

1 способ Координатно-векторный метод

2 способ. Используем теорему косинусов.

1) Проведем прямую ВС 1параллельно прямой ВF. Угол АЕС1 будет искомым.

2) Из прямоугольного треугольника BB1O по теореме Пифагора:

АЕ =√10, ЕС1= √13 , А С1=3√3

3) По теореме косинусов из треугольника АЕС1  вычисляем угол АЕС1  :cos  АЕС1

искомый угол составляет 

 

Выведем алгоритм решения задач через координатно-векторный способ

1.Введем прямоугольную систему координат

2. Найдем координаты нужных точек.

3. Найдем направляющие векторы прямых.

4. Найдем косинус угла между векторами.

Физкультминутка

Историческая минутка.

1618 год. Прохожих мало. Молодой солдат в форме армии Морица Оранского со скучным видом ходит по мостовой. Цель - найти развлечение. Около одной из деревянных труб с наклеенными объявлениями - толпа. Солдат прислушивается - на его лице досада- говорят на чисто голландском языке. Ясно, что предмет разговора – лист бумаги, приклеенный к тумбе. « Что здесь написано?»- по-французски говорит он. Его не понимают. Один из тех, к кому обращается солдат, смотрит на француза с интересом и говорит, что переведет, но с условием, что солдат принесет ему решение всех задач. Голландец представился- преподаватель физики, медицины и математики - Бекман, а на плакате конкурс на решение задач. Решивший получит титул лучшего математика города. На следующее утро солдат постучал в дверь Бекмана. Еще ни не случалось, чтобы кто-нибудь сразу решил все задачи, над которыми ломали головы общепризнанные авторитеты. Этот француз, родом из Турени, воспитывался в иезуитской коллегии ЛА ФМШ, там же изучал математику. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятие переменной величины и функции. Его именем названа алгебраическая кривая третьего порядка, а также прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Догадались? Конечно, это Рене Декарт.

Задача 3

А сейчас вы разработаете мини-проект решения 3 задачи. Обсудите решение вдвоем и оформите решение на плакате.Вам 5 минут

Ребята, давайте попробуем найти преимущества , т.е. плюсы координатно-векторного метода.

-алгоритм

- требует меньше стереометрических соображений и видения, а основывается на применении формул, у которых много планиметрических и алгебраических аналогий

- экономия времени.

Но ведь есть и минусы, какие?

-Если координаты иррациональные, то громоздкие вычисления.

V.Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)

Задача 4.

№ 1. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВF1

Найдите 2 решения, но можно 3 решение.

VI этап – подведение итогов урока (4 мин)

Подсчитайте свои баллы в листах самооценки

Домашнее задание: решить задачу 3 другим способом, например, с помощью теоремы о трех перпендикулярах.

 

VII этап –Рефлексия(1 мин)

Во время занятия я научился…

На занятии мне особенно понравилось….

Больше всего мне сегодня запомнилось…

Самым интересным было…

Спасибо за урок!