Научно-исследовательская работа «Задача Коши»

Коши теңсіздігін есептер шығаруда қолдану

Теңсіздік бұл математиканың үлкен бір бөлігі. Теңсіздік туралы ұғымды алғаш гректер пайдаланған болжам бар. Сонымен қатар теңсіздіктердің қазіргі кездегі таңбалары (>) және (<) таңбаларын Г.Гарриат (1560-1621), (≥) және (≤) таңбаларын Француз математигі П.Буге (1698-1758) енгізген. Теориялық зерттеулерде, және іс жүзінде қолданылатын маңызды есептерді шешудетеңсіздіктерді кеңінен қолданады. Қазіргі кезде тіпті соңғы жылдары теңсіздіктерді дәлелдеу олимпиада есептерінде жиі кездеседі, Алгебралық және геометриялық теңсіздіктерді дәлелдеуде, сонымен қатар өрнектің ең кіші және ең үлкен мәнін тапқанда Коши теңсіздігін кеңінен қолданады және бұл тәсіл тиімді тәсілдердің бірі.

Теорема: (Коши теңсіздігі) Кез-келген теріс емес а1, а2 ,а3,..., аn арифметикалық ортасы геометриялық ортасынан кіші емес болады.

Теңсіздіктерді дәлелдеуде Коши теңсіздігін қолдану тәсілдерін зерттеу

а) Зертеу жұмысын жүргізу үшін трек сөзді анықта

ә) Керекті мағлұматтарды іздеп, топтастырып жинақтаңыз

б) Анализ және синтез жасаңыз

в) Зерттеу жұмысын үлгімен салыстыр

г) Қорытынды жаса.

Теорема 1. . Екi оң санның геометриялық ортасы, сол сандардың арифметикалық ортасынан артық емес.

1) Шынында, екi оң сан алайық, олардың қосындысын деп белгiлейiк, байқауымызша , сандарының да қосындысы -ға тең. Бұл сандар өзара тең болғандықтан олардың көбейтiндiсi қосындысы -ға тең болатын кез келген басқа сандардың қосындысынан әрқашан үлкен болады, яғни

деп жаза аламыз, ал теңдiк белгiсi тең болса орындалады.

.

2) Бұл теореманы басқаша жолмен дәлелдеуге де болады. Ол үшiн теңсiздiктiң екi жағындағы өрнектердiң айырымын нольмен салыстырсақ жеткiлiктi.

Бұл теореманы пайдаланып, төмендегi есептi шығара отырып, оның тұжырымдамасын көптеген геометриялық мазмұндағы максимум, минимум есептерiн шығаруға болады.

1-мысал. Берiлген оң Р санын екi оң көбейткiштерге, олардың қосындысы ең кiшi мәнiне ие болатындай етiп жiкте.

Шешуi: Ізделiндi көбейткiштердiң түрi мынадай болсын: .

Онда алдыңғы теорема бойынша болады. Сондықтан қалай таңдап алсақ та, олардың қосындысы -дан кiшi бола алмайды. Ал деп алсақ, ол қосынды -ге тең болады. Сонымен, бiз iздеген, ең аз қосындының мәнi.

Осы жерде ескерсек, онда есептiң шешiмiн төмендегiдей тұжырымдауға болады:

формуласы өзiнiң ең кiшi мәнiне -ға тең болғанда ғана ие болады.

Теорема 2. оң санның геометриялық ортасы, сол сандардың арифметикалық ортасынан артық емес.

Дәлелдеу. Дәлелдемесiн математикалық индукция әдiсiмен әуелi жұп мәндерi үшiн келтiремiз.

үшiн Т.1 дәлелдендi

үшiн

……………….

үшiн

Ендi -дi болатындай етiп таңдап аламыз.

деп белгiлеп, сандарына сандарын , , …, қосайық. Сонда дәлелдегенiмiз бойынша:

Алайда екенiн ескерсек, онда

дәрежелесек

:

яғни

Теорема дәлелдендi.

2-мысал. Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: Теңдеудің сол жағы екі теріс емес өрнектің қосындысы, сондықтан Коши теңсіздігін қолдануға болады.

Берілген теңдеуді ескеріп мынаны аламыз:

Соңғы теңсіздіктен теңсіздігіне жеңіл көшуге болады. Бұдан өрнегін теңдеуге қойып, мынаны аламыз.

деп белгілесек , , алдыңғы теңдеу мына түрге келеді.

Алғашқы айнымалыға : .

Онда және

Алынған х,у бүтін сандар болмайды, олай болса берілген теңдеудің бүтін шешімдері жоқ.

Жауабы: шешімі жоқ.

3-мысал. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Әрбір арифметикалық түбірді бағалайық:

Шыққан өрнектердің қосындысын табайық:

Берілген теңдеуді ескере отырып мына жүйені жазамыз:

Бұдан яғни

Шыққан теңсіздікте х=1 болғанда, теңдік орындалады. Олай болса, х=1 теңдеудің жалғыз шешімі.

Жауабы: х=1

4-мысал. теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Теңдеудің сол жағындағы әрбір арифметикалық түбірді бағалаймыз. Олар теріс емес болғандықтан

Шыққан өрнектердің қосындысын табамыз:

яғни

Екі теңдеудің оң жағын түрлендірейік:

Теңдеудің сол жағы мен оң жағының бағалауларын бірге қарастырайық:

және

Бұдан мына жүйені аламыз:

немесе

Осыдан х=3 екенін аламыз.

Енді х-тің табылған мәні белгісіздің мүмкін мәндер жиынына жата ма тексерейік:

Шартынан шығады, яғни

Жауабы х=3

Әдебиеттер:

С.А.Теляновский Алгебра 9-класс. /Алматы. Рауан 1993

Ұ.Б.Жанасбаев. Теңсіздіктер. /Қостанай, 1995., 45б.

Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері,2004жыл,Н.М.Седракян,А.М.Авоян.

Квант,М.,1970-1997.

Математика в школе,М.,1970-1996.

kk.wikipedia.org/wiki

www.rusnauka.com/21_NNP_2010/Matemathics/